極限導(dǎo)數(shù)積分計(jì)算

1、函數(shù)的極限的計(jì)算1)初等函數(shù)f (x)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)：若f (a)存在,則有 lim f (x) f (a)x a2)變量代換:設(shè)lim g(x) b( g(x) b),x a右 lim f(u)u bA,則有l(wèi)im fg(x) lim f(u) Ax au b3)lim f (x)a的充要條件為：lim f (x)lim f (x)a .X xx xxX。4)lim f(x)xa的充要條件為：lim f (x)xlim f(x)xa.5)極限的四則運(yùn)算6)“ 0 ”，“一 ”型洛必達(dá)法則0例1. 設(shè)f (x)、1x x21 x x2 ,則 f (x)為()A.有界函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.

2、 lim f(x)x1； D.lim f(x) 1.x解題提示：1)f (x)為奇函數(shù).3)| f (x) | | f(|x|)|2|x|2.1 |x|x2 J |x| x2例2.下列各式中不正確的是().111A. lim ex； B.lim ex；C. lim ex0； Dx 01x 0x 02 e，sin x例3.求 lim (4.x 0_|x|1 ex解題提示:計(jì)算左右極限1lim ex 1.x洛必達(dá)法則是計(jì)算極限的有效方法 例4.計(jì)算下列極限：tan x 11) lim; 2)x - sin4x414) lim (x 0 x十);解題提示：5)令xln(1 lim - x5)tsin

3、3x例5.右 lim 一3x 0 xsin3x解題提示:3 -x0 In xlimxx或 ln(1f(x)2 x f(x)2丄)乂 ；3)x2丄)xln(10,計(jì)算sin 3x 3x!呼21 nX；丄).x1 12 x2limWx 02x3 f(x)極限計(jì)算中無窮小的處理：“0根在乘除運(yùn)算中，極限值不為0的因子先算出，“0因子”作等價(jià)無窮小代換 式”有理化例6.ex計(jì)算lim x 0 1. 1 sinsinx cosx (sin x cosx2x例7.lim ex 0limx211 sin2 xX esin xcosx2 sin xX esin xcosxn02 XX ecosxsin xXX

4、 esin xcosx(1(x(x叫xm0xx0代入,此式為1 sin2 x)(乘除運(yùn)算中“非“0根式”有理化）因子”先算出，“0因子”作等價(jià)無窮小代換）洛必達(dá)法則）1) limx1(計(jì)算下列極限：3x25.1. 2)sin . 2)x3洛必達(dá)法則）初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)例8.5x 3lim x 2 2x 24x 1g).x計(jì)算limxx2(.x 22.X 13lim x2 ( x 22 x 1xx)lim 1 2U 21 U 1u 0f (x)sin x 12 ,求 lim f (x).x 0例9. 已知lim3xx 0e3x 1解題提示：利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算左式極限計(jì)算中無窮大的處

5、理：“根式”有理化.“三角無窮大”的導(dǎo)數(shù)仍然為無窮大，“三角無窮大”要先變.求x 時(shí)的極限，分子，分母同時(shí)除以分子，分母中的最高次幕（“抓大頭”方法 中的“大頭”）.所謂“抓大頭”就是抓住關(guān)于 x的最高次的項(xiàng)，而把其余的項(xiàng)略掉.如nnanX6X a。廣 anXlim 匚-lim 匚.x bmX0X b x bmX例10.計(jì)算下列極限：1)tan3xlim;2)x tanx2limXx( x25.X21)4x2 x1 X 13)lim ( . x210x x); 4)lim:2XXXsin x計(jì)算limx在計(jì)算極限時(shí)，洛必達(dá)法則不要“濫用”例11.解題提示：用洛必達(dá)法則，觀察會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形x

6、sin x 例 12. lim().x x sin xA. 1 B.不存在 C. 0 D. 1解題提示：1)分析以下錯(cuò)誤運(yùn)算：x sinx limx x sinx2)分析以下錯(cuò)誤運(yùn)算：limxx sin x limx x sinxlimx1cosx1cosx1sin -1sin -0.lim 也 1.x sin -例13.求lim-解題提示：1)n2) lim 7x exxeexxeex先多次用洛必達(dá)法則，觀察會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形ln xlim 0 ( n為正數(shù)),當(dāng)xx時(shí)，可認(rèn)為ex為x的無窮大次幕，In x為-的0次幕.3) 分子，分母同時(shí)除以分子，分母中的最高次幕1e.-試用洛必達(dá)法則看看.

7、,即用“抓大頭”方法.例14.求limx解題提示：1)12)令tlim uv(其中的“1。,0?！毙停部捎门湫?極限計(jì)算法：ln(lime法：uv) lim vin u .0, lim v(x)設(shè) lim u(x)例15.計(jì)算下列極限：1lim(1 u)v lim( 1 u)uuvlim uve1) lim (sin 仝 cos-)n; 2)n n nlim (1x1x)l 3)xm (2 arctanx)lnx利用導(dǎo)數(shù)定義式計(jì)算極限例16.設(shè)f(x)在x a處可導(dǎo),f(x)0,1求 lim f (a )/ f (a)n. nnf (a解題提示：利用配e法，計(jì)算limnn1-)nf (a)例

8、17.設(shè)f(X)在點(diǎn)xo處有二階導(dǎo)數(shù),求極限f (Xo h) 2f (Xo) f (Xo h) lim2h 0h2解題提示：先用一次洛必達(dá)法則注意：因二階導(dǎo)數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)性不知，不可再次用洛必達(dá)法則oXfmoH hh) 2f (Xo)f (Xo h)X/V -TmoHhx0lim 1陛h o2hh) f (Xo) f (Xoh) f(Xo) f (Xo).利用中值定理計(jì)算極限 例18.計(jì)算下列極限：21) lim x In arctan(x 1) In arctanx;Xx 2cx2) lim arcta nxdx.x x x 1解題提示：1) 對(duì)函數(shù)f (t) ln arctan

9、t在x,x1 arctanIn arctan(x 1) In arctanx1上用拉格朗日中值定理112 , (XX 1).2)利用積分中值定理，x 2 xarcta n xdxx x 1arcta n,(x2).利用麥克勞林公式計(jì)算極限 例19.計(jì)算下列極限：2-；2)1) lim coSX 4ex o sin x解：1) sincosxlim (1x o21 212X4X24ln22o(x4),cosx2X221疋244X122O(x4),O(X4),112 .x.ln(1 )2e.4 sin xx ln(1 xW)22 213一 X 12丄2cosx limx 02) ln -2fo(x

10、3)o(x3)O(x3),Xmo(112 x尹廠)Xmo1112o(x3)31112導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算1) 四則運(yùn)算求導(dǎo)公式2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：f(g(x) f (g(x) g(x).3) 微分計(jì)算公式：df (x) f (x)dx .注意：微分等式中變量x可用任意可導(dǎo)函數(shù) g(x)作代換.24) 參數(shù)方程求導(dǎo)公式：巴dy dx,g_yg(3)dx.dx dt / dtdx2dt dx / dt5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，注意f (y)中y為中間變量6) 幕指函數(shù)求導(dǎo)公式： f(x)g(x)f(x)g(x) g(x)ln f(x).7) 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)y fi(x) l(x)

11、 fn(x) n(x),則有In y i(x)ln fi(x)n(x)ln fn(x)pl8) 設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，則有一 f(x)dx f (x).dx9) 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，u(x),v(x)可導(dǎo)，則有變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式d u(x)f(t)dt fu(x) u (x)fv(x) v(x)dx v(x)例1. 設(shè) f (x) sin x2 則 df (仮).dx例2. 設(shè) y f (u)可導(dǎo)，yfef(x)，則 dy .例3. 設(shè) y lnx，當(dāng) x 2 , x 0.01 時(shí)，dy .解題提示：自變量的微分等于自變量的增量，即dx x./x211例4.設(shè) f(x)dx In C，求

12、 f (x).Jx2 1 1ln x例5. 設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且F (x)1 f (t)dt，則F (x)xdx2 2例6. 求x f (t)dt,其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù).dx 0x2x2解題提示:o x f (t)dtx2 0 f (t)dt.例7.求xf (xdx 0t)dtx2,其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù).x x2解題提示：令ux t ,0f(xt)dtxf (u)du.例8.設(shè)f(x)x(x1)(x2)(x n),則f (0)解題提示：f (x)(x1)(xn) x(x 1)(xn).例9.若f( x)f(x),在(0,)內(nèi) f (x)0, f(x)0,則 f(x)在(,

13、0)內(nèi)().(A) f (x)0, f(x)0;(B)f (x)0,f(x)0;(C) f (x)0, f(x)0;(D)f (x)0, f(x)0.解題提示：f (x)為偶函數(shù).試證明:1) 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)；2) 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù).例10.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程xef(y)ey確定,其中f具有二階導(dǎo)數(shù),且f 1 ,求dx2 .例11.x.：ex :sin1 x解題提示：In例12.設(shè)1 .ln x4 ：f(u2)du f(t2)2丄 In sin1.16 x其中f (u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (u)0 ,求韭.dx高階導(dǎo)數(shù)與泰勒公式n1)萊布尼茲公式：(uv)(n) Cn

14、u(n k)v(k).k 02)函數(shù)f(x)其中 af (x)在點(diǎn)x a處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒展開式：(n 1)f (a) f (a)(x a)(x a), 0(n)(a)(x a)nn (n 和1,即 介于a與x之間.當(dāng)a 0時(shí)，稱麥克勞林公式n 1a)解：4) yxx e cosx e sin x、2ex cos(x3)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x a處帶皮亞諾型余項(xiàng)的 n階泰勒展開式：f (n) (a)f(x) f(a) f (a)(x a)(x a)n o(x a)nn!例13.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：1) yln(x 1);2) ycos kx ;x3) yxe ;x4) ye cosx

15、.y(n)( .2)nexcos(x ).4例14.求函數(shù)f(x) ln(1 x)在點(diǎn)x0處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒展開式例仆.求函數(shù)f (x) x21n(1 x)在點(diǎn)x 0處帶皮亞諾型余項(xiàng)的5階泰勒展開式例 16.設(shè) f (x)解題提示：f (x)x10TV則f(x9(10)/ 、(x)x 1),2 x例17.求函數(shù)f(x) x e在x 0處的n階導(dǎo)數(shù)宀a xf (n)(0) (nn!n 1(a x)3).n解題提示：1)利用萊布尼茲公式(uv)(n) cfun k)v(k).2)利用ex1 xn!o(xn)及麥克勞林公式解: exn!0(xn)f(x)(n 2)! OX),(n) (0)

16、n!(n)(0) n(n 1).例18.設(shè)f(x)x ，x05求f(0)1,x035(n 12n 1解題提示：x sin x xx1)x3!5!(2n1)!例19.設(shè)1 ./a mein xy求(n)(0)1 X2、,求y(0).解題提示：建立遞推公式(1x2)y(n1)(2n1)xy(n 2)!sin x(n)o(x2n1).n2y(n1)0三.不定積分的計(jì)算：1.常用公式tan xdxIn | cosx | C ；cot xdxIn|sin x |C;In | cscxcotx | C ；dx1+ xarcta naaC;dx1 I2 2 x a2 2 x a2adx.xC ;dxIn-a

17、rcs inC;secxdxIn | secx tanx|cscxdxaln|x|xx2 a2 | C.、a2x22 2 x a2.分項(xiàng)法：通過代數(shù)或三角恒等變形把所給不定積分化為基本積分公式中的積分或常 見的積分類型.例1.計(jì)算下列不定積分：旦| c；aX411)2dx ；2)一221 xsin xcos-dx ;xx sin x dx.I cos2x3.第一換元法(湊微分法):設(shè)F為ff (x) (x)dx f (x)d的原函數(shù)，u(x)湊微分:(x)可導(dǎo)，則有(x)dx d (x)f(x)dx F(x)F (x) C.如何確定中間變量u (x)?A) 從被積函數(shù)明顯的復(fù)合部分f (u)去

18、確定u B) 通過湊微分確定u .C) 從被積函數(shù)中復(fù)雜的部分去確定例2.計(jì)算下列不定積分：換元:C中x換為(x)1)tan Vx2 1 r x dx;1-x212)In tan x ,dx；sin xcosx3)xe .4) x dx；e 1dxdx5) x ;2e 1cosx sin x6)4 dx;1 x;8)x dx.x(1 x)cosx (1 e cosx)解題提示：8) (excosx)ex(cosx sin x).7)4.第二換元法(積分變量代換法)：設(shè)x (t)單調(diào)可導(dǎo)，則有f (x)dx f (t) (t)dt.積分變量代換法常見的有：1)作三角代換asi nt去根式2)作三

19、角代換ata nt去根式22ax22ax3)作三角代換asect去根式x2a24)作根式代換n ： ax b,tcx d5)對(duì)三角函數(shù)有理式作萬能代換xu tan 化為u的有理式，其中有dx2例3.2u1sin x2 , cosx -1 u1計(jì)算下列不定積分：2篤.作萬能代換計(jì)算，時(shí)常較繁，不要濫用u1)1 x2 dx;1 x2)dx-.(9 x2)33)dx322x x a4)dx5)e 2xdx;6)dx1 sin x cosx例4.解題提示：(x2xdx1)2、x2 2x2x (x 1)21，作代換sect.5.分部積分法：udv uv vdu.常見類型有:1)P(x)sin(ax b)

20、dx,P(x) cos(ax b)dx,P(x)eaxdx.取 u P(x)2)xn lnP(x)dx,xnarctanxdx等.取 dvnxdx.3)3iax iisec xdx, e sin bxdx,eax cosbxdx.用分部積分法回歸”例5.計(jì)算下列不定積分1)(x2 x)sin2 xdx;2)(x2 x 1)e ：dx;3)ln x ,dx;(1 x);4)arcta nx (5)eax cosbx dx;6)ln cosx i2 dx;x2 dx;cos x7)x sin 2x , dx;1 cos2x8)arctan x ,9) sinln x dx.22 dx;x (1 x

21、 )解題提示：1)令x asint.2)分部積分回歸法.2x例7. 求dx.(1 x )解題提示：1)分部積分法：-(12x .2、2 dxx )2)令 x tant.xxe .dx.-.ex 1令 tex 1.tan2 xsecxdx.例8. 求解題提示：例9. 求解題提示：1)分部積分回歸法.2 sin x丄 2,sin x12) tan xsecxdx3 dxcos xsin xd12cos x注：湊微分是計(jì)算積分的首要過程 是積出積分的重要一環(huán) 主要手段，靈活多變， 分題，計(jì)算當(dāng)中會(huì)出現(xiàn)1;分部積分法是 初學(xué)時(shí)不易掌握 恰好”之處.,是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，第一換元法是復(fù)合求導(dǎo)的逆運(yùn)算乘積”求

22、導(dǎo)的逆運(yùn)算，是計(jì)算積分的一種過度性的.切記：初等函數(shù)并不是都能 積得出”，不常見的積例10. 求解題提示:2)分項(xiàng)(XIn x , rdx.(x In x)2八 1 In x1)x1 In xIn x)2宀).x1 x (In x x)例11.1 sin x例12.(XInx)2x In xx2 (x In x).(x In x)exdx.1 cosx沁 exdx1 cosx1 sin xexdx2cos2 -xxe d ta n 22 x+ x e 求2(x 2)22 xx e ,2 dx(x 2)2x2ex1噸dex2xxe tan-2dx.x(2xex2ex)dxxexdxx2exxxe

23、(x 2)exx 26.特殊積分舉例例13. 求x 3rdxx 6x 5解題提示x 32x2 6x 5 x 54x 1例 14.求dx.x2 4x 8解題提示4x 1x2 4x 82(2x 4)922x 4x 8 (x 2)例15. 求x(x411)x(xna)dxx412)x1x111 -2x21x2dx解題提示：例16. 求1解題提示:x dxx212)4xA1a x2x-4xnxnx1 -).a例17.1 sin x解題提示：1)例18. 求例19. 求 dx.111 2x_17(x 1)x_2x(x令 u tan：2-dx,1 cosxsin x2)(x(xXI)2 2x1 sin x

24、 戲dx等.sin x1 sin x.化分母為單項(xiàng)，用此法可計(jì)算： xcos2cosxasin xa cosxbcosxbsin xasin xbcosxasin xb cosxasin xb cosx解題提示:dxdxsin3 x cos2 xdx.dx . a si nx bcosxIn| a sinx bcosx | C ,解題提示:sin m x cos2n 1 x sin m x (1 sin2 x)n (sin x).3例20.求co字dx.sin x解題提示：cosm x sin2n例21.求 cos4 xdx.cosmx (1 cos2x)n(cosx) 解題提示：1)降幕法2

25、)分部積分回歸法cosn xdx14(1,建立遞推公式：n 1cos4cos xxd sinxcos2x)2nsin xcos(n1).2sin xncos2 xdxnsin xcos(n1)n 2 cosxdx(n1)cosn xdx,cosn xdx1 sin xcos ncosx , dx .cos2 xdx.1例22.求23 sin x1解題提示:3 sin x3cos2 x 4 sin2 x1 (tanx).x4ta n四.定積分與廣義積分的計(jì)算1.設(shè)2.牛頓一萊布尼茲公式f (x)在a,b上連續(xù),且F (x)baf(x)dx定積分的分部積分公式f (x),則有F(b)F(a).設(shè)u

26、 (x), v (x)在a, b上連續(xù)，則有bu(x)dv(x)au(x)v(x)】abv(x)du(x).a3.定積分的換元法設(shè)f (x)在a, b上連續(xù),x (t)在a,b上變化,且x (t)在()a,baf(x)dx,上單值連續(xù)可導(dǎo)，當(dāng)t在)b,則有f (t)(t)dt.上變化時(shí),例23.計(jì)算下列定積分：1)4 tan2 xdx ;/ 02)dxx J ln2 x1 23) 0x arctanxdx；4)0cosxdx.2i例24.計(jì)算 X4 i 4 x2dx.0解題提示：1)令x2sint.nxdx02cosnxdX,則有 In3口I丨n 2n例25.計(jì)算 ox(1 x4)2dx.解題提示：令x2sint例26.計(jì)算04 ndtan x)dx.解題提示：令例27.已知f (x)sin (x1)2,且 f (0)0,10 f (x)dx.1解：f(x)dx xf (x)2xsin(x 1) dx1xf (x)dx01osin(x1)2dxf (0): xsi n(x 1)2dx10x) si n(x 1)2dx11-cos(x 1)2|0 -(1 22cosl)f(x)dxa0 f