北航水力學(xué) 第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、 自然界和工程實(shí)際中，流體大多數(shù)處于流動(dòng)狀態(tài)，流體的流動(dòng)性是流體在存在狀態(tài)上與固體的最基本區(qū)別。第三章第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)本章介紹研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方式；以及相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)要素表達(dá)；跡線流線本章介紹研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方式；以及相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)要素表達(dá)；跡線流線等概念；連續(xù)性方程；有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)；環(huán)量與渦量概念等概念；連續(xù)性方程；有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)；環(huán)量與渦量概念3.1.1拉格朗日法拉格朗日法 著眼于研究流體中各質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)情況，跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并觀察與分析該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，然后綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況以得到整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。 這種方法本質(zhì)上就是一般力學(xué)中的研究質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法，稱為質(zhì)點(diǎn)系法

2、質(zhì)點(diǎn)系法第三章第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法 描述流體運(yùn)動(dòng)形態(tài)和方式：拉格朗日法和歐拉法歐拉法歐拉法 著眼于研究流體經(jīng)過空間各固定點(diǎn)處的流動(dòng)變化情況。 綜合流場中足夠多的空間點(diǎn)上所觀測的運(yùn)動(dòng)要素及其變化規(guī)律，從而獲得整個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)特性，所以又被稱為“空間點(diǎn)法”“流場法”, , , , ,uu x y zpp x y zx y zTT x y z在恒定流中，流動(dòng)要素僅為空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為零。在恒定流中，流動(dòng)要素僅為空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為零。0upTtttt3.1.2 3.1.2 歐拉法中流體運(yùn)動(dòng)的基本概念歐拉法中流體

3、運(yùn)動(dòng)的基本概念3.1.2.13.1.2.1 流體的恒定流和非恒定流流體的恒定流和非恒定流恒定流恒定流： 用歐拉法描述流動(dòng)時(shí)，假定流場中各空間點(diǎn)上的任何流動(dòng)要素用歐拉法描述流動(dòng)時(shí)，假定流場中各空間點(diǎn)上的任何流動(dòng)要素（如流速向量、壓強(qiáng)、密度等）都不隨時(shí)間變化，稱為（如流速向量、壓強(qiáng)、密度等）都不隨時(shí)間變化，稱為恒定流恒定流。 下面式子下面式子全部全部或或部分部分成立：成立：0, 0, 0, 0upTtttt非恒定流非恒定流：流場中各空間點(diǎn)上的流動(dòng)要素（如流速向量、壓強(qiáng)、密度流場中各空間點(diǎn)上的流動(dòng)要素（如流速向量、壓強(qiáng)、密度等）隨時(shí)間而變化等）隨時(shí)間而變化 跡線跡線（pathlinepathline

4、）：某一流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)空間里所走的軌跡）：某一流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)空間里所走的軌跡 流線流線（streamlinestreamline）：某時(shí)刻）：某時(shí)刻 0t速度場中描述各空間點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線速度場中描述各空間點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線（即曲線的切線方向?yàn)榱鲃?dòng)方向）（即曲線的切線方向?yàn)榱鲃?dòng)方向）染色線染色線（streaklinestreakline）：經(jīng)過某一點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)形成的軌跡）：經(jīng)過某一點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)形成的軌跡流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)： * * 流線是光滑連續(xù)的曲線，除了流線是光滑連續(xù)的曲線，除了駐點(diǎn)駐點(diǎn)（速度為零）外（速度為零）外 流線不能中斷和產(chǎn)生流線不能中斷和產(chǎn)生流線的疏密表示流動(dòng)的快慢程度流

5、線的疏密表示流動(dòng)的快慢程度 流線密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小* * 除了奇點(diǎn)外除了奇點(diǎn)外, ,流線不能相交和轉(zhuǎn)折流線不能相交和轉(zhuǎn)折 質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻不可能質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻不可能有兩個(gè)速度向量有兩個(gè)速度向量 流體在不可穿透的固體邊界上，沿邊界法線方向的流速分量比等于零，流線將于該邊界的位置重合在恒定流時(shí)，流速場不隨時(shí)間改變，流線的位置和形狀也在恒定流時(shí)，流速場不隨時(shí)間改變，流線的位置和形狀也將保持不變，此時(shí)流線和跡線重合跡線、流線、染色線是將保持不變，此時(shí)流線和跡線重合跡線、流線、染色線是重合的重合的在非恒定流時(shí)，三種線不重合在非恒定流時(shí)，三種線不重合跡線方程跡線方程：( , , )( ,

6、, )xx a b tyy a b t其中其中 , a b為某初始時(shí)刻為某初始時(shí)刻流線微分方程流線微分方程：xydxdyuu其中其中 0( , , )xxuux y t0( , , )yyuux y t跡線微分方程跡線微分方程：xydxdyuudtdt流線方程流線方程：( , )0f x y 流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo) 跡線方程和流線方程跡線方程和流線方程已知流體中任一點(diǎn)的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為已知流體中任一點(diǎn)的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為0 xyzuxtuytu 時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A A位于原點(diǎn)。位于原點(diǎn)。求求0t 時(shí)，通過點(diǎn)時(shí)，通過點(diǎn) A A（-1,1-1,1）的流線。）

7、的流線。 【例題例題】解解 ：由流線微分方程：由流線微分方程 dxdyxtyt 即即 0t 11c 得得流線方程流線方程1xyzconst xyzdxdydzuuu對于對于點(diǎn)點(diǎn) A A（-1,1-1,1）時(shí)時(shí)， dxdyxy積分得積分得1lnlnxyc1xyc總流總流：工程上將管道內(nèi)或渠道中的流體稱為總流：工程上將管道內(nèi)或渠道中的流體稱為總流流管流管：由流線構(gòu)成的管狀曲面：由流線構(gòu)成的管狀曲面流束流束：流管內(nèi)的流體：流管內(nèi)的流體元流元流：微小流管內(nèi)的流體：微小流管內(nèi)的流體3.1.2.33.1.2.3 描述流動(dòng)的一些基本概念描述流動(dòng)的一些基本概念 過流截面過流截面（或（或過流斷面過流斷面或或有效

8、截面有效截面）：流管內(nèi)處處與流線垂直的截面，）：流管內(nèi)處處與流線垂直的截面， 一般是曲面，當(dāng)流管內(nèi)所有流線均平行時(shí)，過流截面是平面一般是曲面，當(dāng)流管內(nèi)所有流線均平行時(shí)，過流截面是平面流量流量：單位時(shí)間內(nèi)通過過流截面的流體體積稱為體積流量，：單位時(shí)間內(nèi)通過過流截面的流體體積稱為體積流量， 簡稱流量，通常用簡稱流量，通常用Q Q表示，量綱為表示，量綱為m m3 3/s/s三元流三元流：流動(dòng)參數(shù)是：流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)空間坐標(biāo)三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)函數(shù), 二元流二元流：流動(dòng)參數(shù)是：流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)空間坐標(biāo)兩個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)函數(shù), 一元流一元流：流動(dòng)參數(shù)是：流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)空間坐標(biāo)一個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，函數(shù)， 3.1.2.

9、43.1.2.4 三元流、二元流、一元流三元流、二元流、一元流 二元流或近似二元流是實(shí)際流體中常見的流動(dòng)。例如寬淺矩形斷面的順直明渠水流，水渠寬度很大，兩側(cè)邊壁對流速分布的影響可忽略不計(jì)，即流速可看做與 z 方向無關(guān)，僅僅是水流方向的坐標(biāo) x 和水深 y 的函數(shù)，此時(shí)的流動(dòng)就可以看為二元流動(dòng)。0yzuu( , )xxuux t( , , )xxuux y t( , , )yyuux y t0zu ( , , , )xxuux y z t( , , , )yyuux y z t( , , , )zzuux y z t 實(shí)際流動(dòng)一般都是三元流動(dòng)。 三元流分析時(shí)分析起來十分復(fù)雜，一般我們設(shè)法將其簡化

10、為二元流或一元流。簡化過程中要引進(jìn)修正系數(shù)，修正系數(shù)可通過實(shí)驗(yàn)方法來確定。一維定常流：流動(dòng)參數(shù)是一維定常流：流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)空間坐標(biāo)一個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān)三維定常流：流動(dòng)參數(shù)是三維定常流：流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)空間坐標(biāo)三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān)二維定常流：流動(dòng)參數(shù)是二維定常流：流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)空間坐標(biāo)兩個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān)( , )xxuux y( , , )xxuux y z0yzuu( )xxuux( , )yyuux y0zu ( , , )yyuux y z( , , )zzuux y z均勻流均勻流： 流線為直線且相互平行的流動(dòng)流線為

11、直線且相互平行的流動(dòng)漸變流漸變流： 流線曲率半徑大，流線雖不平行，但夾角很小的流動(dòng)（或流線曲率半徑大，流線雖不平行，但夾角很小的流動(dòng)（或緩變流緩變流）急變流急變流： 流線的曲率半徑較小，或流線之間的夾角較大，或兩者兼有流線的曲率半徑較小，或流線之間的夾角較大，或兩者兼有3.1.2.5 3.1.2.5 均勻流與非均勻流均勻流與非均勻流 漸變流與急變流漸變流與急變流xzyoMdx(2u)dxux u (2u)dxux 3.2.1 3.2.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（微分形式）流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（微分形式） 在空間流場中取一個(gè)以在空間流場中取一個(gè)以M M（x,y,zx,y,z）為中心的微小的六面體（微小

12、控）為中心的微小的六面體（微小控制體）。制體）。t t時(shí)刻，時(shí)刻，M M點(diǎn)流速為點(diǎn)流速為u u，密度為，密度為第二節(jié)第二節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程xzyoMdx(2u)dxux u (2u)dxux x x方向，在方向，在 時(shí)間里時(shí)間里dt()()2xxudxudydzdtx右側(cè)流出的流體質(zhì)量：右側(cè)流出的流體質(zhì)量：()()2xxudxudydzdtx左側(cè)流入的流體質(zhì)量：左側(cè)流入的流體質(zhì)量： 第二節(jié)第二節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程凈流入：左側(cè)流入凈流入：左側(cè)流入 右側(cè)流出右側(cè)流出 x x方向方向 由此，三個(gè)方向凈流入由此，三個(gè)方向凈流入 : :()()()()y

13、xzuuudxdydzdtxyz()xudxdydzdtx時(shí)間里，微小六面體內(nèi)流體密度的變化引起的時(shí)間里，微小六面體內(nèi)流體密度的變化引起的質(zhì)量增量質(zhì)量增量： dt在在dxdydzdtt()()()()yxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt()()()0yxzuuutxyz即即 密度的變化密度的變化凈流入凈流入質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒: :()0Vt()()()0yxzuuutxyz ()()()0yxzuuutxyz0yxzuuuxyz0ddt不可壓縮流體不可壓縮流體 為常數(shù)，為常數(shù)，不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的歐拉連續(xù)性微分方程歐拉連續(xù)性微分方程 可壓縮流體的可壓縮流體的歐拉連

14、續(xù)性微分方程歐拉連續(xù)性微分方程適用于恒定流和非恒定流適用于恒定流和非恒定流對于不可壓縮液體，下面的流動(dòng)是否滿足連續(xù)性條件。對于不可壓縮液體，下面的流動(dòng)是否滿足連續(xù)性條件。(1)222xyzutxyutyzutxz 【例題例題】2222(2)0 xyzuxxyyuxyu3(3)2ln()4xyzyuxyuux 2222(4)53xyuxzuyz解：解：(1)2 1 10yxzuuuxyz 滿足滿足23(3)()00yxzuuuyxyzxyx (2)220230yxzuuuxyyxyzxy不滿足不滿足不滿足不滿足在三元不可壓縮流動(dòng)中，已知在三元不可壓縮流動(dòng)中，已知【例題例題】（書（書 例例3-23

15、-2）222253xyuxzuyz求滿足連續(xù)方程的求滿足連續(xù)方程的 的表達(dá)式。的表達(dá)式。zu解：解：0yxzuuuxyz由連續(xù)方程由連續(xù)方程2()zuxy zc ()2()yxzuuuxyzxy 積分得積分得其中，其中，c c可為某一常數(shù)，也可以是與可為某一常數(shù)，也可以是與 z z 無關(guān)的某一函數(shù)無關(guān)的某一函數(shù)得得 2()zudzxy dzz得得 ( , )f x y2()( , )zuxy zf x y 所以所以3.2.2 3.2.2 總流的連續(xù)方程（管道中或者渠道中）總流的連續(xù)方程（管道中或者渠道中） （積分形式）（積分形式）12,A A設(shè)流體是均質(zhì)的設(shè)流體是均質(zhì)的，則，則 12由質(zhì)量守恒

16、可得，由質(zhì)量守恒可得，121 11222AAV dAV dA等于流出質(zhì)量等于流出質(zhì)量2-22-2，即，即面積分別為面積分別為設(shè)流動(dòng)為定常流動(dòng)設(shè)流動(dòng)為定常流動(dòng)， 則則1-21-2內(nèi)流體質(zhì)量不變，內(nèi)流體質(zhì)量不變，121122AAV dAV dA流入質(zhì)量流入質(zhì)量1-11-1垂直于過流截面垂直于過流截面1-11-1和和2-22-2的流速的流速12VV1-11-1和和2-22-2是過流截面是過流截面12一段流管1-21122流入質(zhì)量流出質(zhì)量11VA22VA定義截面上的平均速度定義截面上的平均速度 11111AVdAVA22222AV dAVA則有則有 1122V AV A恒定總流的連續(xù)方程恒定總流的連續(xù)

17、方程均質(zhì)恒定總流的流量不變均質(zhì)恒定總流的流量不變由于由于QVA則則12QQ(2)(2)對于對于分支管道分支管道問題時(shí)，要考慮通過控制面的全部流量及源的問題時(shí)，要考慮通過控制面的全部流量及源的流量。流量。粘性外作用外加熱與流體是否用有：作無關(guān)注意：注意：(1)(1)連續(xù)方程式是質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，與流體性質(zhì)，連續(xù)方程式是質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，與流體性質(zhì)，即即312QQQ123QQQ對不可壓流：對不可壓流：對可壓縮流：對可壓縮流：331122QQQ112233QQQ【例題例題】（書（書 例例3-33-3） 圖示，匯流分叉管路，已知流量圖示，匯流分叉管路，已知流量 過斷面過斷面1-1的面積的面積

18、求：斷面求：斷面 1-1 的平均流速的平均流速 33322.6/1.5/QmsQms210.2Am解解： 根據(jù)分叉管流動(dòng)的連續(xù)性條件，有根據(jù)分叉管流動(dòng)的連續(xù)性條件，有 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以斷面，所以斷面 1-1 的平均流速為的平均流速為 132QQQ111Qv A321112.6 1.55.5/0.2QQQvm sAA【例題例題】 已知圓管過流斷面上的流速分布為已知圓管過流斷面上的流速分布為 管軸處最大流速管軸處最大流速 圓管半徑圓管半徑 為某點(diǎn)距管軸的徑距。為某點(diǎn)距管軸的徑距。試求流量試求流量 Q ,以及斷面平均速度以及斷面平均速度 。2max01 () ruurmax0.15/um s03rc

19、mru流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)流體微團(tuán)：由大量流體粒子組成的流體團(tuán)，它有一個(gè)微小的尺度：由大量流體粒子組成的流體團(tuán)，它有一個(gè)微小的尺度任意運(yùn)動(dòng)都可分解為上述任意運(yùn)動(dòng)都可分解為上述 4 4 種運(yùn)動(dòng)種運(yùn)動(dòng) 平移：象剛體一樣平移平移：象剛體一樣平移 轉(zhuǎn)動(dòng)：象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng) 線變形：伸長或縮短線變形：伸長或縮短 角變形：直角的改變角變形：直角的改變流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)：流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)：第三節(jié)第三節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析（1 1）線變形率線變形率 單位時(shí)間流體面元單位長度的線變形單位時(shí)間流體面元單位長度的線變形00()limxxxxxtuxx txuxx tx

20、xxuxuuuxxttt類似的，類似的，yyyuyzzzuz流體面元流體面元: : 流體質(zhì)點(diǎn)組成的微小平面流體質(zhì)點(diǎn)組成的微小平面 若流體面元在若流體面元在x x和和y y方向都有速度梯度，其長度方向都有速度梯度，其長度, xy則則單位時(shí)間內(nèi)面積相對單位時(shí)間內(nèi)面積相對膨脹膨脹率率為為: :00000()()()limlimyxyxAxtytuuxx tyy tx yuuAxyA tx y txy 相應(yīng)地，三維時(shí)，相應(yīng)地，三維時(shí)，yxzuuuVxyz流體不可壓縮流體不可壓縮0V三個(gè)方向的線變形速率之和為零三個(gè)方向的線變形速率之和為零都要變化都要變化（2 2）角變形率（直角的改變率）角變形率（直角的

21、改變率） 角變形率角變形率：一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體的角變形率為正交于該點(diǎn)的兩流體：一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體的角變形率為正交于該點(diǎn)的兩流體線元各自轉(zhuǎn)動(dòng)線元各自轉(zhuǎn)動(dòng)角度角度的變化率的平均值。的變化率的平均值。u在在y方向有速度梯度方向有速度梯度v在在x方向有速度梯度方向有速度梯度t內(nèi)，流體內(nèi)，流體線元線元MAMA和和MBMB分別轉(zhuǎn)過分別轉(zhuǎn)過, uxxtttyMABv在微小的時(shí)間在微小的時(shí)間01lim2xyyxtt0limyyxux tuxtxx 0limxxyuy tuytyy 12yxxyuuxy因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 類似地，類似地， 12xzxzuuxz12yzyzuuyz（3 3）轉(zhuǎn)動(dòng)角速度）轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)角

22、速度轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：某一點(diǎn)處正交于該點(diǎn)的兩流體線元：某一點(diǎn)處正交于該點(diǎn)的兩流體線元角速度角速度的平均值。的平均值。12zMAMB逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正 類似地，類似地， 12yzxuuyz12xzyuuzx12yxzuuxyuxxtttyMABv 均勻流均勻流 00uuv 純旋轉(zhuǎn)流純旋轉(zhuǎn)流 ucyvcx 平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)線變形線變形角變形角變形uxyuxyvO一些典型的流動(dòng)一些典型的流動(dòng)流動(dòng)中各流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都為零流動(dòng)中各流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都為零: : 無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)0第四節(jié)第四節(jié) 無旋運(yùn)動(dòng)與有旋運(yùn)動(dòng)無旋運(yùn)動(dòng)與有旋運(yùn)動(dòng)3.4.1 3.4.1 有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng)無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)自然界中，絕大多數(shù)流動(dòng)都是自然界中，絕大多數(shù)流動(dòng)都是有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)無旋流動(dòng)是簡化的模型無旋流動(dòng)是簡化的模