三章矩陣和向量的應用ppt課件

1、第三章 矩陣和向量的應用向量空間向量空間一、向量空間及其子空間1.定義：設定義：設V是是n維向量的非空集合，如果維向量的非空集合，如果V對于向量加法對于向量加法 及數(shù)乘兩種運算封閉，即：及數(shù)乘兩種運算封閉，即：VkVRkV,則稱集合V為n維向量空間,簡稱為向量空間。例如：RaaaaaaR32, 132, 13,),(RaaaaaaRnnn,),(2, 12, 1RaaaaVnn,),0(22,1RkkkkkkVmmm,2122112RaaaaVnn,),1(22,3),(21mL2.子空間：子空間：W、V 為為 向量空間，若向量空間，若W V，那么，那么 稱稱 W 是是V 的子空間。的子空間。

2、RaaaaVnn,),0(22,12V),(21mL如都是 的子空間。nR1V),(21mL2V),(21sL例：212121,VVsm等價，則與若只需證明2121VVVV且向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)定義：定義：滿足rVn,21中的向量組維向量空間若線性無關(guān)；ri,)(21中向量均可由Vii)(線性表示。r,21的一個基。為則稱Vr,21基中所含向量個數(shù) r 稱為向量空間的維數(shù)。；的維數(shù)為nRn；的維數(shù)為1,),0(22,1nRaaaaVnn).,(,),(2121212mmmrLV的秩的維數(shù)為的極大無關(guān)組。m,21；基為neee,21；基為nee,2基為若向量空間的基為r,21),

3、(21rLV向量在基下的坐標向量在基下的坐標rrkkk2211定義：設定義：設r,21是向量空間V 的基，且,V下的坐標。，r21rkkk，則稱系數(shù)21在基為注：注：1.向量在一組確定的基下的坐標是惟一的。（為什么？）向量在一組確定的基下的坐標是惟一的。（為什么？）2.向量空間的基不惟一,因而,向量在不同基下的坐標也不一樣。你能推導出向量在不同基下的坐標變換式嗎？詳見參考書第59頁。3.向量在一組基下的坐標如何求？一般有兩種求法：待定系數(shù)法與矩陣方程法。線性方程組線性方程組一、齊次線性方程組一、齊次線性方程組000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxax

4、axaxa稱為齊次線性方程組。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣nxxxX21OAX 方程組的方程組的矩陣形式矩陣形式齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)TO)0 , 0 , 0(000顯然是方程組的解；稱為零解。若非零向量Tnnaaaaaa),(2121是方程組的解，則稱為非零解，也稱為非零解向量。性質(zhì)1：齊次方程組的兩個解的和仍是方程組的解。即：也是解向量。是解向量，則2121,性質(zhì)2：也是解向量。是解向量，則kOAV令則V 構(gòu)成一個向量空間。稱為方程組的解空間。若齊次線性方程組的解空間存在一組基,21s則方程組的全部解就是,2211sskkk

5、這稱為方程組的通解。由此可見，要求方程組的全部解，只需求出其基。定義：若齊次方程組的有限個解,21s滿足：線性無關(guān)；si,)(21方程組的任一解都可由)(ii線性表示；s,21則稱礎解系。是齊次方程組的一個基s,21sskkk2211 也就是說，我們將解空間的基稱為基礎解系，此時，通解就是基礎解系的線性組合，即為：齊次線性方程組基礎解系的求法齊次線性方程組基礎解系的求法1.行最簡形矩陣：行最簡形矩陣：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211設 r(A) =r n ,且不妨設A 中最左上角的 r 階子式不為零。則經(jīng)有限次行初等變換，矩陣 A 化為：0000000000100010

6、001)(1)(221)( 111rnrrrnrnnmbbbbbbI顯然：IA 同解。與OIXOAX行最簡形OIX 為：000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbx)()()()(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbxrxxx,21真未知量nrrxxx,21自由未知量rxxx,21nrrxxx,21由自由未知量惟一確定:,21基為個向量，最簡單的一組其基含有構(gòu)成一向量空間，）（rnxxxVnrrrneee,21rxxx21Trnbbbxxx0 , 0 , 1,12111211,121

7、11rbbb,22212rbbb)()(2)( 1rnrrnrnbbbTrnrrnrnnrnbbbxxx1 , 0 , 0,)()(2)( 121,00121nrrxxx,010100線性無關(guān)；rni,)(21線性表示。任一解都可由rnii,)(21就是一組基礎解系。是解空間的一組基，也rn,21從推導過程可以看出：基礎解系不惟一，但所含向量個數(shù)相等，都等于 n - r(A).綜上有：。數(shù)為礎解系所含解向量的個則它有基礎解系，且基，的秩組的系數(shù)矩陣定理：若齊次線性方程rnnrArA)(必須牢記：基礎解系所含向量的個數(shù)為必須牢記：基礎解系所含向量的個數(shù)為 未知數(shù)個數(shù)減系數(shù)矩陣的秩。未知數(shù)個數(shù)減系

8、數(shù)矩陣的秩。 推論1：對齊次線性方程組，有 假設 r(A)=n 則方程組有惟一零解; 假設 r(A)=rn ，則方程組有無數(shù)多解，其通解為rnrnkkk2211系。是解空間的一組基礎解rn,21例1：求方程組的通解07403202321321321xxxxxxxxx解：174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程組為 , 13x3521xx基礎解系為T) 1 , 3 , 5(通解為Tkk) 1 , 3 , 5(例2：求方程組的通解032030432143214321xxxxxxxxxxxx3211311111

9、11A210042001111000021001111000021001011同解方程組為,0142xx,0131xxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基礎解系為：2211kk通解為1x3x42xx 42x1021Ex:nBrArOABnBA)()(,證明階方陣且為設,OAB 證：),(, 2, 1nB設niOAi, 2 , 1,則的解向量，都是OAXn,2, 1)(),(, 2, 1ArnrnnBrAr)()(推論2：n 元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系 數(shù)行列式為零。二、非齊次線性方程組二、非齊次線性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxab

10、xaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21mbbbB21系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣BAX OAX 方程組的方程組的矩陣形式矩陣形式非齊次非齊次方程組的方程組的導出組導出組（1）非齊次線性方程組的有解判定非齊次線性方程組的有解判定mbbb21121111maaa222122maaamnnnnaaa21nnxxx2211引進向量方程組的向量方程方程組的向量方程方程組1有解線性表示可由n,21)()(),(21ArArAn.) 1 (),(21的增廣矩陣稱為方程組nA非齊次線性方程組的解法非齊次線性方程組的解法1.非

11、齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1：非齊次方程組1的兩個解的差是它的導出組的解。BABA21,OA)(21性質(zhì)2：非齊次方程組1的一個解與其導出組的一個解的和是 非齊次方程組1的解。OABA,BA)(2.非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解特解，是非齊次方程組的一個設rnrnkkk2211出組的基礎解系，是其導rn,21則非齊次方程組1的通解為定理：定理：).(,21Arrkkkrn為任意常數(shù)，推論：推論：）有惟一解；時，方程組（ 1)()()(nArAri）有無窮多解，其時，方程組（ 1)()()(nArArii通解為rnrnkkk2211）無解。時，方程組（ 1)()()(ArAriii

12、27403212321321321xxxxxxxxx例1：求解方程組201174132121A221310310121021000310121023000310501023000310501有解)()(ArAr23353231xxxx同解方程組為k , 03x2321xxT)0 , 2 , 3(特解為 , 13x3521xx所以 基礎解系為T) 1 , 3 , 5(通解為323135xxxx例2：求方程組的通解2/132130432143214321xxxxxxxxxxxx2/110321131111111A2/11021004200111102/1000002100111102/12/100

13、0021001011同解方程組為2/122/143421xxxxx042 xx2/131xxT)0, 2/1, 0, 2/1 (特解為有解)()(ArAr10,0142xx21,0131xx434212xxxxxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基礎解系為：2211kk通解為非齊次方程組的求解步驟非齊次方程組的求解步驟;)()(. 1斷是否有解以判與化為梯形陣；從而求出，并將寫出ArArAA同解方程組；自由未知量，并寫出未知量與化為行最簡形，確定真在有解時，進一步將A. 2通解。寫出，以求出基礎解系；并；再給自由未知量取值解而求出特求出真未知量的值，從先

14、令自由未知量為零，. 3如何確定？如何確定？ 注意什么？注意什么？含參數(shù)的方程組含參數(shù)的方程組在求解方程組之前，要先確定參數(shù)值。這是準則。而參數(shù)值的確定，要依據(jù)有解的條件即：)()(ArAr一般而言，有兩種方法確定參數(shù)值。 一種是行列式法，另一種是初等變換法。求其解。無窮多解？并在有解時無解？有惟一解？為何值時，方程組例1554212. 1321321321xxxxxaxxaxxa解：5541112aaA5541112aaA251045410aaa452aa54, 10aaA時，方程組有惟一解。且541aa補充補充時，方程組為1a1554212321321321xxxxxxxxx不再是含參數(shù)的

15、方程組了。時，方程組為54a15542541542321321321xxxxxxxxx不再是含參數(shù)的方程組了。有解？為何值時，方程組例43214321432132130. 2xxxxxxxxxxxx10321131111111A102100420011112/12/10000021001111，方程組有解。時，)()(21ArAr問題：此題能用行列式法求解嗎？問題：此題能用行列式法求解嗎？不能！不能！兩個關(guān)于方程組的問題：兩個關(guān)于方程組的問題：的通解。，求），（，），（是它的三個特解，且，的秩為的系數(shù)矩陣設四元非齊次方程組BAXABAXTT432154323. 1321321由題設，基礎解系只

16、含一個解向量，可取為，），（），（TTT)6 , 5 , 4 , 3(432154322)(221.1k通解為（詳見參考書第82頁。）.), 3 , 1 (,)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 (. 2321TTTTba設線性表示？表示式為？，能用取何值時）（321,1ba線性表示？，不能用取何值時）（321,2ba332211xxx設AXxxx321321),(321321,345210123111),(xxxXA是否有解的問題。組線性表示轉(zhuǎn)化為方程，能用取何值時AXba321,（詳見參考書第82頁。）向量組的正交性向量組的正交性

17、一、向量的內(nèi)積：1.定義1：設有向量),(2, 1naaa),(2, 1nbbb）。，的內(nèi)積，記為（與稱為向量nnbababa2211），（nnbababa2211Ti），（)()(，（），（ii）（，）（kkkiii,)(,)(）（，）（,)(,)(iv），（)(v222221naaa2.向量的單位化111為單位向量。1二、向量的夾角：自學。三、向量的正交性：1.定義2.正交。與則稱向量），若（, 02.定義3.即滿足兩兩正交，維非零向量個如果mnm,21)( , 0jiji），（簡稱為正交組。為正交向量組,21m).1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (2

18、1neee為正交向量組。也稱為單位正交組或標準正交組。3.正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線性無關(guān)。則為正交向量組設mm,2121定理定理:回憶:如何證明一組向量線性無關(guān)?則稱向量組證:Okkkmm2211設0),(),(2211Okkkimmi0),(),(),(2211mimiikkk則為正交向量組,21m)( , 0jiji），（0),(iiik00),(,iiiikO即由于( i =1,2,m )為線性無關(guān)向量組。m,21問題問題:線性無關(guān)的向量組是否為正交組線性無關(guān)的向量組是否為正交組?不是不是 !) 1 , 0 , 0(),1 , 0 , 1 (21反例：四、向量組的正交規(guī)范化：為線性無關(guān)向量組，令公式：設m,211111222），（），（11222231111333），（），（），（），（111122221111mmmmmmmmm），（），（），（），（），（），（等價；與mmi,)(2121為正交組。mii,)(21正交向量組。為單位化，即得到單位再將m,21五、正交矩陣：1.定義4：階正交矩陣。為，則稱滿足階方陣若nAEAAAnT2.性質(zhì)：. 1)( AnAi階正交矩陣為若也是正交矩陣。與階正交矩陣為若1)(AAnAiiT也是正交矩陣。與階正交矩陣為若BAABnBAiii,)(3.正交矩陣的