北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)7、切線長(zhǎng)定理

1、相交相交相切相切OOO相離相離問題問題1：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？問題問題2 2：平面上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪幾種？平面上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪幾種？OOOP PP問題問題3 3、過平面外一點(diǎn)如何做圓的切線過平面外一點(diǎn)如何做圓的切線? ?OPAB切線長(zhǎng)：切線長(zhǎng)：從從圓外一點(diǎn)圓外一點(diǎn)引引圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的 線段的長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。問題問題4 4、切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別是什么切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別是什么? ?OPAB（1 1）切線是一條與圓相切的直線；切線是一條與圓相切的直線；（2 2）切線長(zhǎng)是指切線長(zhǎng)是

2、指切線上某一點(diǎn)切線上某一點(diǎn)與與切點(diǎn)切點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)。間的線段的長(zhǎng)。探究：探究：若從若從OO外的一點(diǎn)引兩條切線外的一點(diǎn)引兩條切線PAPA，PBPB，切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)分別是A A、B B，連結(jié)，連結(jié)OAOA、OBOB、OPOP，你能從中找你能從中找出那些相等的量？出那些相等的量？APO。BPA = PBOPA=OPB試用文字語(yǔ)言試用文字語(yǔ)言敘述你所發(fā)現(xiàn)敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的結(jié)論切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線兩條切線，它們的，它們的切切線長(zhǎng)相等線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角平分兩條切線的夾角。 APO。B我們學(xué)過的切線，常有我們學(xué)過的

3、切線，常有 五個(gè)五個(gè) 性質(zhì)：性質(zhì)：1 1、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；2 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3 3、切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；、切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；4 4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；5 5、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。6 6、從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，、從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等， 圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。六個(gè)六個(gè)APO。BM思考：思考：若連結(jié)兩切點(diǎn)若連

4、結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你你又能得出什么新的結(jié)論又能得出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分ABAPO。B思考：思考：若延長(zhǎng)若延長(zhǎng)POPO交交OO于點(diǎn)于點(diǎn)C C，連結(jié)，連結(jié)CACA、CBCB，你又能得出什么新的結(jié)論你又能得出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CBC例例1 1.PA.PA、PBPB是是OO的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OPOP交交于于OO于點(diǎn)于點(diǎn)D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB P

5、B，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2.P.Ao.BEDC（5）若）若PA=4、PD=2，求半徑，求半徑 OA42 解解: 設(shè)設(shè) OA Xcm; 則則 OP = OD + PD = X+2 (cm) PA = 4 cm 在在 RtOAP 中，中，22222224xxOPOAPA即所以，半徑所以，半徑OAOA的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為3cm3cm解之得解之得 X=3 cmX=3

6、cm33060例例2：（：（1）如圖，已知）如圖，已知 O的半徑為的半徑為3cm，點(diǎn)，點(diǎn)P和圓心和圓心O的的距離為距離為 6cm，經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P有有 O的兩條切線的兩條切線PA、PB，則切線，則切線長(zhǎng)為長(zhǎng)為_cm，這兩條切線的夾角為，這兩條切線的夾角為_ABP.O.，AOB=_1200P（2）如圖，從）如圖，從 O外一點(diǎn)外一點(diǎn)P作作 O的兩條切線，分別切的兩條切線，分別切 O于于A，B，在，在AB 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C作作 O的切線分別交的切線分別交PA、PB于于D、EB.DCEOA.若若PA=2，則，則PDE的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_;連結(jié)連結(jié)OD，OE，42a70021900若若PA=a，則，

7、則PDE的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_DOE=_若若P= ,則則若若P=400，則，則DOE=_;.O例例3： 數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)老師把一個(gè)乒乓球放在一個(gè)數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)老師把一個(gè)乒乓球放在一個(gè)V形架形架中，如圖是它的平面示意圖，中，如圖是它的平面示意圖，CA、CB是是 O的切線，的切線，切點(diǎn)分別是切點(diǎn)分別是A、B，某同學(xué)通過測(cè)量，量得，某同學(xué)通過測(cè)量，量得AB=4cm，ACB=600，如何求出乒乓球的直徑？，如何求出乒乓球的直徑？CABD CA、CB是 O的切線 切點(diǎn)分別是A、BOB BC B為切點(diǎn) CA = CB OC 平分ABC AD = BD= AB=2cm21 OCAB OCB= ACB=3021在R

8、TBDO中 OBD=30解：連接OC 、 OBBOD=60OB=2OD設(shè) O半徑是 r 則A AB BC C思考思考:如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？A AB BC CD DF FE E. . . .問題：如圖問題：如圖ABC，要求畫，要求畫ABC的內(nèi)切的內(nèi)切圓，如何畫？圓，如何畫？ 已知：已知：ABC求作：和求作：和ABC的各邊都相切的圓的各邊都相切的圓BCAID作法：作法：1、作、作B、C的平分線的平分線BM、CN， 交點(diǎn)為交點(diǎn)為I2、過點(diǎn)、過點(diǎn)I作作IDBC

9、，垂足為，垂足為D3、以、以I為圓心，為圓心，ID為半徑作為半徑作 II就是所求的圓就是所求的圓 NM與三角形各邊都相切的圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓ABCIDEF三角形三角形內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心叫做三角的圓心叫做三角形的形的內(nèi)心內(nèi)心這個(gè)三角形叫做這個(gè)三角形叫做圓圓的的外切三角形外切三角形三角形的三角形的內(nèi)心內(nèi)心就是三角形的三個(gè)內(nèi)就是三角形的三個(gè)內(nèi)角角角平分線的交點(diǎn)角平分線的交點(diǎn)三角形的三角形的內(nèi)心內(nèi)心到三角形的三邊的距到三角形的三邊的距離相等離相等o外切圓圓心：外切圓圓心：三角形三邊三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)垂直平分線的交點(diǎn)。外切圓的半徑：外切圓的半徑：交點(diǎn)到三

10、交點(diǎn)到三角形任意一個(gè)定點(diǎn)的距離。角形任意一個(gè)定點(diǎn)的距離。三角形外接圓三角形外接圓三角形內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓o內(nèi)切圓圓心：內(nèi)切圓圓心：三角形三個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)切圓的半徑：內(nèi)切圓的半徑：交點(diǎn)到三交點(diǎn)到三角形任意一邊的垂直距離。角形任意一邊的垂直距離。A AA AB BB BC CC C例例4 4：已知：已知：ABC中中,ABC=50,ACB=70,點(diǎn)點(diǎn)O是內(nèi)心，求是內(nèi)心，求BOC的度數(shù)。的度數(shù)。 ABCO練習(xí)練習(xí)1 1. .如圖，如圖，ABCABC中中,C =90 ,C =90 ,它的內(nèi)切圓它的內(nèi)切圓O O分別與邊分別與邊ABAB、BCBC、CACA相相 切切于點(diǎn)于

11、點(diǎn)D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8， 求求 O O的半徑的半徑r.r.OEBDCAF解：連結(jié)解：連結(jié)OD, OE, OF O與與ABC三邊相切，三邊相切， 切點(diǎn)分別為點(diǎn)切點(diǎn)分別為點(diǎn)D 、E、F BEBD=12 AFAF =8 CECFC90四邊形四邊形OECF是矩形是矩形且且OE BC OF AC 又又OE OF矩形矩形OECF是正方形是正方形BC BE+CE12+r AC AF+CF8+r ABBD+AD12+820 CECFOE OF設(shè) O半徑為半徑為r 則則CE CF r12812rr8BC 2+ AC 2AB 2(12+r )2 + (8+r)2 =

12、202144+24r+r2 +64+16r+r2 =400 解得解得 r=4答： O的半徑的半徑r是是4 例例5 5. .如圖所示如圖所示PAPA、PBPB分別切圓分別切圓O O于于A A、B B， 并與圓并與圓O O的切線分別相交于的切線分別相交于C C、D D， 已已 知知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求CODCOD的度數(shù)的度數(shù)C OPBDAE 學(xué)習(xí)活動(dòng).oBACDPMNL如圖：已知四邊形如圖：已知四邊形ABCDABCD的邊的邊AB,BC,CD,DA AB,BC,CD,DA 和和oo分別相切于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)

13、L,M,N,PL,M,N,P 求證：求證：AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC證明：證明：AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA都和都和oo相切，相切， L,M,N,PL,M,N,P是切點(diǎn)是切點(diǎn)AL=AP, BL=BM, CN=CM,DN=DPAL=AP, BL=BM, CN=CM,DN=DPAL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DPAL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP =AP+DP+MB+MC =AP+DP+MB+MC 即即AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC 圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等試問：試問：若圖中四邊形若圖中四

14、邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形， 那么此四邊那么此四邊 形還是什么圖形？形還是什么圖形？菱形菱形BDEFOCA如圖，如圖，ABCABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r, r, ABCABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為l,l,求求ABCABC的面積的面積S.S.解：解：設(shè)設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr設(shè)設(shè)ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r2Sabc

15、三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算ABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. 求：求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r. 解：解：設(shè)設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設(shè)設(shè)RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內(nèi)切圓的半徑內(nèi)切圓的半徑 r 或或rabc2ababcABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. （1）求）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動(dòng)點(diǎn)）若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，使的位置，使 O保持與保持與ABC的邊的邊AC、BC都相切，求都相切，求 O的半徑的半徑r的取值范圍。的取值范圍。 解：解：（1）設(shè)）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相的內(nèi)切圓與三邊相切于切于D、E、F，連結(jié)，連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的內(nèi)切圓的的內(nèi)切圓的半