平面向量三點(diǎn)共線性質(zhì)定理的推論及空間推廣

1、平面向量三點(diǎn)共線定理的推論及空間推廣南昌外國語學(xué)校 梁懿濤郵編：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126號南昌外國語學(xué)校電話電子信箱：liangyitao 一問題的來源平面向量三點(diǎn)共線定理:對于共面向量,，則、三點(diǎn)共線的充要條件是二問題的提出問題1.在上述定理中，如果、時(shí)，分別有什么結(jié)論？問題2.、有什么特定的意義嗎？問題3.上述問題可以推廣到空間嗎？三問題的解決推論1. 對于不共線向量,若，則（1）點(diǎn)在直線外側(cè)（不含點(diǎn)一側(cè)）的充要條件是（2）點(diǎn)在直線內(nèi)側(cè)（含點(diǎn)一側(cè)）的充要條件是證明：（1）必要性：如圖1-1，連OC交AB于點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，充分性：，存在，

2、使得且，在直線上，在直線外側(cè) 同理可證（2）進(jìn)一步分析，得：推論. 對于不共線向量,若，則（1）連接得直線，過點(diǎn)作平行于的直線，則、將平面分成三個(gè)區(qū)域，如圖1-2點(diǎn)落在各區(qū)域時(shí)，、滿足的條件是：（）區(qū)：；（）區(qū)：；（）區(qū)：特別地，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，（2）直線、將平面分成四個(gè)區(qū)域，如圖1-3，則點(diǎn)落在各區(qū)域時(shí)，、滿足的條件是：（）區(qū)：；（）區(qū)：；（）區(qū)：；（）區(qū)：證明略推論2.若，則，且當(dāng)，則點(diǎn)在線段上；當(dāng)，則點(diǎn)在線段的延長線上；當(dāng)，則點(diǎn)在線段的延長線上 證明：且，。當(dāng)時(shí)，與同向，如圖2-1所示，則點(diǎn)在線段上；當(dāng)時(shí)，與反向，且，如圖2-2所示，則點(diǎn)在線段的延長線上；當(dāng)時(shí)，與反向，且，

3、如圖2-3所示，則點(diǎn)在線段的延長線上推論3. 點(diǎn)是所在平面上且與不重合的一點(diǎn)，若，則，證明：只證的情形，其它情形可類似證明由得，存在點(diǎn)使得，且，如圖3，同理有，命題得證將以上結(jié)論拓展到空間，得：推論4. 對于不共面的向量,若，則：（1）若，則點(diǎn)在平面上（空間向量基本定理）；（2）若，則點(diǎn)在平面的外側(cè)（不含點(diǎn)O一側(cè)）；（3）若，則點(diǎn)在平面的內(nèi)側(cè)（含點(diǎn)O一側(cè)）證明：仿照推論1，略推論5. 對于不共面的向量，若，則（1），；（2）；（3），證明：（1），由推論3，可知結(jié)論成立（2）由（1）得證（3），同理可證，推論6.已知四面體及與其頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)，若，則證明：只證的情形，其它情形可類似證明由，得，

4、令，則四點(diǎn)共面，由推論5，又，如圖4，知，同理可證，命題得證四結(jié)論的應(yīng)用1（2006年湖南（理）如圖，點(diǎn)在由射線，線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且，則的取值范圍是 ；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 解析：由推論1及推論，有，且當(dāng)，有，即 答案為：，（，）2（2009年安徽卷（理）給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動若其中,則的最大值是_解析：由推論3，設(shè)，此時(shí)3(2010年高考天津卷理)如圖，在中，則= 解析：，由推論2，得，答案：4（2011屆黑龍江省哈爾濱三中高三10月月考理）如圖所示，兩射線與交于，下列向量若以為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的是 . ； 解析：由推論1及推論，可知的系數(shù)要滿足，適合的只有答案為5（江西省十所重點(diǎn)中學(xué)2010屆高三第一次模擬理）設(shè)點(diǎn)在的外部,且,則= 解析：由推論3，可知=5.（2011屆江蘇省南京師大附中高三學(xué)情調(diào)研）設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且，則的取值范圍是 .解析：由推論1及推論，可知滿足，表示點(diǎn)（）到的距離的平方，由線性規(guī)化知識可得所求的范圍為6（自編題）已知點(diǎn)與四面體，且，則解析：由推論5，可知7（自編題）已知點(diǎn)與四面體，且，則= .解析：由推論6， 可知.8（自編題）已知點(diǎn)是四面體內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且，則點(diǎn)滿足的概率是 .解析：因?yàn)辄c(diǎn)是四面體內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊