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1、mnmnmmmmnnnnbababababababababa.:.:.222122222221211112121111nm)()(ijijbBaA和ijC前往負(fù)矩陣:負(fù)矩陣:)(ijaA OAA )(減法:減法:)()(對(duì)應(yīng)元素相減對(duì)應(yīng)元素相減BABA OBABA 前往 設(shè)有一個(gè)矩陣 , 是一個(gè)數(shù),那么矩陣 稱為矩陣A 與數(shù) 的乘積簡(jiǎn)稱矩陣的數(shù)乘),記作 )(ijaAmnmmnnaaaaaaaaa212222111211A 矩陣的線性運(yùn)算律:加法、數(shù)乘矩陣的線性運(yùn)算律:加法、數(shù)乘.ABBA )()(CBACBA AOA OAA )(AA 1前往AkllAk)()( kBkABAk )(lAkA
2、Alk )(例例1 1已知矩陣已知矩陣101021A130111B和BA32求BA32及1301113101021232BA解390333202042前往59237519231132BA同理前往二. 矩陣的乘法 某公司的個(gè)工廠W、X、Y、Z工廠生產(chǎn)3種產(chǎn)品P、Q、R,每種產(chǎn)品的材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的單位成本如下表所示: 表1.2 單位:元前往4個(gè)工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量如下表所示個(gè)工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的月產(chǎn)量如下表所示 表1.3 單位:件如何求每個(gè)工廠關(guān)于材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的月度總成本?如何求每個(gè)工廠關(guān)于材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的月度總成本? 首先,我們用下述兩個(gè)矩陣分別表示表1.2與表1.3容易知
3、道, 廠關(guān)于材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的月度總成本為資料: ,勞動(dòng)力: ,管理費(fèi): 同理,我們可以分別得到其余三個(gè)工廠關(guān)于材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的月度總成本以每個(gè)工廠關(guān)于材料、勞動(dòng)力及管理費(fèi)的月度總成本作為列構(gòu)成的矩陣212223121A2500250020002000100050050010004000150030002000BW6000200011000220001120002000210002200039000200021000120002,140008500105009000190001050014000120008500500060006000CsmijaA)(nsijbB)(CAB skk
4、jiksjisjijiijbabababac12211), 2 , 1;, 2 , 1(njmi是一個(gè) 矩陣,并且它的第 行第 列的元素恰好是A的第 行元素與A的第 列對(duì)應(yīng)元素乘積之和我們把矩陣C稱為矩陣A與B的乘積,記作 43ijijABC 留意:只有當(dāng)左邊的矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才可以相乘 例例2 2 求矩陣求矩陣203112A與矩陣 151111020B的乘積 AB解解 因?yàn)橐驗(yàn)锳 A是是2 23 3矩陣,矩陣,B B是是3 33 3矩陣,矩陣,A A的列數(shù)等的列數(shù)等于于B B的行數(shù),所以矩陣的行數(shù),所以矩陣A A與與B B可以相乘,其乘積是可以相乘,其乘積是2 23
5、3矩陣由定義有矩陣由定義有151111020203112ABC) 1(21003521023121003) 1() 1(11025) 1(11221) 1(11022162200例例3 3 已知矩陣已知矩陣 與與 ,求乘積求乘積 與與 0010A0011BABBA0000AB0010BA解 ; 注:矩陣的乘法不滿足交換律,即在一般情況下,BAAB 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律:(AB)C = A(BC)k (AB) = (kA)B = A(kB)A(B+C) = AB + AC(B + C)A = BA +CA例3還表明:矩陣 , ,但卻可能有 ;等價(jià)地,由矩陣等式 不能推出 或 的結(jié)論所以,假設(shè) 且
6、,一般不能得出 = 的結(jié)論0A0B0AB0A0B0AAYAX XY0AB例例4 4 寫出線性方程組寫出線性方程組 的矩陣形式的矩陣形式4153231321xxxxx解解 這個(gè)方程組可以記作這個(gè)方程組可以記作 41101532321xxx有了矩陣的乘法,就可以對(duì)任意非負(fù)整數(shù)定義矩陣的冪設(shè)A為n階矩陣,定義 AAAIAkk10,其中K為非負(fù)整數(shù)例例5 5 已知矩陣已知矩陣 ,求求 及及 0110A32, AA4A解解 1001011001102A01100110100123AAA10010110011034AAA由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律,所以矩陣的冪滿足以下運(yùn)算規(guī)律: kllklklkAAAAA)
7、(,其中 為非負(fù)整數(shù)又因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律,所以對(duì)任意兩個(gè)n階矩陣A與B, 一般有 lk,KKK三. 矩陣的轉(zhuǎn)置 1. 定義轉(zhuǎn)置)定義轉(zhuǎn)置),設(shè)設(shè) mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.212221212111的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置為為稱稱AaaaaaaaaaAmnnnmm T TmnnmAA )(,T T例例6,053241A;025431T TA,9618B.9618T TB2. 運(yùn)算律運(yùn)算律( AT)T = A (A+B)T = AT+BT (kA)T = kAT (AB)T = BTAT (A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1 例7 知 , , 231102A1
8、02324171B求求)(AB解解 由于由于 1013173140102324171231102AB 所以所以 1031314170)(AB另解另解 1031314170213012131027241)(ABAB設(shè)A為n階矩陣,如果滿足 ,那么A稱為對(duì)稱矩陣;如果滿足 ,那么A稱為反對(duì)稱矩陣AA AA對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A的元素滿足的元素滿足: :), 2 , 1,(njiaajiij), 2 , 1,( ,njiaajiij), 2 , 1(0niaii例如矩陣 與 分別是對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣cbba00aa例例8 8 證明:任意矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一證明:任意矩陣都可以表示為一個(gè)
9、對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和個(gè)反對(duì)稱矩陣之和 反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣A的元素滿足的元素滿足:證 設(shè)A為一個(gè)矩陣,令 )(21AAB)(21AAC那么 )()()(212121AAAAAABBAA)(21類似地, CC即B為對(duì)稱矩陣,C為反對(duì)稱矩陣容易驗(yàn)證 從而,A可以表示為對(duì)稱矩陣B與反對(duì)稱矩陣C之和 CBA若若A可逆,則可逆,則A-1存在,且存在,且 A A-1 = A-1 A = I.例例8 8 證明矩陣證明矩陣 是不可逆矩陣是不可逆矩陣9331A證證 用反證法用反證法. .設(shè)設(shè) 是是A A的逆矩陣的逆矩陣, ,那么有那么有 利用矩陣的乘法及矩陣相等的概念可以得到線性方程組利用矩陣的乘法及矩
10、陣相等的概念可以得到線性方程組 這個(gè)線性方程組無(wú)解,這是因?yàn)橛傻谝粋€(gè)方程與第三個(gè)這個(gè)線性方程組無(wú)解,這是因?yàn)橛傻谝粋€(gè)方程與第三個(gè)方程可以得到一個(gè)矛盾的方程方程可以得到一個(gè)矛盾的方程 = = 所以,矩陣是不可逆矩陣所以,矩陣是不可逆矩陣 dcba10019331dcba1930930313dbcadbca例例11 11 證明矩陣證明矩陣 是可逆矩陣,并且是可逆矩陣,并且求求 解解 設(shè)有矩陣設(shè)有矩陣 ,使得,使得 由此可以得到線性方程組由此可以得到線性方程組1021A1AdcbaB210011021IdcbaAB100212dcdbca這個(gè)線性方程組有唯一的解 于是, 容易驗(yàn)證 所以,A是可逆矩陣,且 1, 0, 2, 1dcba1021B2IBA10211BA矩陣的求
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