平面向量專題整理復(fù)習

1、 教學內(nèi)容：知識點歸納 一. 向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同

2、一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的

3、有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它

4、的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始

5、點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)二. 平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3 向

6、量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標表示和性質(zhì) 運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時, =向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,三平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成

7、立： ；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：·O鞏固練習例1 給出下列命題： 若|，則=； 若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABC

8、D為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號是 例2 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：， 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求k例4 已知向量，且，求實數(shù)的值例5已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標例6已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角例7 已知，按下列條件求實數(shù)的值 （1）；（2）；例8已知，且與夾角為120°求； ； 與的夾角。例9已知向量=，= 。求與； 當為何值時，向量與垂直？ 當為何值時，向量與平行？并確定此時它們是同向還是反向？例10已知=，

9、= ，=，設(shè)是直線上一點，是坐標原點求使取最小值時的； 對（1）中的點，求的余弦值。例11在中，為中線上的一個動點，若 求：的最小值。平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（答：）；（4）已知中，點在邊上，且，則的值是_（答：0）2平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即。規(guī)定：零向

10、量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為_（答：）3在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，其夾角為，則：；當，同向時，特別地，；當與反向時，；當為銳角時，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（

11、2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時與的夾角的大?。ù穑海蛔钚≈禐?，）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標為。如若ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標系中，為坐標原點

12、，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_（答：直線AB）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心在四邊形ABCD中，=（1，1），則四邊形ABCD的面積是 設(shè)斜的外接圓圓心為，兩條邊上的高的交點為，則實數(shù)= 。 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心（四）向量與解析幾何在解析幾何中，熟練掌握下列結(jié)論，有助于更好地運用向量：（1）A、B、C三點共線等價于存在實數(shù)，使得（）；（2）的重心G的坐

13、標公式為（3）直線的方向向量是什么？ 給定兩點：，那么，這也就是方向向量，橫坐標單位化，得：，也就是說：直線的方向向量是，直線的法向量是例如：已知為坐標原點，點的坐標分別為,點運動時，滿足，（1）求動點的軌跡的方程 （2）設(shè)、是軌跡上的兩點，若，求直線的方程體驗練習題一：一、選擇題1已知平面向量a= ，b=， 則向量( )A平行于軸 B平行于第一、三象限的角平分線 C平行于軸 D平行于第二、四象限的角平分線 2一質(zhì)點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為( )( A 6 B 2 C D 3設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則（）A B C

14、 D4設(shè)向量，滿足：，以，的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為 ( ) . A B C D5已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（ ） （A） （B） （C） （D）6 8在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ ）ABCD7 3已知平面向量，且/，則（ ）A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量，與垂直，則是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量滿足，與的夾角為，則( ) A B C D210已知平面向量，則向量( ) 11在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若與垂直，則( )A B

15、 C D4二、填空題1若平面向量，滿足，平行于軸，則 2已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積= 3已知向量和的夾角為，則 4已知向量，且，則= 5設(shè)O、A、B、C為平面上四個點，且，則_6在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則_（用表示）7. 設(shè)向量，（1）若與垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求證：.8已知向量和，且求的值.體驗練習題二：一、選擇題：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），則向量a與b的夾角等于（ ） A B C D 2在平面直角坐標系中作矩形,已知,則·的值為（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夾角為120

16、6;，2，則·（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，對任意實數(shù)t，恒有|t|，則（ ）A B() C() D()()5已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向7已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向二填空題：8已知向量若向量，則實數(shù)的值是 ； 9設(shè)O為坐標原點，向量 將繞著點 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標為_10設(shè)集合平面向量，定義在上的映射，滿足對任意x，均有(x)

17、=x（R且）若a= b 且a、b不共線，則( a) (b)（a+b）=_；若，且，則_11若把函數(shù)的圖象按向量平移，得到函數(shù)的圖象，則向量的坐標為 12設(shè)向量則的最大值為 _13已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向14已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向三、解答題：15四邊形中， （1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時又有，求的值及四邊形的面積。16 在直角坐標平面中，已知點，其中是正整數(shù)，對平面上任一點，記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點.（1）求向量的坐標；（2）當點在曲線C上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當時，.求以曲線C為圖象的函數(shù)在上的解析式；（3）對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標.解析：因為=（1，1）,所以四邊形ABCD為平行四邊形,所以 則四邊形ABCD的面積為解法一：=由已知,得又，。