第六章橢球面上的測量計算ppt課件

1、12 21地球橢球的定義及其幾何意義； 2常用測量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立及其在控制測量中的應(yīng)用； 3各種測量坐標(biāo)系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換； 4橢球面上幾種曲率、弧長、大地線的計算； 5地面測量值水平方向和邊長歸算到橢球面的方法。知識點及學(xué)習(xí)要求知識點及學(xué)習(xí)要求難點在對本章的學(xué)習(xí)中，有大量的公式推導(dǎo)與應(yīng)用。各種常用測量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立與相互轉(zhuǎn)換；幾種常用的橢球計算公式；地面觀測值歸算到橢球面的方法與計算。 3 3地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。是地球的數(shù)學(xué)模型。 參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、

2、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在這個面上進行計算。參考橢球面是大地測量計算的基準(zhǔn)面，同時又是研究地參考橢球面是大地測量計算的基準(zhǔn)面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。球形狀和地圖投影的參考面。4 4橢圓的長半軸：橢圓的長半軸： a a橢圓的短半軸：橢圓的短半軸： b b橢圓的扁率：橢圓的扁率： 五個基本幾何參數(shù)五個基本幾何參數(shù) aba橢圓的第一偏心率： abae22橢圓的第二偏心率：橢圓的第二偏心率： bbae22 a、b稱為長

3、度元素稱為長度元素扁率反映了橢球體的扁率反映了橢球體的扁平程度扁平程度 e和和e反映橢球體的扁平程反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈度，偏心率越大，橢球愈扁扁 5 52222,tan,cosactBeBb 22221sin,1cosWeB VeB 式中，式中，W W 第一基本緯度函數(shù)，第一基本緯度函數(shù)，V V 第二基本緯度函數(shù)。第二基本緯度函數(shù)。6 6 我國所采用的的我國所采用的的1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975國際橢球參數(shù)；而國際橢球參數(shù)；而GPS

4、應(yīng)用的是應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。系橢球參數(shù)。 7 7abae22bbae22 eaba2222eabb22221222eba2221aeb ()( )11122eeeee2221eee22218 8abebae1122 caeace1122 eeeeee1122221 1eVWeWV9 9大地坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（大地測量中兩種基本坐標(biāo)系）（大地測量中兩種基本坐標(biāo)系）子午平面直角坐標(biāo)系子午平面直角坐標(biāo)系大地極坐標(biāo)系大地極坐標(biāo)系 1010 P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的

5、位置用L、B表示 。P)()(大地水準(zhǔn)面差距高程異常正正常NHHHH若若P點不在橢球面上，還要點不在橢球面上，還要一個參數(shù)：大地高一個參數(shù)：大地高H來表示來表示點位。它與正常高及正高的點位。它與正常高及正高的關(guān)系為：關(guān)系為：N過中心11111212以橢球中心以橢球中心O為原點，起為原點，起始子午面與赤道面交線始子午面與赤道面交線為為X軸，在赤道面上與軸，在赤道面上與X軸正交的方向為軸正交的方向為Y軸，橢軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，在該坐標(biāo)系中，P點的位點的位置用置用X、Y、Z表示表示 1313設(shè)設(shè)P點的大地經(jīng)度為點的大地經(jīng)度

6、為L，在過在過P點的子午面上，點的子午面上，以子午圈橢圓中心為以子午圈橢圓中心為原點，建立原點，建立x，y平面平面直角坐標(biāo)系。在該坐直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，標(biāo)系中，P點的位置點的位置用用L，x，y表示表示 1414 M為橢圓體面上任意一為橢圓體面上任意一點，點，MN為過為過M點的子午線，點的子午線，S為連結(jié)為連結(jié)MP的大地線長，的大地線長，A為大地線在為大地線在M點的大地方位點的大地方位角。以角。以M為極點、為極點、MN為極為極軸、軸、S為極徑、為極徑、A為極角，就為極角，就構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。P點點位置用位置用S、A表示。表示。 橢球面上的極坐標(biāo)橢球面上的極坐標(biāo)S、A與

7、大地坐標(biāo)與大地坐標(biāo)L、B可以互相可以互相換算，這種換算叫大地主題解算。換算，這種換算叫大地主題解算。1515xaBeBaBWcossincos1222222(1)sinsin(1)sin1sinaeBabByeBWVeB 過p 點作法線Pn，它與x 軸之夾角為B，過點作子午圈的切線TP，它與x 軸的夾角為90+B）-該角的正切值為曲線在P點處切線的斜率.16161717設(shè)設(shè)Pn=N，則有：，則有：yP sinB2(1)PNe2nNecosxNBcosaBxWaNW2(1)sinayeBW2(1)sinyNeB一個有用的結(jié)論推導(dǎo)：一個有用的結(jié)論推導(dǎo)：1818cos,sin,XxL YxL Zy1

8、919cos,sin,XxL YxL ZycosxNB2(1)sinyNeB2020X XY Y2coscoscossin(1)sinXNBLYNBLZNeBcosxNB2(1)sinyNeBcos ,sin ,XxL YxL Zy當(dāng)當(dāng)P P點位于橢球面上時：點位于橢球面上時：2121BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2當(dāng)當(dāng)P P點不在橢球面上時：點不在橢球面上時：2222La rctgYXZBNeYXctgBYXBNeZtgBcossin222222或NBYXHeNBZHcos)1(sin222已知空間直角坐標(biāo)計算大地坐標(biāo)已知空間直角坐標(biāo)計算大地坐標(biāo)

9、2323O000, LBPxzyXYZLBPKQ2424zxyoAZDP2525子午圈：與卯酉圈垂直子午圈：與卯酉圈垂直無窮多個無窮多個2626dBdSM BdxBDEdSsinsinMdxdBB 1sin2cossinWdBdWBBWadBdxcosaBxWMaeW()1232727MaeW()123221sinWeBMaeceaeMcMaec022329021111()( )()2acb2828rNBcos平行圈半徑平行圈半徑r就等于就等于P點的橫坐標(biāo)點的橫坐標(biāo)x子午子午面直角坐標(biāo)系），即：面直角坐標(biāo)系），即：xraBWcosNaW2、卯酉圈曲率半徑、卯酉圈曲率半徑 子午平面直角坐標(biāo)系與大

10、地坐標(biāo)系的關(guān)系2929NaW221sinWeBaN0cosxNBxraBWcos子午曲率半徑子午曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑及卯酉圈曲率半徑 N,在微分幾何中稱主曲率半徑在微分幾何中稱主曲率半徑30303 3、任意法截弧的曲率半徑、任意法截弧的曲率半徑22221(1)(1cos)2coscos22ARRARReBAR222coseB 當(dāng)當(dāng)A=0或或180時，時，RA的值最小，此時的值最小，此時R0=M子午曲率半徑）子午曲率半徑）當(dāng)當(dāng)A=90或或270時，時，RA的值最大，此時的值最大，此時R90=N卯酉圈曲率半徑）；卯酉圈曲率半徑）；當(dāng)當(dāng)A由由090時，時，RA之值由之值由MN；當(dāng)；當(dāng)A由由90

11、180時，時，RA之之值由值由NM。RA值的變化是以值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。平均曲率平均曲率半徑半徑31314 4、平均曲率半徑、平均曲率半徑M、N、R的關(guān)系：的關(guān)系：NR M只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半徑徑c，即：，即： 2222(1).bcNaRMNeWVVWNRMc909090 由于由于RA的數(shù)值隨方位的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測量帶來不便，在測量工作中，的變化而變化，給測量帶來不便，在測量工作中，往往根據(jù)一定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作球面來處理，為此，往往根據(jù)

12、一定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作球面來處理，為此，就要推求該球面的曲率半徑就要推求該球面的曲率半徑-平均曲率半徑平均曲率半徑就是過橢球面上一點的一切法截就是過橢球面上一點的一切法截弧弧(02），當(dāng)其數(shù)目趨于無窮時，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，），當(dāng)其數(shù)目趨于無窮時，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，就稱為平均曲率半徑，用就稱為平均曲率半徑，用R表示表示。32321.子午線弧長計算公式子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。 如下圖所示，取子午線上某微分弧，令點緯度為，點緯度為，點的子午圈曲率半徑為，于是有： dxPPPdBBMdBdx 從赤道開始

13、到任意緯度的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：BMdBX0式中M可用下式表達：BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos864207.4 橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算3333128163232716381673215221283516583288866864486422864200mammammmammmmammmmma其中：經(jīng)積分，進行整理后得子午線弧長計算式：BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin286420為求子午線上兩個緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長。1B1X1X1B12XXXX3434克拉索夫斯基橢球子

14、午線弧長計算公式： 1975年國際橢球子午線弧長計算公式：BBBBX6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.111134BBBBX6sin022. 04sin833.162sin528.16038005.11113335352. 由子午線弧長可計算大地緯度在高斯投影反算時，已知高斯平面直角坐標(biāo)X，Y反求其大地坐標(biāo)L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時的緯度稱為底點緯度或垂直緯度。計算底點緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。 迭代法迭代法在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設(shè)在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設(shè)8611.111134/1X

15、Bf以后每次迭代按下式計算：以后每次迭代按下式計算：8611.111134/)(1ififBFXBififififBBBBF6sin0220. 04sin8281.162sin4803.16036)(重復(fù)迭代直至重復(fù)迭代直至 為止。為止。ififBB1在在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。年國際橢球上計算時，也有類似公式。BBBBX6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.11113436362.平行圈弧長公式平行圈弧長公式 cos llSrNB 旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標(biāo)x：22coscos1sinaBrxNBe

16、B如果平行圈上有兩點，其經(jīng)如果平行圈上有兩點，其經(jīng)差差 ，可寫出平行圈弧長公式：可寫出平行圈弧長公式： 12 LLl 37373.子午線弧長和平行圈弧長變化的比較子午線弧長和平行圈弧長變化的比較B 1 單位緯差的子午線弧長隨單位緯差的子午線弧長隨B B的增大而緩慢地增大；而單位的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長則隨經(jīng)差的平行圈弧長則隨B B的增大而急劇縮短。同時還知，子午的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長弧長1 1約為約為110KM110KM，11約為約為1.8KM1.8KM，11約為約為30M30M；而平行圈；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當(dāng)，隨著弧長僅在赤道附近才與

17、子午線弧長大體相當(dāng)，隨著B B的增大它的增大它們的差值愈來愈大。們的差值愈來愈大。38383.橢球面梯形面積的計算橢球面梯形面積的計算dydxdpdBMdxdLNdydBdLWBeadp422cos)1 ( 1276432122sin745sin53sin32sin)(BBBeBeBeBLLbP微分面積由于故積分后39392264221 . 5510083060)7453321 (4kmkmeeebPE億地球橢球的面積：地球圓球的半徑：由于：EEPR 24那么：meeebRE6371116745332164240407.5 大地線大地線 1.相對法截線的概念相對法截線的概念 （1緯度不同的兩點

18、，法線必緯度不同的兩點，法線必交于旋轉(zhuǎn)軸的不同點；交于旋轉(zhuǎn)軸的不同點；（2橢球面上一點的緯度愈高，橢球面上一點的緯度愈高，法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點愈低；法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點愈低；（3當(dāng)兩點的緯度不同，又不當(dāng)兩點的緯度不同，又不在同一子午圈上時，這兩點的法在同一子午圈上時，這兩點的法線將在空間交錯而不相交。因此線將在空間交錯而不相交。因此當(dāng)兩點不在同一子午圈上，也不當(dāng)兩點不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時，兩點間就有在同一平行圈上時，兩點間就有二條法截線存在。二條法截線存在。首先明確以下三點：首先明確以下三點：4141ABnb假定經(jīng)緯儀的縱軸同假定經(jīng)緯儀的縱軸同A，B兩點的兩點的法線重合忽略垂線偏差

19、），如法線重合忽略垂線偏差），如此以兩點為測站，則經(jīng)緯儀的照此以兩點為測站，則經(jīng)緯儀的照準(zhǔn)面就是法截面。用準(zhǔn)面就是法截面。用A點照準(zhǔn)點照準(zhǔn)B點，點，則照準(zhǔn)面則照準(zhǔn)面 同橢球面的截線同橢球面的截線為為 ，叫做，叫做A點的正法截線，點的正法截線，或或B點的反法截線；同理，由點的反法截線；同理，由B照照A點，則照準(zhǔn)面點，則照準(zhǔn)面 同橢球面的同橢球面的截線為截線為BbA ，叫做，叫做B點的正法截線，點的正法截線，或或A點的反法截線。因點的反法截線。因A，B的法的法線互不相交，故這兩條法截線不線互不相交，故這兩條法截線不重合。我們把重合。我們把 和和BbA叫做叫做A、B兩點的相對法截線。兩點的相對法截線

20、。 BAnaAaBAaB4242當(dāng)當(dāng)A A、B B兩點位于同一子午圈或同兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合一平行圈上時，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。而二為一，這是一種特殊情況。而通常情況下，正反法截線是不重通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上合的。因此在橢球面上A A、B B、C C三點處所測得的角度各點上正三點處所測得的角度各點上正法截線之夾角將不能構(gòu)成閉合法截線之夾角將不能構(gòu)成閉合三角形。為克服這個矛盾，在兩三角形。為克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成

21、的單一的三角形。構(gòu)成的單一的三角形。43432、大地線的定義和性質(zhì)、大地線的定義和性質(zhì) 橢球面上兩點間的最短曲線橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。叫做大地線。大地線是橢球面上兩點間唯一最短線，大地線是橢球面上兩點間唯一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為：法截線，它與正法截線間的夾角為： 13在一等三角測量中，在一等三角測量中，可達千分之四秒，可達千分之四秒，可達千分之一二秒可達千分之一二秒 44443、大地線的微分方程和克萊洛、大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞克萊勞)方程方程 dBAMdScosdSBNAdlcossin1大

22、地線微分方程大地線微分方程: 表達表達dL，dB，dA與與dS的關(guān)系式。的關(guān)系式。MdBdSAcosAdSBdlNsincosdA PTr dl cossinsinrdlNBdlAdABdltgBdSPTNctgBNPTNctgB4545dBAMdScossin AdAtgBdSNBNBdBMAAdAcossincossincossinrNBMBdBdr rdrctgAdAlnsinlnlnArCrACsin代入代入兩邊積分得：兩邊積分得：麥尼兒定理：麥尼兒定理：4646rACsin1221sinsinAArr上式表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈上式表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平

23、行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。于常數(shù)。 利用這個關(guān)系式可以檢查利用這個關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計算的正確緯度與方位角計算的正確性性coscosaBxrNBW47477.6 7.6 將地面觀測的方向值歸算到橢球面將地面觀測的方向值歸算到橢球面 7.6.1 7.6.1 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面將地面觀測的水平方向歸算至橢球面-三差改正三差改正 歸算中兩個基本要求：歸算中兩個基本要求：（1以橢球面的法線為基準(zhǔn)；以橢球面的法線為基準(zhǔn)；（2將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素

24、。 將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項為三差改正。改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項為三差改正。48481)cossin(ctgZAAmmu 1)cossin(tgAAmm垂線偏差改正的計算公式垂線偏差改正的計算公式 u1垂線偏差改正垂線偏差改正 把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正數(shù)稱為垂線偏差改正。為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正數(shù)稱為垂線偏差改正。什么是什么是垂線偏垂線偏差？差？4949h標(biāo)高差改正：由照準(zhǔn)點高度引起的

25、改正標(biāo)高差改正：由照準(zhǔn)點高度引起的改正前面已得出結(jié)論：不在同一子午面或不前面已得出結(jié)論：不在同一子午面或不在同一平行圈上的兩點的法線是不共面在同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因而，當(dāng)進行水平方向觀測時，如的。因而，當(dāng)進行水平方向觀測時，如果照準(zhǔn)點高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)果照準(zhǔn)點高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過照準(zhǔn)點的法線同橢球面的面就不能通過照準(zhǔn)點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正稱標(biāo)交點，由此引起的方向偏差的改正稱標(biāo)高差改正，以高差改正，以 表示。表示。 h1222222sincos) 1 (2ABHe 22(1)/MaHH常2222221cos) 1 (2BHeK

26、112sinAKh 照準(zhǔn)點大地緯度照準(zhǔn)點大地緯度 測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角 與照準(zhǔn)點的緯度與照準(zhǔn)點的緯度B2B2對對應(yīng)的子午圈曲率半徑應(yīng)的子午圈曲率半徑 照準(zhǔn)點的覘標(biāo)高照準(zhǔn)點的覘標(biāo)高 標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點的標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點的高程有關(guān)。高程有關(guān)。 5050g3 3截面差改正截面差改正將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正 11221222sincos)2(12ABSeg 11(2)N1221222cos)2(12BSeK 122sinAKg 測站點大地緯度測站點大地緯度 與測站點的緯度與測站點的緯度B1

27、B1對應(yīng)的對應(yīng)的 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 截面差改正主要與測站點至照準(zhǔn)點截面差改正主要與測站點至照準(zhǔn)點間的距離間的距離S S有關(guān)。有關(guān)。51515252各等三角測量在歸算時對取位的要求：各等三角測量在歸算時對取位的要求： 一等需算至一等需算至0.001； 二等為二等為0.01； 三等和四等為三等和四等為0.1。 在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正；二等三角在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正；二等三角測量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高改正，而不加截面差改正；三測量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量只有在等和四等三角測量只有在 或或H2000m時，才分時，才分別

28、考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。 01 5353電磁波測距的歸算電磁波測距的歸算 前提：前提：1) 將兩點間的法截線長度將兩點間的法截線長度認(rèn)為是該兩點間的大地線長度；認(rèn)為是該兩點間的大地線長度；2) 兩點間的法截線長度與半徑等于其兩點間的法截線長度與半徑等于其起始點曲率半徑的圓弧長相差也很起始點曲率半徑的圓弧長相差也很微小微小(如當(dāng)如當(dāng)S=640KM時，之差等時，之差等于于0.3米；米；S=200KM時，之差等時，之差等于于0.005m)。由于工程測量中邊。由于工程測量中邊長一般為幾公里，最長也不過十幾長一般為幾公里，最長也不過十幾公里，因而，這種差異又可忽略不公里，因而，這種差異又可忽略不