文科立體幾何知識點、方法總結(jié)高三復(fù)習

1、 立體幾何知識點整理(文科 一.直線和平面的三種位置關(guān)系:1. 線面平行l(wèi)符號表示:2. 線面相交 符號表示: 3. 線在面內(nèi)符號表示:二.平行關(guān)系:1.線線平行:方法一:用線面平行實現(xiàn)。mlmll/=方法二:用面面平行實現(xiàn)。mlml/=方法三:用線面垂直實現(xiàn)。若ml,則ml/。方法四:用向量方法:若向量l和向量m共線且l、m不重合,則ml/。2.線面平行:方法一:用線線平行實現(xiàn)。/llmml/ll方法三:用平面法向量實現(xiàn)。若為平面的一個法向量,且l,則/l。3.面面平行:方法一:用線線平行實現(xiàn)。/,/且相交且相交mlmlmmll方法二:用線面平行實現(xiàn)。/,/且相交mlml三.垂直關(guān)系:1.

2、線面垂直:方法一:用線線垂直實現(xiàn)。ml =l AB AC A AB AC AB l AC l ,方法二:用面面垂直實現(xiàn)。=l l m l m ,2. 面面垂直:方法一:用線面垂直實現(xiàn)。l l方法二:計算所成二面角為直角。 3. 線線垂直:方法一:用線面垂直實現(xiàn)。m l m l 方法二:三垂線定理及其逆定理。PO l OA l PA l 方法三:用向量方法:若向量l 和向量m 的數(shù)量積為0,則m l 。 三.夾角問題。 (一 異面直線所成的角:(1 范圍:90,0( (2求法: 方法一:定義法。步驟1:平移,使它們相交,找到夾角。步驟2:解三角形求出角。(常用到余弦定理 余弦定理:abcb a

3、2cos 222-+=(計算結(jié)果可能是其補角 方法二:向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角(計算結(jié)果可能是其補角: =cos(二 線面角(1定義:直線l 上任取一點P (交點除外,作PO 于O,連結(jié)AO ,則AO 為斜線PA 在面內(nèi)的射影,PAO (圖中為直線l 與面所成的角。 (2范圍:90,0當=0時,l 或/l 當=90時,l (3求法: 方法一:定義法。步驟1:作出線面角,并證明。 步驟2:解三角形,求出線面角。(三 二面角及其平面角(1定義:在棱l 上取一點P ,兩個半平面內(nèi)分別作l 的垂線(射線m 、n ,則射線m 和n 的夾角為二面角l 的平面角。 (2范圍:180,0 (3求法: 方法一:

4、定義法。步驟1:作出二面角的平面角(三垂線定理,并證明。 步驟2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。步驟1:如圖,若平面POA 同時垂直于平面和,則交線(射線AP 和AO 的夾角就是二面角。 步驟2:解三角形,求出二面角。 方法三:坐標法(計算結(jié)果可能與二面角互補。 步驟一:計算121212cos n n n n n n =步驟二:判斷與12n n 的關(guān)系,可能相等或者互補。 四.距離問題。 1.點面距。 方法一:幾何法。步驟1:過點P 作PO 于O ,線段PO 即為所求。 步驟2 :計算線段PO 的長度。(直接解三角形;等體積法和等面積法;換點法2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距

5、。3.異面直線之間的距離 方法一:轉(zhuǎn)化為線面距離。m如圖,m 和n 為兩條異面直線,n 且/m ,則異面直線m 和n 之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m 與平面之間的距離。 方法二:直接計算公垂線段的長度。 方法三:公式法。如圖,AD 是異面直線m 和n 的公垂線段,/m m ,則異面直線m 和n 之間的距離為:cos 2222ab b a c d -=1A高考題典例考點1 點到平面的距離例1如圖,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱長都為2,D 為1CC 中點.(求證:1AB 平面1A BD ;(求二面角1A A D B -的大小;(求點C 到平面1A BD 的距離.解答過程(取BC 中點O

6、,連結(jié)AO .ABC 為正三角形,AO BC .正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC 平面11BCC B ,AO 平面11BCC B .連結(jié)1B O ,在正方形11BB C C 中,O D ,分別為1B C C C,的中點, 1B O BD , 1AB BD .在正方形11ABB A 中,11AB A B , 1AB 平面1A BD .(設(shè)1AB 與1A B 交于點G ,在平面1A BD 中,作1GF A D于F ,連結(jié)AF ,由(得1AB 平面1A BD .1AF A D , AFG 為二面角1A A D B -的平面角.在1AA D 中,由等面積法可求得AF =, 又112A

7、G AB =sin AG AFG AF =. 所以二面角1A A D B -的大小為. (1A BD 中,111A BD BD A D A B S =1BCD S =.在正三棱柱中,1A 到平面11BCC B .設(shè)點C 到平面1A BD 的距離為d .由11A BCD C A BD V V -=,得11133BCD A BD S S d , 1A BD d =. 點C 到平面1A BD. 考點2 異面直線的距離ABC D1A1C1BO F例2 已知三棱錐ABC S -,底面是邊長為24的正三角形,棱SC 的長為2,且垂直于底面.D E 、分別為AB BC 、的中點,求CD 與SE 間的距離.

8、解答過程: 如圖所示,取BD 的中點F ,連結(jié)EF ,SF ,CF ,EF 為BCD 的中位線,EF CD CD ,面SEF ,CD到平面SEF 的距離即為兩異面直線間的距離.又 線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD 上一點C 到平面SEF的距離,設(shè)其為h ,由題意知,24=BC ,D 、E 、F 分別是AB 、BC 、BD 的中點,2,2,621,62=SC DF CD EF CD 33222621312131=-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE 中,3222=+=CE SC SE在Rt SCF 中,30224422=+=+=CF SC SF又3,6=SEF S EF 由于h S V

9、 V SEF CEF S SEF C =-31,即332331=h ,解得332=h 故CD 與SE 間的距離為332. 考點3 直線到平面的距離例3. 如圖,在棱長為2的正方體1AC 中,G 是1AA 的中點,求BD 到平面11D GB 的距離. 思路啟迪:把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離,再用點到平面距離的方法求解. 解答過程:解析一BD 平面11D GB ,BD 上任意一點到平面11D GB 的距離皆為所求,以下求點O 平面11D GB 的距離,1111C A D B ,A A D B 111,11D B 平面11ACC A ,又11D B 平面11D GB 平面1111D GB ACC A ,

10、兩個平面的交線是G O 1,BACDOGH 1A 11D1B 1O教學(xué)設(shè)計方案 XueDa PPTS Learning Center 作 OH O 1 G 于 H，則有 OH 平面 GB 1 D 1 ，即 OH 是 O 點到平面 GB 1 D 1 的距離. 在 D O 1 OG 中， S D O OG = 1 1 2 O 1 O AO = 1 2 2 2 = 2 . 又 S D O OG = 1 1 2 OH O 1 G = 1 2 3 OH = 2 , OH = 2 6 3 . 即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距離等于 解析二 Q BD 平面 GB 1 D 1 ， 2 3 6 . BD

11、 上任意一點到平面 GB 1 D 1 的距離皆為所求，以下求點 B 平面 GB 1 D 1 的距離. 設(shè)點 B 到平面 GB 1 D 1 的距離為 h，將它視為三棱錐 B - GB 1 D 1 的高，則 V B - GB 1 D1 = VD 1 - GBB 1 ,由于 S D GB 1 D1 = 1 2 2 2 3 = 6， VD 1 - GBB 1 = 1 3 1 2 222 = 4 3 , h = 4 6 = 2 6 3 , 即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距離等于 2 3 6 . 小結(jié)：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是 選準恰

12、當?shù)狞c， 轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離； 解析二是等體積法求出點面距 離. 考點 4 異面直線所成的角 例 4 如圖，在 R t A O B 中， O A B = 6 ，斜邊 A B = 4 R t A O C 可以通過 R t A O B 以直線 A O 為軸旋轉(zhuǎn) 得到，且二面角 B - A O - C 的直二面角 D 是 A B 的中點 （I）求證：平面 C O D 平面 A O B ； （II）求異面直線 A O 與 C D 所成角的大小 解答過程： （I）由題意， C O A O ， B O A O ， B O C 是二面角 B - A O - C 是直二面角，

13、 C O B O ，又Q A O I B O = O ， C O 平面 A O B ， z A D E 又 C O 平面 C O D 平面 C O D 平面 A O B （II）作 D E O B ，垂足為 E ，連結(jié) C E （如圖） ，則 D E A O ， 6/9 O B A C D 教學(xué)設(shè)計方案 XueDa PPTS Learning Center CDE 是異面直線 A O 與 C D 所成的角 = BO = 2 ，O E = 1 2 B O = 1 ， C E = CO + OE 2 2 在 R t C O E 中， C O 又DE = 1 2 AO = 3 = 5 在 R t C

14、 D E 中， ta n C D E = CE DE = 5 3 = 15 3 異面直線 A O 與 C D 所成角的大小為 a rc ta n 1 5 3 小結(jié)： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直 線上選擇“特殊點” ，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間 圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常 用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍： 0 , p . 2 考點 5 直線和平面所成的角 例 5. 四棱錐 S BC

15、= 2 2 - ABCD = SB = BC 中， 底面 A B C D 為平行四邊形， 側(cè)面 S B C 3 底面 A B C D 已知 A B C = 45 o ，A B = 2 ， ， SA S （）證明 S A ； （）求直線 S D 與平面 S A B 所成角的大小 BC 解答過程： （）作 S O A B ，得 S OD C ，垂足為 O ，連結(jié) A O ，由側(cè)面 S B C D C B A 底 面 底面 A B C D S 因為 S A = S B ，所以 A O = B O ， 又 A B C = 45o ， 故 A O B為 等 腰 直 角 三 角 形 ， A O B O ，

16、由三垂線定理，得 S A B C C D 2 ， 2 O B A （）由（）知 S A B C ，依題設(shè) A D B C ， 故 S A A D ， A D = B C = 2 2 ，S A = 由 得 SO = 1 ， SD = 11 3 ，A O = S A B的面積 S 1 2 1 = 1 1 2 AB g SA - AB 2 2 = 2 連結(jié) D B ，得 D A B 的面積 S 2 = A B gA D s in 1 3 5 = 2 = 1 3 S O gS 2 o 設(shè) D 到平面 S A B 的距離為 h ，由于 V D - S A B = V S - A B D ，得 1 h g

17、S 1 3 ，解得 h = 2 設(shè) S D 與平面 S A B 所成角為 a ，則 s in a = h SD = 22 11 2 11 = 22 11 所以，直線 S D 與平面 S B C 所成的我為 a rc s in 小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系； （2）當直線和平 7/9 教學(xué)設(shè)計方案 XueDa PPTS Learning Center 面斜交時，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角， 計算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點明直線和平面所成的角的值. 考點 6 二面角 例 6如圖，已知直二面角 a - P

18、Q - b ， A P Q ， B a ，C b ，C A = C B ， b C A Q （I）證明 B C P Q B A P = 4 5 ，直線 C A 和平面 a 所成的角為 3 0 o o P （II）求二面角 B - A C - P 的大小 a B 過程指引： （I）在平面 b 內(nèi)過點 C 作 C O P Q 于點 O ，連結(jié) O B 因為 a b ， a I b = P Q ，所以 C O a ， 又因為 C A = C B ，所以 O A = O B 而 B A O = 4 5 o ，所以 A B O = 4 5 o ， A O B = 9 0 o ， 從而 B O P Q ，

19、又 C O P Q ， 所以 P Q 平面 O B C 因為 B C 平面 O B C ，故 P Q B C （II）由（I）知， B O P Q ，又 a b ， a I b = P Q ， B O a ，所以 B O b 過點 O 作 O H A C 于點 H ，連結(jié) B H ，由三垂線定理知， B H A C 故 B H O 是二面角 B - A C - P 的平面角 b C H A O Q P a B 由（I）知， C O a ，所以 C A O 是 C A 和平面 a 所成的角，則 C A O = 3 0 o ， 3 2 不妨設(shè) A C = 2 ，則 A O = 3 ， O H =

20、A O s in 3 0 = o 在 R t O A B 中 ， A B O = B A O = 4 5 o ， 所 以 B O= BO OH 3 3 2 A = 3 ， 于 是 在 R t B O H O 中 ， t a BHO = n = = 故二面角 B - A C - P 的大小為 arctan 2 2 小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面 角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條 平行直線找出棱，補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面 角的一種

21、常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小. 8/9 教學(xué)設(shè)計方案 XueDa PPTS Learning Center 考點 7 利用空間向量求空間距離和角 例 7 如圖，已知 A B C D - A1 B1 C 1 D 1 是棱長為 3 的正方體， 點 E 在 A A1 上，點 F 在 C C 1 上，且 A E = F C 1 = 1 （1）求證： E ， B， F ， D 1 四點共面； （2）若點 G 在 B C 上， B G = 2 3 D D1 A1 B1 C1 F E M A ，點 M 在 B B 1 上， G M B F ， H 垂 足 為 G B C H ，求證： E M 平面 B C C 1 B 1 ； （3）用 q 表示截面 E B F D 1 和側(cè)面 B C C 1 B1 所成的銳二面角的大小，求 tan q 過程指引： （