2016屆湖南省邵陽市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版)匯編

1、2015-2016 學(xué)年湖南省邵陽市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)一、本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要 求的.x1 已知集合 A= - 1 , 1 , B=x|x R, 1 詔，則 A AB 等于()A 0,1 B - 1, 1 C. 1 D . - 1, 0, 12已知復(fù)數(shù) z=1 - i，為 z 的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.- 1 - 1 B .： C. I r |： ；D.4 l-.r-3已知向量；=(2, 3),1= (- 1, 2),若+ l 與；-1 共線，則 m 的值為()A . - 1 B . 0 C. 1 D .

2、2sinCI sin一口)4. 若 tana=4,貝 U的值為()si n2口+cos2* + cos2aA . - 2 B . - 1 C . 1 D . 225. 拋物線 y +4x=0 上的一點(diǎn) P 到直線 x=3 的距離等于 5，則 P 到焦點(diǎn) F 的距離|PF|=()A . 4 B . 3 C . 2 D . 16. 將直徑為 2 的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )A.2 uB.3nC.4nD.6n7.已知實(shí)數(shù) a 滿足|a|v 2,則事件 點(diǎn) M (1, 1)與 N (2, 0)分別位于直線 l : ax-2y+1=0 兩側(cè)”的概率為()313

3、3A. , B .：- C.D.&根據(jù)如圖所示的框圖，當(dāng)輸入的x=3 時，則輸出的 y 為( )/A . 19 B . 10 C . 9 D . 09.若函數(shù) f (x) =2|x-a|(aR)滿足 f (1+x) =f ( 3- x),且 f ( x)在m , +)單調(diào)遞增, 則實(shí)數(shù) m 的最小值為()A . - 2 B . - 1 C . 2 D . 110 .已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的體積為()A. nB.4nC.D.-2 2 2 211.已知數(shù)列an n=1 , 2, 3 ，2015，圓 Ci： x +y - 4x - 4y=0，圓 C2： x +y - 2an

4、x -2a2006-ny=0，若圓 C2平分圓 Ci的周長，貝 y an的所有項(xiàng)的和為()A . 2014 B . 2015 C. 4028 D . 4030b, a - bl12 .對任意實(shí)數(shù) a, b 定義運(yùn)算？”： a-b=J設(shè) f (x)a, a bl*15._ 等比數(shù)列an的公比不為 1，若 a1=1,且對任意的 nN，都有 an+1、an、an+2成等差數(shù) 列，則an的前 5 項(xiàng)和 S5=.2 216.已知點(diǎn) F1、F2分別是雙曲線 C:- =1 (a 0, b0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn) F1界b2的直線 I 與雙曲線 C 的左，右兩支分別交于 P, Q 兩點(diǎn)，若 PQF2是以/ PQ

5、F2為為直角的 等腰直角三角形，e 為雙曲線 C 的離心率，則 e2=_ .三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.在 ABC 中，角 A , B, C 所對的邊分別是 a, b, c,且滿足：a2= ( b - c)2+ (2-.=)(I)求角 A 的大?。?H)若 a=2，求ABC 的面積 S.18.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PD 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，/ BAD=60 AB=2 , PD=1:(x2-1)?(4+x),A . (-2, 1)be,又 sinAsinB=27 , O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，E 為棱 PB 上一點(diǎn).(I)證明

6、：平面 EAC 丄平面 PBD ;(H)若 PD /平面 EAC，求三棱錐 P- EAD 的體積.19.現(xiàn)有 A , B, C 三種產(chǎn)品需要檢測，產(chǎn)品數(shù)量如下表:產(chǎn)品ABC數(shù)量8008001200已知采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取了7 件.(1 )求分別抽取的三種產(chǎn)品件數(shù)；(2)已知被抽取的 A , B, C 三種產(chǎn)品中，一等品分別有1 件、2 件、2 件，現(xiàn)再從已抽取的 A, B, C 三件產(chǎn)品中各抽取 1 件，求 3 件產(chǎn)品都是一等品的概率.2 220. 已知橢圓 C：務(wù) +%=1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1(-JE，0),F2(,0),b2過點(diǎn) F1的直線 l 與橢圓

7、C 相交于 A , B 兩點(diǎn)，且 ABF?的周長為 8.(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn) M (- a, 0)斜率為 k 的直線交橢圓于點(diǎn) N，直線 NO (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓于另一點(diǎn) P,若 k +, 1，求 PMN 面積的最大值.221. 已知函數(shù) f (x) =alnx+x - 1(1)求曲線 y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；(2 )若 f (x) ( a+1) lnx+ax - 1 在(1, +上恒成立，求 a 的取值范圍.請考生從 22、23、24 題中任選一題作答，注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所 做的第一題計(jì)分)選修 4-1 :幾何證明選

8、講22.如圖，ABC在 B 點(diǎn)處的切線于內(nèi)接于圓 0,分別取 AB、AC 的中點(diǎn) D、E,連接 DE，直線 DE 交圓 0 G,交圓于 H、F 兩點(diǎn)，若 GD=4 , DE=2 , DF=4 .(I)求證：洋GD =；(H)求 HD 的長.選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(x=2+2cos 9一Hr-23.已知曲線 C 的參數(shù)方程為*,直線I的極坐標(biāo)方程為pin(肝)=-2典.y=2sin 94(1) 寫出曲線 C 的普通方程和直線 I 的直角坐標(biāo)方程；(2) 設(shè)點(diǎn) P 為曲線 C 上的動點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線 I 距離的最大值.選修 4-5:不等式選講24. 設(shè) f ( x) =|2x - 4

9、|+|x+3|.(1 )解不等式 f (x) 7;(2)若 f (x) - 4 刑恒成立，求 m 的取值范圍.2015-2016學(xué)年湖南省邵陽市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文 科)參考答案與試題解析一、本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要 求的.x1 已知集合 A= - 1 , 1 , B=x|x R, 1 詔，則 A AB 等于()A 0,1 B - 1, 1 C. 1 D . - 1, 0, 1【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】 求出 B 中不等式的解集確定出B,再由 A，找出兩集合的交集即可.【解答】 解：由 B 中不等式變形得：20=1 2 :;

10、2 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2,+a);又 f (x )在m , +a)上單調(diào)遞增；實(shí)數(shù) m 的最小值為 2.故選：C.【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可知該幾何體是三棱錐，結(jié)合棱錐的幾何特征，球的體積公式，可得答案.【解答】解：由三視圖可知該幾何體是三棱錐，且三棱錐的高為由于底面斜邊上的中線長為 1，則底面的外接圓半徑為 1,頂點(diǎn)在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上,由于頂點(diǎn)到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等則三棱錐的外接球半徑R 為 1,則三棱錐的外接球體積 7=己=：.,故選：D11.已知數(shù)列an n=1 , 2, 3 ，2015，圓 C： x2+y2- 4x - 4y=

11、0，圓 C?: x2+y2- 2an(-2a2006-ny=0，若圓 C2平分圓 C1的周長，貝 y an的所有項(xiàng)的和為()A . 2014 B . 2015 C. 4028 D . 4030【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.【分析】圓 C1: F+y2- 4x - 4y=0，圓 C2： x2+y2- 2anx - 2a2016-ny=0，相減可得：(2 - an) x+(2 - a2016- n) y=0 .由于圓 C2平分圓 C1的周長，可得直線(*)經(jīng)過圓 C1的圓心(2, 2), an+a2016-n=4 .再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前 n 項(xiàng)和公式即可得出.【解答】 解：圓 C1: x2+y2- 4

12、x - 4y=0,圓 C2： x2+y2- 2anx- 2a2016-ny=0 ,相減可得：(2-an) X+ (2-a2016-n)y=0, ( * )圓 C2平分圓 C1的周長，直線(*)經(jīng)過圓 C1的圓心(2, 2),-2(2-an)+2(2-a2016- n) =0,- an+a2016- n=4 .a1+a2015=an+a2016-n=42015 (% + annIES2015=4030.求出外接球的半徑，代入1,底面為一個直角三角形，10已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的體積為(:一212 .對任意實(shí)數(shù) a, b 定義運(yùn)算？”： a-b=J，設(shè) f (x) = ( x -

13、 1) ? (4+x),a, a - b.l若函數(shù) y=f (x) +k 的圖象與 x 軸恰有三個不同交點(diǎn)，則k 的取值范圍是()A . (-2, 1) B . 0 , 1C . - 2, 0) D . - 2, 1)【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷.【分析】化簡函數(shù) f (x)的解析式，作出函數(shù) y=f (x)的圖象，由題意可得，函數(shù)y=f (x)與 y= - k 的圖象有 3 個交點(diǎn)，結(jié)合圖象求得結(jié)果.2 2【解答】解：當(dāng)(x - 1)-( x+4)v1 時，f (x) =x - 1, (- 2VxV3), 當(dāng)(x2- 1)-( x+4)昌 時，f (x)=x+4 , (x 為或 x- 2

14、),f1_ 2Y3)函數(shù) y=f (x) =的圖象如圖所示：x+4. (xl【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解, 聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【解答】解：由約束條件-x+yl化z= 一 x+y 為 y=.-,13由圖可知，當(dāng)直線y=J 匚過 A 時，直線在 y 軸上的截距最小，z有最小值為；當(dāng)直線 y= 二過 B 時，直線在 y 軸上的截距最大，z 有最大值為 3.故答案為：=、：.15.等比數(shù)列an的公比不為 1，若 ai=1,且對任意的 nN*，都有 an+i、an、an+2成等差數(shù) 列，則an的前 5

15、項(xiàng)和 S5=11.【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可得 2an=an+1+an+2,令 n=1 可得 a3+a2- 2納=0，設(shè)公比為 q, 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得 q,再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得前 5 項(xiàng)和 S5. 【解答】解：對任意的 nN*，都有 an+1、an、an+2成等差數(shù)列，即有 2an=an+1+an+2,令 n=1 可得 a3+a2- 2a1=0,設(shè)公比為 q,則 引(q2+q - 2) =0.由 q +q - 2=0 解得 q=- 2 或 q=1 (舍去)，故答案為：11.2 216.已知點(diǎn) Fi、F2分別是雙曲線 C: - =1

16、(a 0, b0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)Fia2b2的直線 I 與雙曲線 C 的左，右兩支分別交于P, Q 兩點(diǎn)，若 PQF2是以/ PQF2為為直角的等腰直角三角形，e 為雙曲線 C 的離心率，則 e2= 5+2 匚_.【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】設(shè)|QF2|=|PQ|=m，計(jì)算出|PF2|=m,運(yùn)用雙曲線的定義，再利用勾股定理，即可 建立 a, c的關(guān)系，從而求出 e2的值.【解答】解：設(shè)|QF2|=|PQ|=m ,則 |PF2|= m,由雙曲線的定義可得|QFi|=m+2a, |PFi|= _m - 2a,/ |PQ|=|QFi|- |PFi|=m,/ m+2a-( ：m -2a)=m

17、, 4a=_m,即 m=2_a,QF1F2為直角三角形，2 2 2- IF1F2I =|QF1| +|QF2| 4C2= (2+2_)2a2+ (27a)2, -4c=(20+8-J】)a,由 e=可得ae2=5+2:.故答案為：5+27.三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.在 ABC 中，角 A , B, C 所對的邊分別是 a, b, c,且滿足: be,又 sinAsinB=(I)求角 A 的大小；(n)若 a=2，求ABC 的面積 S.【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理.【分析】(1 )由已知整理可得利用余弦定理可求 cosA，即可解得 A的值.(2)利用三角函數(shù)恒等變

18、換的應(yīng)用化簡已知可得cos (A - B) =1，可得 A , B, C 的值,利用三角形面積公式即可得解.【解答】解：(1)： J -；h1 廣化：ha2= (b - c)2+ (2-二)則 S5=_in-(2)：上.1；：-, 2sinAsinB=1+cosC=1 - cos (A+B ), cosAcosB+sinAsinB=1 即 cos ( A B)=1二 ；二又Ta：.：； zLjin ；.7.-18.如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PD 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，/ BAD=60 AB=2，PD=，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，E 為棱 PB 上一點(diǎn).(I)證

19、明：平面 EAC 丄平面 PBD ;(n)若 PD /平面 EAC，求三棱錐 P EAD 的體積.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定.【分析】(I)由已知得 AC 丄 PD, AC 丄 BD，由此能證明平面 EAC 丄平面 PBD.(n)由已知得 PD / 0E,取 AD 中點(diǎn) H，連結(jié) BH，由此利用： 丁斤 廿 丄-斤：能求出三棱錐 P EAD的體積.【解答】(I)證明：TPD 丄平面 ABCD,AC?平面 ABCD, AC 丄 PD 四邊形 ABCD 是菱形， AC 丄 BD ,又 PDABD=D , AC 丄平面 PBD .而 AC?平面 EAC，平面 EAC 丄平面

20、 PBD .又bJA / Vsbc V32U 忑(n)解：IPD /平面 EAC，平面 EAC 門平面 PBD=OE , PD / OE ,TO 是 BD 中點(diǎn)， E 是 PB 中點(diǎn).取 AD 中點(diǎn) H，連結(jié) BH ,四邊形 ABCD 是菱形，/ BAD=60 BH 丄 AD，又 BH 丄 PD, ADAPD=D ,二 BD 丄平面 PAD ,產(chǎn)品ABC數(shù)量8008001200已知采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取了7 件.(1 )求分別抽取的三種產(chǎn)品件數(shù)；(2)已知被抽取的 A，B，C 三種產(chǎn)品中，一等品分別有1 件、2 件、2 件，現(xiàn)再從已抽取的 A，B，C 三件產(chǎn)品中各抽取 1 件，求

21、 3 件產(chǎn)品都是一等品的概率.【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；分層抽樣方法.【分析】(1)設(shè) A、B 產(chǎn)品均抽取了 x 件，C 產(chǎn)品抽取了 7 - 2x 件，利用用分層抽樣的方法 能求出分別抽取的三種產(chǎn)品件數(shù).(2)記抽取的 A 產(chǎn)品為 a1, a2,其中為一等品，抽取的 B 產(chǎn)品為 3, b2，兩件均為一 等品，抽取的 C產(chǎn)品為 5, C2, C3,其中 5, C2為一等品，由此能求出 3 件產(chǎn)品均為一等品 的概率.解得 x=2, A、B 產(chǎn)品分別抽取了 2 件，C 產(chǎn)品抽取了 3 件.(2)記抽取的 A 產(chǎn)品為可,a2,其中a1為一等品，抽取的 B 產(chǎn)品為 b1, b2,兩件

22、均為一等品，抽取的 C 產(chǎn)品為 C|, C2, C3,其中 5, C2為一等品，從三種產(chǎn)品中各取一件，基本事件數(shù)n=2 2 3=12 ,其中三個都是一等品的基本事件有：心1, b1, 5, a1, b1, C2, a1, b?, 5, a1, b,C2，共 4 件，【解答】 解：(1)設(shè) A、B 產(chǎn)品均抽取了X 件，C 產(chǎn)品抽取了 7 - 2x 件,3件產(chǎn)品均為一等品的概率一2 220.已知橢圓 C：務(wù) +三-1 (a b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi(-近，0),F2(占，0), / b2過點(diǎn) Fi的直線 I 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且 ABF2的周長為 8.(1) 求橢圓 C 的標(biāo)

23、準(zhǔn)方程；(2) 過點(diǎn) M (- a, 0)斜率為 k 的直線交橢圓于點(diǎn) N，直線 NO (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓 于另一點(diǎn) P,若 k 吉,1，求 PMN 面積的最大值.【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】(1)由已知利用橢圓性質(zhì)得 c=二，4a=8，由此能求出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線 AB 的方程為 x+2=my , (m),代入橢圓方程得(m2+4) y2-4my 0,由此k利用韋達(dá)定理、橢圓對稱性求出 PMN 的面積，再由函數(shù)的單調(diào)性能求出 PMN 的面積的 最大值.F2(.二,0),過點(diǎn) F1的直線 l 與橢圓 c=二，4a=8, a=2 , b= ：- . =1,橢圓 C 的標(biāo)

24、準(zhǔn)方程為(2 )由(1)得 a=2,設(shè)直線 AB 的方程為 x+2=my , ( m=),k代入橢圓方程得(m2+4) y2- 4my 0,4m221.已知函數(shù) f (x) =alnx+x - 1【解答】解：(1)v 橢圓 C： +a=1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 b2F1(-. 1,0),C 相交于 A , B 兩點(diǎn)，且ABF2的周長為 8,又 M (- 2, 0), N (-mz+4三丄),由對稱性知 P (ITi +42m2- 8in2+44m8mPMN 的面積 S=nr8_孑,+4 nrttti(m) =m+ ,則 fHI(m )在m1 , 2上單調(diào)遞減,m=2，即 k=時,P

25、MN的面積取最大值 2.(1)求曲線 y=f (x)在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線方程;(2 )若 f (x) ( a+1) Inx+ax - 1 在(1, +上恒成立，求 a 的取值范圍.【考點(diǎn)】禾 U 用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；禾 U 用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1 )求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出 f (1), f( 1),代入切線方程即可；(2)問題轉(zhuǎn)化為 avx -、-恒成立，令 g (x) =x -、-，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a 的范圍即可.【解答】解：(1)由題意得：f( x) = +2x, (x 0),X f (1) =a+2，又 f (1) =0,切線方程是 y= (a+2) (x 1),即(a+2) x y a 2=0；2(2 )由 f (x) ( a+1) Inx+ax 1 得：axvx Inx,/x 1, avx -丄三恒成立，x2令 g ( x) =x L-,貝yg ( x) =W 一 12令 h (x) =x +|nx 1，貝Uh (x) =2x+ 0, h (x )在(1, +g)遞增，而 h (1) =0, x (1, +g)時，h (x) 0,. g (x) 0, g (x )在(1, +g)遞增， g (x ) g (1) =1,當(dāng) a 7;(2)若 f (x) -