初中幾何三角形五心及定理性質(zhì)1

1、初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理atx»Cft.«>三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂

2、點距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3）。5.以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心。2、若。是4ABC的外心，則/BOC=2/A（/A為銳角或直角）或/BOC=360-2/A（/A為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時,外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。5、外心到三頂點的

3、距離相等垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì):1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG:GH=1：2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline）3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1 .若D、E、F分別是zABC三邊的高的垂足，則/1=/2。（圖1）2 .三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。（圖1）3 .若D、E、F分別是zABC三邊的高的垂足，則/1=/2。（圖2）定理證明已知：ABC中，AD、BE是兩條高，A

4、D、BE相交于點O,連接CO并延長交AB于點F,求證：CFXAB證明：連接DE./ADB=/AEB=90度A、B、D、E四點共圓./ADE=/ABE又/ODC=/OEC=90度O、D、C、E四點共圓./ACF=/ADE=/ABE又/ABE+/BAC=90度./ACF+/BAC=90度CFXAB因此，垂心定理成立內(nèi)心定理三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點。該點即為三角形的內(nèi)心。2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、P為ABC所在空間中任意一點，點0是ABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=（ax向量PA+lbX向量PB

5、+cx向量PC）/（a+b+c）.4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊于N,則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=（AB+AC）:BC5、（歐拉定理）/ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，。和I分別為其外心和內(nèi)心，則OIA2=RA2-2Rr.6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系）ABC中，0為內(nèi)心，/A、/B、/C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R,則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。旁心定理三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質(zhì)

6、：1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心。3、旁心到三角形三邊的距離相等。如圖，點M就是4ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心,四心合一巧記詩歌三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心, 重心三條中線定相交，交點位置真奇巧, 重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉; 外心三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊. 此點定義為外心，用它可作外接圓. 垂心三角形上作三高，三高必于垂心交.五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混.交點命名為 重心”，重心性質(zhì)要明了, 長短之比二比一，靈活運用掌握好.作三邊的中垂線，三線相交共一點.內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵.高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角