魏雅薇復變函數(shù)論第二章ppt課件

1、第二章第二章378700000解析函數(shù)解析函數(shù)第二章 解析函數(shù)1 解析函數(shù)解析函數(shù)2 函數(shù)導數(shù)的充要條件函數(shù)導數(shù)的充要條件3 初等解析函數(shù)初等解析函數(shù)南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇解析函數(shù)解析函數(shù)1 1 復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)2 解析函數(shù)解析函數(shù)南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)000( )() lim zzf zf zzz 導數(shù)的定義導數(shù)的定義 定義定義 設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的上的( )wf z 存在，則稱存在，則稱 在在 點可導點可導, 并把這個極并把這個極( )f z0zz 限值稱為限值稱為 在在 點的導數(shù)，記做點的導數(shù)，記做 0().fz (

2、 )f z0zz 復變函數(shù)復變函數(shù), z0是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的定點內(nèi)的定點. 若極限若極限 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 定義中的極限式可以寫為定義中的極限式可以寫為 000()() lim, zf zzf zz 即當即當 在在 點可導時點可導時, ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意注意0(0)zzz 的方式是任意的的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 此時，對此時，對D內(nèi)任意一點內(nèi)任意一點z, 有有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用也可用 dd ( ), ddwf zzz等

3、表示等表示 在在z點的導數(shù)點的導數(shù). ( )f z假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)每一點都可導內(nèi)每一點都可導, 則稱則稱 ( )f z( )f z在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)可導內(nèi)可導.南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇那么那么 例例 設(shè)設(shè) 2( ),f zz ( )f z在復平面內(nèi)在復平面內(nèi)處處可導，且處處可導，且 ( )2 .fzz 解因為解因為zzfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以所以南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 證明證明 ( )2f zxyi 在復面內(nèi)處處在復面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導連續(xù)，但處處不可導. 證明對復平面內(nèi)任意點

4、證明對復平面內(nèi)任意點z, 有有 ()( )f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故故 0lim ()( )0.zf zzf z 這說明這說明 ( )2f zxyi 在復面內(nèi)處處連續(xù)在復面內(nèi)處處連續(xù). 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是但是, 設(shè)設(shè) 沿著平行于沿著平行于x 軸的軸的z 方向趨向于方向趨向于 0, 即即0, 0.xy 于是于是南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim

5、2.yyiyi 所以所以( )2f zxyi 的導數(shù)的導數(shù)不存在不存在.設(shè)設(shè) 沿著平行于沿著平行于y 軸的方向趨向于軸的方向趨向于 0, 即即z 0, 0,xy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 .Im)(的的可可導導性性討討論論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy 0,zxky當沿趨 于 時南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇zzfzzfzfzz )()(limlim0001lim,x k yyxi yki , 0 極限值不同極限值不同時時沿不同的方向趨于沿不同的方向趨于當當 z .Im)(在在復復平平面面上

6、上處處處處不不可可導導故故zzf 不存在不存在極限極限zfz 0lim所以所以南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 可導與連續(xù)的關(guān)系可導與連續(xù)的關(guān)系0000()()lim()0,zf zzf zfzz 函數(shù)函數(shù)f (z)f (z)在在z0z0處可導，則在處可導，則在z0z0處一定連續(xù)處一定連續(xù), , 但但函數(shù)函數(shù)f (z)f (z)在在z0z0處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在z0z0處可導處可導. . 事實上事實上, ,由由 f (z) f (z)在在z0z0點可導點可導, , 必有必有).()()()( 000zfzzfzzfz r r令令南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇000()()() (), f

7、zzf zfzzzzr r , )()(lim000zfzzfz 所以所以0lim()0,zzr r 再由再由即即( )f z在在0z處連續(xù)處連續(xù). 反之反之, 由前例由前例 知知, 不可導不可導. ( )2f zxyi 但是二元實函數(shù)但是二元實函數(shù) 連續(xù)連續(xù), ( , ), ( , )2u x yx v x yy 于是根據(jù)于是根據(jù) 連續(xù)的連續(xù)的 充要條件知充要條件知, 函數(shù)函數(shù)( )2f zxyi 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇連續(xù)連續(xù). 求導法則求導法則 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實函數(shù)由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實函數(shù)導數(shù)的定義在形式上完全一致，同時，復變函導數(shù)的定義在形式上完全一

8、致，同時，復變函數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而實函數(shù)中的求導法則可推廣到復變函數(shù)中，且實函數(shù)中的求導法則可推廣到復變函數(shù)中，且證明方法相同證明方法相同.求導公式與法則求導公式與法則:(1)( )0, c 其中其中c為復常數(shù)為復常數(shù).(2)1(),nnznz 其中其中n為正整數(shù)為正整數(shù).南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz (6) (

9、)()( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇解析函數(shù)解析函數(shù)定義定義 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域D有定義有定義. f z(1) 設(shè)設(shè) , 若存在若存在 的一個鄰域，使得的一個鄰域，使得 0zD 0z在此鄰域內(nèi)處處可導在此鄰域內(nèi)處處可導, 則稱則稱 在在 處解析處解析,( )f z0z( )f z也稱也稱 是是 的解析點的解析點. 0z( )f z(2) 假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則內(nèi)每一點都解析，則稱稱 ( )f z在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 或者稱或者稱 是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的內(nèi)的( )f z( )f z解析函數(shù)解析函數(shù). 南開大學南開大

10、學 魏雅薇魏雅薇(3) 設(shè)設(shè)G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域是一個區(qū)域，若閉區(qū)域 ,DG 且且 在在G內(nèi)解析，則稱內(nèi)解析，則稱 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上上 ( )f z( )f zD解析解析. 函數(shù)函數(shù) 在在 處解析和在處解析和在 處可導意義處可導意義( )f z0z0z不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一鄰域內(nèi)可導的某一鄰域內(nèi)可導, 0z但后者只要求在但后者只要求在 處可導處可導. 0z函數(shù)函數(shù) 在在 處解析和在處解析和在 的某一個鄰的某一個鄰( )f z0z0z域內(nèi)解析意義相同域內(nèi)解析意義相同. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)

11、可導是等價的是等價的. 事實上，復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該事實上，復變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導區(qū)域內(nèi)可導. . 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇若函數(shù)若函數(shù)f(z ) 在在 處不解析，但在處不解析，但在 的任一鄰域的任一鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有f(z ) 的解析點的解析點 則稱則稱 是是 f(z)的奇點的奇點. 0z0z0z 假設(shè)假設(shè) 是是 f(z) 的奇點的奇點, 但在但在 的某鄰域的某鄰域內(nèi)內(nèi), 0z0z除除 外外, 沒有其他的奇點，則稱沒有其他的奇點，則稱 是函數(shù)是函數(shù)f(z) 0z0z的孤立奇點的孤立奇點. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇根據(jù)求導法則，很容易得到下面的結(jié)論根據(jù)求導法則

12、，很容易得到下面的結(jié)論.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 那么那么 ( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在也在D內(nèi)解析內(nèi)解析. 當當 時時, 是是00, ()0zD g z 0z f zg z的解析點的解析點. 特別地特別地, 多項式多項式P(z)在全平面內(nèi)解析在全平面內(nèi)解析,有理分式在復平面內(nèi)除分母為零的點之外解析有理分式在復平面內(nèi)除分母為零的點之外解析, 分母為零的點是有理分式的孤立奇點分母為零的點是有理分式的孤立奇點. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例. 132)( 25域域上上的的導導數(shù)數(shù)的的解解析析性性區(qū)區(qū)域域及及該該區(qū)

13、區(qū)求求函函數(shù)數(shù) zzzzf解解 01 2，當當 z , )( 外外處處處處解解析析在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)除除所所以以izzf . 為為它它的的奇奇點點iz 2時時，即即iz 不解析不解析函數(shù)函數(shù))( zf22524)1(2)32()1)(110()( zzzzzzzf.)1(16106 22246 zzzzz南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例. )( 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zzf 解解zzfzzfzf )()(zzzz .zz , yixz 令令zf .yixyix , 1lim 00 zfyx因為因為, 1lim 00 zfxy . lim 0不存在不存在所以所以zfz . )( 在

14、在復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析因因此此zf南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 證明證明 在在 處可導處可導, 2( )f zz z 0z 但處處不解析但處處不解析. 證明根據(jù)導數(shù)的定義證明根據(jù)導數(shù)的定義, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因而因而 在在 處可導，且處可導，且 ( )f z0z (0)0.f 當當 時時, 由由 得得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇故故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 雖然

15、雖然020000lim()22,zzzz zz zz但是當?shù)钱?z分別從平行于分別從平行于x, y軸方向趨于軸方向趨于z0時，時， 分別分別 00zzzz 以以1和和-1為極限，因而為極限，因而 不存在不存在. 又因為又因為 000limzzzzzz 00,z 所以所以 不存在，即不存在，即 000( )()limzzf zf zzz ( )f z在在 時不可導時不可導, 從而在復平面內(nèi)處處不解析從而在復平面內(nèi)處處不解析. 0z 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇在此強調(diào)在此強調(diào):函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的.但但是是函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的函數(shù)

16、解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導的要求要高得多要比可導的要求要高得多即函數(shù)在即函數(shù)在z0點解析點解析函數(shù)在一點處解析與在一點處可導不等價函數(shù)在一點處解析與在一點處可導不等價函數(shù)在函數(shù)在z0z0點可導點可導函數(shù)閉區(qū)域上解析與在閉區(qū)域上可導不等價函數(shù)閉區(qū)域上解析與在閉區(qū)域上可導不等價即函數(shù)在閉即函數(shù)在閉區(qū)域上解析區(qū)域上解析函數(shù)在閉區(qū)函數(shù)在閉區(qū)域上可導域上可導說說明明南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇通過上述用定義討論函數(shù)的解析性，通過上述用定義討論函數(shù)的解析性，我們深深地體會到：我們深深地體會到：用定義討論函數(shù)的解析用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！性絕不是一種好辦法！任務！任務！南開大學南開大

17、學 魏雅薇魏雅薇函數(shù)可導的充要條件函數(shù)可導的充要條件1 1 函數(shù)可微的概念函數(shù)可微的概念2 2 函數(shù)可導的充要條件函數(shù)可導的充要條件南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 復變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)復變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致的微分概念完全一致. 復變函數(shù)可微與可導是否也具有一元實變函數(shù)復變函數(shù)可微與可導是否也具有一元實變函數(shù)可微與可導的關(guān)系？可微與可導的關(guān)系？00()(), f zzf zAzz 函數(shù)可微的概念函數(shù)可微的概念定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, ( )f z0z若存在復常數(shù)若存在復常數(shù)A, 使得使得 其中其中 則

18、稱則稱 在在 點可微點可微. 0lim0,z ( )f z0z南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇000()() lim. zf zzf zAz 引理復變函數(shù)引理復變函數(shù) 在點在點 可導的充分必要可導的充分必要( )f z0z條件是條件是 在在 點可微，且點可微，且( )f z0z0().Afz 證明假設(shè)證明假設(shè) 存在，設(shè)存在，設(shè) 那么那么 0()fz 0()Afz ，令令 那么那么00()() ,f zzf zAz 00()(), f zzf zAzz 且且 . 0lim 0 z南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇反之，假如反之，假如 00()(), f zzf zAzz 那么那么 00()().f z

19、zf zAz 令令 那么那么 存在存在. 0,z 0()fzA 這個引理表明這個引理表明, 函數(shù)函數(shù) 在在 可導與在可導與在( )f z0z0z可微等價可微等價.南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇與一元實函數(shù)類似與一元實函數(shù)類似, 記記 000d ()()() d ,f zfzzfzz d ( )( ) d .f zfzz 稱之為稱之為 在在 處的微分處的微分. ( )f z0z如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微, 則稱則稱( )f z( )f z在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可微內(nèi)可微, 并記為并記為南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇函數(shù)可導的充要條件函數(shù)可導的充要條件定理定理 復變函數(shù)復變函數(shù)

20、 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在點在點 處可微處可微 ( 即可導即可導 ) 的充分必要的充分必要 000zxiy 條件是二元函數(shù)條件是二元函數(shù) 在在 處都處都 ( , ), ( , )u x y v x y00(,)xy可微，并且滿足可微，并且滿足Cauchy-Riemann方程方程, .uvuvxyyx 此時此時 000()(,).uvfzixyxx 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇證明必要性證明必要性. 假設(shè)假設(shè)(a, b是實常數(shù)是實常數(shù)). 由由 f(z) 可微可微, 000()()()f zzf zfzzz 12()()()()aibxi yixi y 12(

21、)a xb yxy 21(,i b xa yxy 其中其中 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇12Re , Im . 0()fzaib 0()fz 存在，設(shè)存在，設(shè) 顯然顯然, 當當 時，時，0z 120, 0. 0000(,)(,),uu xx yyu xy 0000(,)(,),vv xx yyv xy 那么那么 于是有于是有 00()().f zzf zui v 12()ui va xb yxy 21().i b xa yxy 由兩個復數(shù)相等的條件可得由兩個復數(shù)相等的條件可得設(shè)設(shè)南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇21.vb xa yxy 12,ua xb yxy 因而，因而， 在在 處可微，且處

22、可微，且 ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy.vubxy ,uvaxy 充分性充分性. 假設(shè)假設(shè) 在在 處可處可微微, ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy且滿足且滿足Cauchy-Riemann方程方程. 令令 , ,uvvuabxyxy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇那么那么1,ua xb yr r 2,vb xa yr r 其中其中 且當且當 時，時， 22,xyzr r 0r r120,0. 于是于是 00()()f zzf zui v 12()a xb yi b xa yr r r r 12()()()axi yb i xyir r 12

23、()().abizir r 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇由由 可得可得 22,xyzr r 12() 0 .iozzr r 由由 此此 , 可知可知 在在 處可微處可微, 且且 ( )f z0z 000(),.uvfzaibixyxx 0().uvuuvvvufziiiixxxyyxyy 顯然顯然, 有如下結(jié)論成立有如下結(jié)論成立南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 . 0 0 )( 不可導不可導西黎曼方程但在點西黎曼方程但在點滿足柯滿足柯在點在點證明函數(shù)證明函數(shù) zzxyzf證證, )( xyzf 因為因為0, , vxyu所所以以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuux

24、x),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z注：注：CR方程是函數(shù)可導的必要條件而非充分條方程是函數(shù)可導的必要條件而非充分條件件南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 , 趨趨于于零零時時沿沿第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)的的射射線線但但當當kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 變變化化隨隨k , 0)0()(lim 0不不存存在在故故 zfzfz . 0 )( 不可導不可導在點在點函數(shù)函數(shù) zxyzf南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定

25、方法: : (1) 如果能夠用求導公式或求導法則驗證復如果能夠用求導公式或求導法則驗證復變函數(shù)變函數(shù)f (z)的導數(shù)在區(qū)域的導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在, 則可直則可直接斷定接斷定f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析. (2) 如果復變函數(shù)如果復變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函中的函數(shù)數(shù) u(x,y)和和 v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)各個一階偏導數(shù)連內(nèi)各個一階偏導數(shù)連續(xù)續(xù) (因而因而u(x,y)和和v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可微內(nèi)可微), 并且滿并且滿足足Cauchy-Riemann方程方程, 則由解析函數(shù)的充要則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù)條件可以斷定函數(shù)f

26、(z)在區(qū)域在區(qū)域D解析解析.南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 證明函數(shù)證明函數(shù) ( )(cossin )xf zeyiy 是復平面是復平面C上的解析函數(shù)，且上的解析函數(shù)，且 ( )( ).fzf z 證明顯然，證明顯然， ( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yey 在全平面上可微，且在全平面上可微，且 cos , sin ,xxuueyeyxy sin , cos .xxvveyeyxy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 在全平面處處滿足在全平面處處滿足Cauchy-( , ), ( , )u x y v x yRiemann方程方程, 所以所以 是復平面是復平

27、面C上的解析上的解析( )f z函數(shù)函數(shù), 并且并且( )(cossin )( ).xuvfzieyiyf zxx Cauchy-Riemann方程在解析函數(shù)論及其方程在解析函數(shù)論及其在力學、物理學等的應用中具有根本性的意義在力學、物理學等的應用中具有根本性的意義,特別是在流體力學和靜電場理論中，起到重要特別是在流體力學和靜電場理論中，起到重要作用作用.南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 設(shè)設(shè) 2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy 其中其中 a, b, c, d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r, 函數(shù)函數(shù) f (z) 在復平面上解析在復平面上解析. 解顯然，解顯然

28、， 22,uxaxyby在全平面可微，且在全平面可微，且 22vcxdxyy南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇2, 2 .vvcxdydxyxy2, 2,uuxayaxbyxy 容易看出容易看出, 當當 時時, 函數(shù)函數(shù)2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程, 這時這時 函數(shù)函數(shù) 在全平面解析在全平面解析. ( )f z南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 .)( 2在復平面上不解析在復平面上不解析證明證明iyxzf 證證, 2yvxu 因為因為. 1, 0, 0,2 yvxvyuxxu ,21 )(上上可可導導僅僅在在

29、直直線線故故函函數(shù)數(shù) xzf .在在復復平平面面上上不不解解析析要使要使CR方程成立，則有方程成立，則有, 12 yvxux.21 x即即南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 和和 在全平面內(nèi)處處可微，但在全平面內(nèi)處處可微，但 ( , )u x y( , )v x y2 , 2 , 2 , 2 .uuvvxyyxxyxy只有在實軸只有在實軸 上滿足上滿足Cauchy-Riemann方程方程, 0y 所以所以 在實軸上可微在實軸上可微. 但在任何一點的鄰域但在任何一點的鄰域( )f z內(nèi)都有不可微的點，因而，內(nèi)都有不可微的點，因而， 處處不解析處處不解析. ( )f z例例 設(shè)設(shè) 問問 22( )2,

30、f zxyxyi( )f z在何處可微在何處可微? 是否解析是否解析? 解記解記 顯然顯然, 函數(shù)函數(shù) 22,2.uxy vxy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇xvixuzf )(, 0 yuiyv0,uvuvxyyx例例 假如假如 在區(qū)域在區(qū)域D D內(nèi)處處為零內(nèi)處處為零, , ( )fz 則則f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)內(nèi)為常數(shù).證明證明 根據(jù)可微的充要條件根據(jù)可微的充要條件所以所以 都是常數(shù)都是常數(shù). ( , ), ( , )u x yv x y因而因而 f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)內(nèi)為常數(shù).南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇參照以上例題可進一步證明參照以上例題可進一步證明: . ,

31、)( 則則以以下下條條件件彼彼此此等等價價內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域如如果果Dzf ; )( )1(為常數(shù)為常數(shù)zf; 0)()2( zf ;)( )3(常常數(shù)數(shù) zf ;)( )4(解解析析zf ;)(Re )5(常數(shù)常數(shù) zf ;)(Im )6(常數(shù)常數(shù) zf(7) arg ( ). f z 常數(shù)南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義所以所以C.yx設(shè)設(shè)w=f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)解析內(nèi)解析, 且在且在 D內(nèi)內(nèi) 設(shè)設(shè) 是是 D內(nèi)過內(nèi)過 的的有向光滑曲線有向光滑曲線, t 增大的方向為正向增大的方向為正向. ( ) (),wf z tt ( )( ) ( )0.w t

32、fz z t 于是于是w=f (z)將將z平面上有向平面上有向?qū)τ趯τ谝驗橐驗?C 光滑光滑, :( ) ()C zz tt 00( )zz t ( )0.fz )(0tz O)(z0z( )0.z t (1) 的幾何意義的幾何意義0Arg ()fz 光滑曲線光滑曲線 t 增大的方向增大的方向 : ( ) ,wf z ttC0z.yxO)(z)(0tz vuO)(w0w. )(zfw 光滑曲線光滑曲線C 映射成映射成w平面內(nèi)過點平面內(nèi)過點 的有向的有向00()wf z 為正向為正向, 且且 是曲線是曲線G在在w0處的處的000( ) ( ) ( )w tf z tz t 切向量切向量.0( )

33、w t 因為因為 所以所以000( )() ( )0,w tf z z t 000Arg ( )Arg ()Arg ( ).w tfzz t 曲線曲線G G在在w0w0處切線正向處切線正向與與u u軸正向之間的夾角軸正向之間的夾角曲線曲線C C在在z0z0處切線正向處切線正向與與x x軸正向之間的夾角軸正向之間的夾角如果將如果將x軸與軸與u軸重合軸重合, 將將y軸與軸與v軸重合軸重合, 即將即將z平面與平面與w平面重疊平面重疊, 那么曲線那么曲線C在在 z0 處的切線轉(zhuǎn)處的切線轉(zhuǎn)動動 0Arg ()fz 之后與曲線之后與曲線G 在在 w0 處的切線方向一致處的切線方向一致. 在這個意義上在這個

34、意義上, 就是曲線就是曲線C 經(jīng)過經(jīng)過w=f (z)0Arg ()fz 映射后在映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角處的轉(zhuǎn)動角. 顯然轉(zhuǎn)動角與顯然轉(zhuǎn)動角與C 無關(guān)無關(guān).假如假如 是是1122:( ), :( ) ()Czz tCzz tt 過過z0點的點的D內(nèi)兩條有向光滑曲線，內(nèi)兩條有向光滑曲線， 01020( )( ),zz tz t 則在映射則在映射w=f (z)下下, C1和和C2在在w平面上的像分別為平面上的像分別為111:( ) ( )(),ww tf z tt 222:( ) ( )(),ww tf z tt 并且并且 因而因而 01020 ( )( ).wf z tf z t 1C1 0101

35、0Arg ()Arg ( )Arg ( )fzw tz t 2C2 02020Arg ()Arg ( )Arg ( )fzw tz t 2 1 1C .0w ( )wf z 2C0z.所以所以 20102010Arg ( )Arg ( )Arg ( )Arg ( ).wtwtztzt11和和22在在w0w0處的夾處的夾角角C1和和C2在在z0處的夾處的夾角角過過z0兩條光滑曲線兩條光滑曲線C1、C2在在 z0處夾角的大小與方向處夾角的大小與方向和在映射和在映射w=f (z)下的像下的像G1 、G2在在w0處夾角的大小與處夾角的大小與方向相同方向相同, 即即 時時, 映射映射w=f (z)具有保

36、角性具有保角性.0()0fz Cyx0)(w0ww.yx0)(z0zz.zzzzzz w ww ww w000limlim0存在，則稱此極限值為曲線存在，則稱此極限值為曲線C C經(jīng)函數(shù)經(jīng)函數(shù)=f (z)=f (z)映射后在映射后在z0z0處的伸縮率處的伸縮率)(zfw 定義定義 當當z z沿曲線沿曲線C C趨向于趨向于z0z0點時，假如點時，假如(2) 的幾何意義的幾何意義0()fz000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因為為, iezz 令令 Cyx0)(ww 0ww.)(zfw yx0)(zz 0zz.,lim0zwz . ieww ,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw

37、. 0)(,00 zfDz且且 )(0zf所以所以0000limlimzzwwzwzzz 的的伸伸縮縮率率在在為為曲曲線線 0zC結(jié)論結(jié)論: 的的后通過點后通過點是經(jīng)過映射是經(jīng)過映射 )( )(00zzfwzf 的形狀及的形狀及它與曲線它與曲線的伸縮率的伸縮率在在的任何曲線的任何曲線CzC , 0方向無關(guān)方向無關(guān). 所以這種映射具有伸縮率的不變性所以這種映射具有伸縮率的不變性.,)(00 iiiezzwwezewzw初等解析函數(shù)初等解析函數(shù) 1 1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 2 2 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 3 3 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 4 4 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù) 南開大學南開大學 魏雅薇魏

38、雅薇指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)( )(cossin )xf zeyiy 在在z平面上解析，且平面上解析，且當當 y=0時時, 給出下面定義給出下面定義. 定義定義 假設(shè)假設(shè)(cossin )xeyiy 由前例可知由前例可知, 函數(shù)函數(shù),zxiy ( )xf ze ( )( ).fzf z 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇當當z為實數(shù)為實數(shù), 即即 與通常實指數(shù)函數(shù)一致與通常實指數(shù)函數(shù)一致, 因而因而 則由則由定義復指數(shù)函數(shù)，記定義復指數(shù)函數(shù)，記 exp( )(cossin ),xzeyiy 或簡記為或簡記為顯然顯然Re(exp( )cos , xzey Im(exp( )sin ,xzey exp( ),

39、xze Arg(exp( )2 (0,1, 2,). zykk 與指數(shù)函數(shù)符號一致與指數(shù)函數(shù)符號一致與與EulerEuler公式相一致公式相一致南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇(cossin ).zxeeyiy 定理定理 設(shè)設(shè) 為指數(shù)函數(shù)，那么為指數(shù)函數(shù)，那么 在全在全平面平面zeze解析，解析， 且且 ,zzee 從而從而 其中其中n正整數(shù)正整數(shù);(1)1212,zzzzeee (),znnzee 0,ze (2)當當 時時, 其中其中 Im( )0z ( ),xf ze Re( );xz (3)ze是周期函數(shù)是周期函數(shù), 其周期是其周期是 k非零整數(shù)非零整數(shù), 2,Tk i (4)1ze 的

40、充分必要條件是的充分必要條件是 n為整數(shù)為整數(shù). 2,zn i 2;zk izee 即即南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇(5) lim zze 極限不存在證明證明證明證明(1) . 令令 111,zxiy 222.zxiy于是由指數(shù)函數(shù)定義于是由指數(shù)函數(shù)定義 1211221212() ()()()zzxiyxiyxxi yyeee 12.zzee 121212cos()sin()xxeyyiyy 121212(coscossinsin)xxe eyyyy 1212(sincoscossin)iyyyy 121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy南開大學南開大學 魏雅薇魏雅

41、薇；，有有數(shù)數(shù)由由加加法法定定理理，對對任任意意復復ikzikzeeez 22 k由歐拉公式，對任意整 數(shù) ，有. 2zikzeez ，有，有從而對任意復數(shù)從而對任意復數(shù)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以所所以以), 2, 1(2 kikez ；1)2sin()2cos(2 kikeik南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇是周期函數(shù)的說明是周期函數(shù)的說明(3)ze因為：因為：；時，時，沿實軸趨向于沿實軸趨向于當當 zez時時，沿沿實實軸軸趨趨向向于于當當0 zez(5)(5)極限極限不存在的說明不存在的說明limzze例例 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解

42、解)sin(cos yiyeeexiyxz 因因為為 .cos)Re( , yeeeexzxz 實實部部所所以以其其模模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 解解求出下列復數(shù)的輻角主值求出下列復數(shù)的輻角主值:.)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )sin(cos 的的輻輻角角因因為為yiyeeexiyxz )(2Arg為整數(shù)為整數(shù)k

43、kyez .,(- arg 內(nèi)內(nèi)的的一一個個輻輻角角為為區(qū)區(qū)間間其其輻輻角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie ,24 Arg(3)43 kei ;24arg43 ie ,24 Arg(4)43 kei ;24arg43 ie南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 求求 的實部與虛部的實部與虛部. exp()ze解令解令 因為因為 ,zxiy cossinzxxeeyiey，所以所以cosexp()cos(sin )sin(sin ).xzeyxxeeeyiey從而有從而有cosReexp()cos(sin ),x

44、zeyxeeey cosImexp()sin(sin ).xzeyxeeey 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇因為因為cossin ,iyeyiy ,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 定義定義 定義三角函數(shù)與雙曲函數(shù)如下定義三角函數(shù)與雙曲函數(shù)如下: 正弦函數(shù)正弦函數(shù) sin;2izizeezi 余弦函數(shù)余弦函數(shù) cos;2izizeez 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù) sinh;2zzeezsh 雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)cosh.2zzeezch 當

45、當z是實變數(shù)時，它們與實的正弦、余弦、是實變數(shù)時，它們與實的正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)是一致的雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)是一致的. 由于由于 , zizee在復平面上是解析的，所以在復平面上是解析的，所以 正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)在整個正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)在整個 復平面上都是解析的復平面上都是解析的. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇容易證明容易證明(sin )cos , (cos )sin ,zzzz (sinh )cosh , (cosh )sinh .zzzz并且具有下面的一些性質(zhì)并且具有下面的一些性質(zhì): 是以是以 (1)sin ,coszz2 為周期的周期函數(shù)

46、；為周期的周期函數(shù)； sinh ,coshzz 是以是以 2 i 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). (2) sin ,sinhzz 為奇函數(shù)為奇函數(shù); cos ,coshzz 為偶函數(shù)為偶函數(shù). 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇(3) 一些恒等式關(guān)系仍成立一些恒等式關(guān)系仍成立. 22sincos1;zz 121212sin()sincoscossin;zzzzzz 121212cos()coscossinsin;zzzzzz sin22sin cos ;zzz 2cos22cos1;zz 22coshsinh1;zz sinhcosh;zzze121212sinh()sinh coshcosh

47、 sinh ;zzzzzz 121212cosh()cosh coshsinh sinh.zzzzzz 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇2ye 所以當所以當 y 時時, cos(),iy cosz是無界函數(shù)是無界函數(shù). 這與實余弦函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別這與實余弦函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別. 正弦函數(shù)類似正弦函數(shù)類似.(4)令令()()cos()22i iyi iyyyeeeeiy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇(0)ziy y 可以定義其它的三角函數(shù)及反三角函數(shù)與可以定義其它的三角函數(shù)及反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù). 例如正切函數(shù)和余切函數(shù)分別為例如正切函數(shù)和余切函數(shù)分別為sincostan, cot.coss

48、inzzzzzz zzzcossintan 解解 設(shè)設(shè) , zxiy )cos()sin(yixyix sin coshcos sinhcos coshsin sinhxyixyxyixy 2222sin coscosh sinhcoscosh(1cos)sinhxxiyyxyxy 2222sin2sinh2.2cos2sinh2cos2sinhxyixyxy )Re(tanz )Im(tanz 例例 確定確定 的實部和虛部的實部和虛部. .tanz南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例解解 , iyxz 設(shè)設(shè) . 1shsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxshcosch

49、sin , 1shi 0,chsin yx故故有有1shshcos yx, 0ch y因為因為, 0sin x所以所以, kx, 1sh)1(shky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即得得代入代入將將1shshcos yxkx 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇(4) 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)滿足關(guān)系式三角函數(shù)與雙曲函數(shù)滿足關(guān)系式 cos( )ch , sin( )sh ;izziziz ch()cos , sh()sin .izziziz (5) sin , coszz不是有界函數(shù)不是有界函數(shù). 因為因為sinsin()zxiy sin

50、 chcos sh ,xyixy sin cos()cos sin()xiyxiy 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),即把滿足方程即把滿足方程 的函數(shù)的函數(shù) 稱稱 (0)wez z ( )wf z 為為z的對數(shù)函數(shù)，記作的對數(shù)函數(shù)，記作 Ln .wz 令令 則由則由 , ,iwuiv zre (0),wez z可得可得 從而由復數(shù)的相等的定義知從而由復數(shù)的相等的定義知, ,u iviere , 2,uer vk 即即 其其ln , 2,ur vk 中中k為整數(shù)為整數(shù), 或或 ln, Arg .uzvz 南開大學南開

51、大學 魏雅薇魏雅薇所以所以LnlnArgln(arg2)wzzizzizk 0, 1, 2,.k 由于由于 是多值的，所以是多值的，所以 是多值函數(shù)是多值函數(shù). ArgzLnz如果記如果記 則對數(shù)函數(shù)可寫為則對數(shù)函數(shù)可寫為 lnlnarg ,zziz Lnln2 0, 1, 2,.zzikk 對應某個確定的對應某個確定的k, 稱為對數(shù)函數(shù)的第稱為對數(shù)函數(shù)的第k個個 個分支個分支, 對應對應 k=0 的分支，稱為對數(shù)函數(shù)主的分支，稱為對數(shù)函數(shù)主 值支值支.南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇于是于是 即是對數(shù)主值支即是對數(shù)主值支, lnlnargzziz lnz稱為對數(shù)函數(shù)的主值稱為對數(shù)函數(shù)的主值.

52、對數(shù)函數(shù)各分支之間，其虛部僅差對數(shù)函數(shù)各分支之間，其虛部僅差 的的 2 倍數(shù)，因而，當給定特殊分支倍數(shù)，因而，當給定特殊分支 (即給定即給定 k的值的值)時時, 的值就被確定的值就被確定. Argz例如例如, 如果給定分支的虛部落在區(qū)間如果給定分支的虛部落在區(qū)間 (, ) 中，那么中，那么 即取即取 k=0 的的那那Ln(1)ln2,4ii 個對數(shù)分支個對數(shù)分支. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇如果給定分支的虛部落在區(qū)間如果給定分支的虛部落在區(qū)間 中中, ( ,3 ) 那么那么 即取即取 k=1 的那個的那個9Ln(1)ln2,4ii 對數(shù)分支對數(shù)分支. 這可在這可在 ln 22 (0, 1,

53、 2)4ikk Ln(1)ln1Arg(1)iiii ln 2arg(1)2iii k 中取中取 k=1 得到得到. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇 利用復數(shù)的乘積與商的輻角公式易證，復利用復數(shù)的乘積與商的輻角公式易證，復變函數(shù)的對數(shù)函數(shù)保持了實對數(shù)函數(shù)的乘積與變函數(shù)的對數(shù)函數(shù)保持了實對數(shù)函數(shù)的乘積與商的相應公式商的相應公式 1 212Ln()LnLn ,z zzz 121212Ln( )LnLn (,0).zzzzz z 在實函數(shù)對數(shù)中，負數(shù)不存在對數(shù)；但在在實函數(shù)對數(shù)中，負數(shù)不存在對數(shù)；但在復變數(shù)對數(shù)中，負數(shù)的對數(shù)是有意義的復變數(shù)對數(shù)中，負數(shù)的對數(shù)是有意義的. 例如例如 (21) (0,

54、1, 2,).ki k Ln( 1)ln1arg( 1)2ii k 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應應的的主主值值求求 ,22ln2Ln ik 因因為為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為為整整數(shù)數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因因為為)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例

55、例解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求求下下列列各各式式的的值值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇例例 解方程解方程 sin( ).izi 解因為解因為 所以原方程所以原方程可改寫為可改寫為 1.2zzee

56、所以可化簡得所以可化簡得 2210.zzee 解方程可得解方程可得 124412.2ze 因而因而, 可以求出可以求出南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇sin;2izizeezi (1)Ln(12)kz (0, 1, 2)k ln 122k i (2)Ln(12)kz ln1221ki 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇下面討論對數(shù)函數(shù)的解析性下面討論對數(shù)函數(shù)的解析性. 對于對數(shù)主值支對于對數(shù)主值支 lnlnarg ,zziz 其實部其實部 ln z在除原點外的復平面上處處連續(xù)在除原點外的復平面上處處連續(xù); 但其虛但其虛部部 arg(, ,z 在原點與負實軸上都不連續(xù)在原點與負實軸上都不連續(xù), 因為對

57、于負實軸上的點因為對于負實軸上的點 (0),zx x 有有 00lim arg, lim arg.yyzz 所以所以, 在在0,0,Cxiy yx 即在除去原點即在除去原點與負實軸的復平面上與負實軸的復平面上, lnz處處連續(xù)處處連續(xù). 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇定理定理 對數(shù)值主支對數(shù)值主支 lnlnargzziz 在在 區(qū)域區(qū)域 0,0DCxiy yx 上解析上解析(如圖如圖), 并且并且 1ln.zz 證明記證明記 ( )ln , ( )(),f zz w hf zh 那么那么 0lim( )( ).hw hf z 由由 ( ),f zez 對任意的對任意的 0,h 有有xyoD南開

58、大學南開大學 魏雅薇魏雅薇()( )00()( )()( )limlimf z hf zhhf zhf zf zhf zhee ()( )( )( )( )( )( )111lim.w hfzf zeew hf zw hf zez 對于其他各給定的對數(shù)分支，因為對于其他各給定的對數(shù)分支，因為 Lnln2zzik (k確定確定),所以也有所以也有 1Ln (ln2).zzikz 因而，對于因而，對于確定的確定的 k, 稱稱 Lnz為一個單值解析分支為一個單值解析分支. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇一般冪函數(shù)一般冪函數(shù)(ln2)ln2 (0, 1, 2,).z i kzkieeek Ln exp

59、( Ln ). zzze 定義定義 設(shè)設(shè)z為不等于零的復變數(shù)為不等于零的復變數(shù), m為任意為任意 為為 一個復數(shù)，定義冪函數(shù)一個復數(shù)，定義冪函數(shù) z Ln,ze 即即 當當z為正實變數(shù)，為正實變數(shù)，m為實數(shù)時，它與實冪函為實數(shù)時，它與實冪函數(shù)數(shù)的定義一致，而的定義一致，而z為復變數(shù)，為復變數(shù)，m為復數(shù)時為復數(shù)時 lnarg2Lnziz i kzzee 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇由于由于 Lnz的多值性，所以的多值性，所以 z 也是多值的，也是多值的， lnze 稱為稱為 z 的主值的主值. 易見：易見： 1. 當當m是整數(shù)時，是整數(shù)時， Lnzze 是單值函數(shù)；是單值函數(shù)； 2. 當當m為

60、有理為有理數(shù)數(shù) pq時時, 其中其中 為既約為既約 pq分數(shù)分數(shù), 那么那么z 是有限多值的，且是有限多值的，且 Ln (0,1,2,1);zzekq 3. 當當m為無理數(shù)或虛部不為零的復數(shù)時，為無理數(shù)或虛部不為零的復數(shù)時， z 是無窮多值的是無窮多值的. 南開大學南開大學 魏雅薇魏雅薇上述定義實質(zhì)上包含了復數(shù)的上述定義實質(zhì)上包含了復數(shù)的n次冪函數(shù)次冪函數(shù) 與與n次方根函數(shù)的定義次方根函數(shù)的定義. 因為因為 (1) 當當m=n (n是正整數(shù)是正整數(shù))時時,LnLnLnLnnnzzzzzee (指數(shù)為指數(shù)為n項之和項之和)LnLnLnzzzeee(n個因子個因子 之積之積)Lnze;z zz (