一個(gè)探究性問題的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、一個(gè)探究性問題的教學(xué)設(shè)計(jì)現(xiàn)行教材增加了一些探究性的問題，促使學(xué)生親自動(dòng)手去發(fā)現(xiàn)、提出、解決一些數(shù)學(xué)問題，有利于增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。個(gè)人認(rèn)為，開展探究性問題的教學(xué)目的并不在于獲得一個(gè)具體的數(shù)學(xué)結(jié)論或答案，而在于整個(gè)學(xué)習(xí)過程給學(xué)生所帶來的積極影響，也就是研究數(shù)學(xué)的一種思路、方法。沒有固定的模式，沒有可以借鑒的經(jīng)驗(yàn)，要開展這樣的探究性問題的教學(xué)，一切都是“摸著石頭過河”。本文就是利用幾何畫板軟件對(duì)橢圓的定義進(jìn)行發(fā)散思維的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，也是對(duì)開展數(shù)學(xué)探究性問題作一些思考和探索。 【教學(xué)目的】使學(xué)生明確探求點(diǎn)的軌跡的思維出發(fā)點(diǎn)，理清這類軌跡問題的思路，高屋建瓴的把握軌跡問題的來龍去脈?！窘虒W(xué)輔助工具】網(wǎng)

2、絡(luò)教室，一人一機(jī)，幾何畫板軟件【教學(xué)方法】問題教學(xué)法。一題多變，發(fā)散思維，引導(dǎo)學(xué)生參與，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新，發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用?！窘虒W(xué)過程】1、引入求曲線的方程、通過方程來研究曲線是解析幾何的兩大任務(wù)。今天與同學(xué)們共同討論一個(gè)問題：如何探求點(diǎn)的軌跡。問題是數(shù)學(xué)的心臟，思維先從問題開始。來看一個(gè)具體問題：問題：C是圓A內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，D是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段CD的中垂線與半徑AD的交點(diǎn)F的軌跡方程。用幾何畫板作出圖1，拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)D在圓A上轉(zhuǎn)動(dòng)或者制作點(diǎn)D在圓A上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫按鈕，跟蹤點(diǎn)F，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，軌跡是一個(gè)橢圓，分析已知條件，不難知道原因：（為定值），且有。（圖1）建立點(diǎn)的軌跡方程。

3、取線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)，則由橢圓定義得到橢圓的方程。（其中）2、一題多變，發(fā)散思維變式1：探求點(diǎn)E的軌跡。（讓學(xué)生先猜測，用幾何畫板演示，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再說明理由）學(xué)生追蹤點(diǎn)E的軌跡后，發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓（圖2）。分析：連接AC，取其中點(diǎn)G，連GE，可知 ，（為定值 ），所以點(diǎn)E的軌跡是以G為圓心，為半徑的一個(gè)圓。（圖2） 變式2：放寬對(duì)E點(diǎn)的限制，設(shè)E為CD上任意一點(diǎn)，探究點(diǎn)E的軌跡。（受變式1的啟發(fā)，學(xué)生猜測出點(diǎn)其軌跡還是一個(gè)圓，但是圓心和半徑發(fā)生了變化）。過E作AD的平行線，交AC與K，追蹤點(diǎn)K（圖3），發(fā)現(xiàn)軌跡是以K為圓心，長為半徑的圓。分析： ，易見 為定值

4、，因此軌跡為圓。 （圖3）教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)：通過剛才兩個(gè)變式的訓(xùn)練，我們發(fā)現(xiàn)要找到點(diǎn)的軌跡，需從兩方面下手：一是找出約束動(dòng)點(diǎn)變化的幾何條件；二是找出影響動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的因素。變式3：探求CF的中點(diǎn)G的軌跡。（這時(shí)學(xué)生的思維馬上會(huì)發(fā)生遷移，運(yùn)用類比的思想方法，猜測出點(diǎn)G的軌跡是一橢圓）。學(xué)生追蹤線段CF的中點(diǎn)G的軌跡，發(fā)現(xiàn)是一橢圓（圖5）。分析：取AC中點(diǎn)H，連HG,則(為定值). （圖4）變式4：放寬對(duì)G點(diǎn)的限制，設(shè)G為CF上任意一點(diǎn)（不是C）,探求其軌跡（受變式2的啟發(fā)，學(xué)生會(huì)想到用三角形相似）。追蹤其軌跡,仍為一橢圓（圖5）. 分析：作,交于,則(為定值) （圖5）變式5：在直線CD上取一點(diǎn)

5、E，過E作CD的垂線EQ，與直線DA(或其延長線)交于Q，探求Q的軌跡。（學(xué)生紛紛猜測不是圓就是橢圓，教師引而待發(fā)）發(fā)現(xiàn)分別為“鴨蛋形” （圖6）、“導(dǎo)彈形” （圖7）.其軌跡方程可利用極坐標(biāo)求得，為非常規(guī)方程，這里不做進(jìn)一步闡述。（圖6） （圖7）這一系列的變式訓(xùn)練可極大調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性，這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也符合中學(xué)生的好動(dòng)、喜新、求變的心理特征，學(xué)生在極富挑戰(zhàn)性的實(shí)驗(yàn)過程中建構(gòu)起自己的數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)。3、自導(dǎo)自演，激發(fā)創(chuàng)新我們不光要善于解決問題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與方法，并運(yùn)用這些經(jīng)驗(yàn)與方法曲解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，發(fā)現(xiàn)更多的問題。（為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探索欲望，此時(shí)可以對(duì)條件作進(jìn)一

6、步的改變或者放寬，讓學(xué)生自己尋求答案，教師巡視，隨時(shí)給予指導(dǎo)）可能會(huì)出現(xiàn)下面的一些情況：將點(diǎn)C移到圓外，研究圖1中點(diǎn)F的軌跡（此時(shí)點(diǎn)F為CD中垂線與直線AC的交點(diǎn)）（雙曲線，圖8） （圖8）在直線EF上任意取一點(diǎn)S,發(fā)現(xiàn)其軌跡為一個(gè)圓（如圖9）（圖9）通過改變點(diǎn)C在圓內(nèi)和圓外的位置可以發(fā)現(xiàn)：圖2中E的軌跡圓與圖1中的橢圓和圖8中的雙曲線都是相切的（如圖10、圖11）（圖10） （圖11）4、教師小結(jié)，布置作業(yè)通過一系列的發(fā)散思維訓(xùn)練，學(xué)生已基本掌握探求一個(gè)點(diǎn)的軌跡思維的出發(fā)點(diǎn)有兩個(gè)：（?。┱页黾s束動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的幾何條件；（2）找出影響動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的因素。抓住這兩點(diǎn)，就抓住了問題的本質(zhì)?！窘虒W(xué)反思】本文開始提出的問題是一道常見的軌跡題，過去沒有更深入的研究，這里借助幾何畫板的“在動(dòng)態(tài)中保持設(shè)定的幾何關(guān)系不變”的軟件特征深入研究了這道題目，另一方面，通過一題多變，發(fā)散思維，擴(kuò)大到發(fā)現(xiàn)、歸納這類問題的解題規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，遷移知識(shí)與方法，