簡單形式的柯西不等式

1、簡單形式的柯西不等式簡單形式的柯西不等式設(shè)設(shè) 為任意實數(shù)為任意實數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想由222abab 反映出的兩個實數(shù)的平方和與乘積的大小關(guān)系,類比它的推導(dǎo)過程考慮與下面式子（涉及到四個實數(shù)，并且形式上也與平方和有關(guān)）有關(guān)的有什么不等關(guān)系: .,222222222222cbdadbcadcba 得展開這個乘積 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式的含義式的含義習(xí)會進一步認(rèn)識二維形習(xí)會進一步認(rèn)識二維形通過后面的學(xué)通過后面的學(xué)項

2、式項式式中每個括號內(nèi)都是兩式中每個括號內(nèi)都是兩.,.,4柯西不等式即二維或簡單形式的的最簡形式它是作用在數(shù)學(xué)和物理中有重要而且具有簡潔、對稱的美感形式上規(guī)律明顯不僅排列個實數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系式反映了inequalityCauchy柯柯西西不不等等式式于于是是我我們們有有式式中中的的等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)從從上上面面的的探探究究過過程程可可以以.,0 bcad.,122222等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)則都是實數(shù)若簡單形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba?的證明嗎的證明嗎你能簡明地寫出定理你能簡明地寫出定理思考思考1證法一：如圖：證法一：如圖：XoYA(a,b)B (c

3、,d)設(shè)設(shè) 是平面上任意的是平面上任意的 兩個向量，兩個向量， 的夾角為的夾角為( , ),( , )a bc d 與那么：那么：cos 上式兩邊同時取絕對值，得：上式兩邊同時取絕對值，得：| |cos|. 又又 ，|cos| 1所以：所以：| 顯然，等號成立的條件是：向量顯然，等號成立的條件是：向量 共線。共線。( , )( , )a bc d 與| 即：將將式用坐標(biāo)表示，可得：式用坐標(biāo)表示，可得：2222abcdacbd即：即： 22222abcdacbd證法（三）：證法（三）：（利用比較法）利用比較法） 22222abcdacbd2 2222 2222 2222a ca db cb da

4、 cabcdb d222222()0.a dabcdb cadbc所以：所以： 22222abcdacbd顯然，上式當(dāng)且僅當(dāng)顯然，上式當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，“ = ” 號成立。號成立。 0adbc.柯西不等式的幾何意義.0 ,之間的夾角為與有向量中設(shè)在平面直角坐標(biāo)系如圖dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我們有義的定內(nèi)積根據(jù)向量數(shù)量積 ba, dc,xyO,|cos|1 因為. | 所以 得向量的坐標(biāo)表示不等式二維用平面,.|兩邊平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,式式西西不不等等式式的的柯柯二二維維形形稱稱之之為為所所以以應(yīng)應(yīng)量量相相對對二二維維向向式式

5、與與. 0.,.,., 1|cos|,.,0,kcdkcdbcaddckbakkbcad故即使這時存在非零實數(shù)以上不等式取等號共線時和即向量則當(dāng)且僅當(dāng)量都不是零向和如果向量式取等號以上不等則中有零向量和如果向量 ., |,等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則個個向向量量是是兩兩設(shè)設(shè)式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2二維形式的柯西不等式是向量二維形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐標(biāo)表示形式的柯西不等式的坐標(biāo)表示 ?4,221121221121關(guān)系嗎個實數(shù)蘊涵著何種大小這你能發(fā)現(xiàn)的邊長關(guān)系根據(jù)的坐標(biāo)分別為設(shè)點中系標(biāo)坐角面直在

6、平如圖觀察yxyxPOPyxyxPPOxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .圖圖,22122122222121yyxxyxyx容易發(fā)現(xiàn)的邊長關(guān)系及三角形根據(jù)兩點間距離公式以如圖.,式中的等號成立式中的等號成立兩旁時兩旁時在原點在原點并且點并且點在同一直線上在同一直線上與原點與原點當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二維形式的叫做二維形式的不等式不等式三角不等式三角不等式簡單形式的柯西不等式的一些變式變式 1:a2b2 c2d2

7、|acbd|(當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時， 等號成立)變式 2：(ab)(cd)( ac bd)2.(a，b，c，dR，當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時，等號成立)變式 3:a2b2 c2d2|ac|bd|(當(dāng)且僅當(dāng)|ad|bc|時，等號成立) 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 22222|dcba 2222dcba. |bdacdbca 例 1:設(shè),1,a bRab 求證:114ab .例題講解例 2 已知 3x22y26，求證：2xy 11.例題講解規(guī)律方法 1.二維形式的柯西不等式可以理解為四個數(shù)對應(yīng)的一種不等關(guān)系，對誰與誰組合是有順序的，不是任意的搭配，因此要仔細(xì)體會，加強記

8、憶例如，(a2b2)(d2c2)(acbd)2是錯誤的，而應(yīng)有(a2b2)(d2c2)(adbc)2.2柯西不等式取等號的條件也不容易記憶，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號成立的條件是adbc，可以把a，b，c，d看作成等比，則adbc來聯(lián)想記憶例 3 求函數(shù) y5 x1 102x的最大值例題講解規(guī)律方法2 利用柯西不等式求最值先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一例4 已知a，bR，且ab1.求證：(axby)2ax2by2.例題講解 定理定理1:(簡單簡單形式的柯西不等式形式的柯西不等式) .,)()(,22222等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)則都是實數(shù)若b