對數(shù)函數(shù)的圖像與性質

1、?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1, 0aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數(shù) b叫做以a為底 N的對數(shù)對數(shù)，記作 bNaloga叫做對數(shù)的底數(shù)底數(shù)，N叫做真數(shù)真數(shù)。復習對數(shù)的概念定義：定義： 由前面的學習我們知道：如果有一種細胞分裂時，由前面的學習我們知道：如果有一種細胞分裂時，由由1個分裂成個分裂成2個，個，2個分裂成個分裂成4個，個， ，1個這樣的個這樣的細胞分裂細胞分裂x次會得到多少個細胞？次會得到多少個細胞？如果知道了細胞的個數(shù)如果知道了細胞的個數(shù)y，如何確定分裂的次數(shù)，如何確定分裂的次數(shù)x呢？呢？2xy 由對數(shù)式與指數(shù)式的互化可

2、知：由對數(shù)式與指數(shù)式的互化可知：2logxy上式可以看作以上式可以看作以y為自變量的函數(shù)表達式為自變量的函數(shù)表達式對于每一個給定的對于每一個給定的y值都有惟一的值都有惟一的x的值與之對應，把的值與之對應，把y看作自變量，看作自變量，x就是就是y的函數(shù)，但習慣上仍用的函數(shù)，但習慣上仍用x表示表示自變量，自變量，y表示它的函數(shù)：即表示它的函數(shù)：即2logyx這就是本節(jié)課要學習的：0(logaxya) 1a 定義：定義：函數(shù)函數(shù)，且，且 叫做叫做對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)，其中，其中x x是自變量，函數(shù)的定是自變量，函數(shù)的定義域是（義域是（0 0，+）。）。， 對數(shù)函數(shù)一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的條件是：一個函數(shù)為對

3、數(shù)函數(shù)的條件是：系數(shù)為系數(shù)為1；底數(shù)為大于底數(shù)為大于0且不等于且不等于1的常數(shù)；的常數(shù)；真數(shù)為單個自變量真數(shù)為單個自變量x.判斷是不是對數(shù)函數(shù)判斷是不是對數(shù)函數(shù)5log5xy (1)2(log2xy(2)xy5log2)3(xyx2log)4(55(5)log1(6)log(7)log 5xyxyxy（）（）（）（）（）（）（）哈哈 ，我們都不是對數(shù)函數(shù)你答對了嗎？我們是對數(shù)型函數(shù)請認清我們哈xayalog) 3(2 1. 函數(shù)函數(shù) 是對數(shù)函是對數(shù)函數(shù)數(shù),a=_ 解：由對數(shù)函數(shù)解：由對數(shù)函數(shù) 的定義有的定義有a2 - 3=1a0 a 1 a = 2a =-2或或a = 2a0a1解得解得 圖

4、象 性 質yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a10a 0 時，時，y 1.當當 x 0 時，時，. 0 y 1當當 x 1；當當 x 0 時，時， 0 y 0 1a 1時，時，y0 當當x=1時，時，y=0 當當0 x1時，時，y1時，時，y0 當當x=1時，時，y=0 當當0 x0 對稱性：對稱性： 和和 的圖像關于的圖像關于y軸對稱軸對稱.logayx1logayx例1 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)為為對數(shù)函數(shù)，且圖象過點對數(shù)函數(shù)，且圖象過點(4, 2)，求，求f(1)，f(8)為對數(shù)函數(shù)解：)(xf32log8log)8(01log) 1 (log)(2

5、(244log224)(log)(322222ffxxfaaaxfxxfaa舍），過（又設) 10aa且（歸納：求函數(shù)的定義域應從以下幾個方面入手歸納：求函數(shù)的定義域應從以下幾個方面入手（1 1）分母不能為）分母不能為0 0；（2 2）函數(shù)含有開偶次方運算時，被開方式必須大）函數(shù)含有開偶次方運算時，被開方式必須大于等于于等于0 0；（3 3）有對數(shù)運算時，真數(shù)必須大于）有對數(shù)運算時，真數(shù)必須大于0.0.底數(shù)必須大底數(shù)必須大于于0 0且不為且不為1. 1.（4 4） 0 0次冪的底數(shù)不能為零次冪的底數(shù)不能為零. .(1)lgyx0.5(2)1 logyx21(3)logyx練習1.求下列函數(shù)的定

6、義域練習練習2： 求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域：（3） （4） )86(log2)3(xxyx) 1(log21xy2log xya)4(logxya（1） （2） 0 xx4xx4xx2 , 132 2(2 )1,1(1) ( ) (1) ( )(log) ) (43xfogffxxff xx對數(shù)函數(shù)的單調性的應用（目標 ）已知函數(shù)的定義域為，求的定義域（2）的定義域反饋：已知函數(shù)的定義域為0,1，求函數(shù)的定義域練習3 練習練習1 1：求函數(shù)求函數(shù) 的定義域？的定義域？()lg()xxyxx2023221lg()xxxxx 220210210320解：解：要滿足不等式組要滿足不等式

7、組解之，得函數(shù)定義域為解之，得函數(shù)定義域為 |xxxx132122且且第二課時第二課時 對數(shù)函數(shù)的性質對數(shù)函數(shù)的性質 比較大小比較大小 當當x1時，時，當當0 x1時，時，當當0 x1時，時，1：函數(shù)：函數(shù) 的圖像過定點的圖像過定點_.log (21)(0,1)ayxaa變式：函數(shù)變式：函數(shù) 的圖像過定點的圖像過定點_._.2) 1(logxya222( )log (1)2( )log( )log (1)2f xxf xxf xx函數(shù)是有怎樣平移而來？那么函數(shù)恒過定點（） 例例1.比較下列各組中，兩個值的大?。罕容^下列各組中，兩個值的大?。?（1） log23.4與與 log28.5 （2）

8、log 0.3 1.8與與 log 0.3 2.7 log23.4log28.5y3.4xy2logx108.5 log23.4 1,函數(shù)在區(qū)間（函數(shù)在區(qū)間（0，+） 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；3.48.5 log23.4 log28.5 例例1.比較下列各組中，兩個值的大?。罕容^下列各組中，兩個值的大?。?（1） log23.4與與 log28.5 （2） log 0.3 1.8與與 log 0.3 2.7解法解法2：考察函數(shù)：考察函數(shù)y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函數(shù)在區(qū)間（函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)；）上是減函數(shù)；1.8 log 0.3 2.7 (2)解法解法1：畫圖找

9、點比高低：畫圖找點比高低 例例1.比較下列各組中，兩個值的大?。罕容^下列各組中，兩個值的大?。?（1） log23.4與與 log28.5 （2） log 0.3 1.8與與 log 0.3 2.7小小結結比較兩個比較兩個同底同底對數(shù)值的大小時對數(shù)值的大小時:.觀察底數(shù)是大于觀察底數(shù)是大于1還是小于還是小于1（ a1時為時為增增函數(shù)函數(shù)0a1時為時為減減函數(shù)）函數(shù)）.比較真數(shù)值的大?。槐容^真數(shù)值的大?。?根據(jù)單調性得出結果。根據(jù)單調性得出結果。注意：注意：若底數(shù)不確定，那就要對底數(shù)進行分類討論若底數(shù)不確定，那就要對底數(shù)進行分類討論即即0a 1例例1.比較下列各組中，兩個值的大小比較下列各組中，

10、兩個值的大?。海?） loga5.1與與 loga5.9解解: 若若a1則函數(shù)在區(qū)間（則函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)；）上是增函數(shù)； 5.15.9 loga5.1 loga5.9 若若0a1則函數(shù)在區(qū)間（則函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是減函）上是減函數(shù)；數(shù)； 5.1 loga5.9你能口答嗎？你能口答嗎？10100.50.522331.51.5log 6log 8log6log8log 0.6log 0.8log 6log 8變一變還能口答嗎？變一變還能口答嗎？10100.50.522331.51.5loglogloglogloglogloglognmnmnnm 則 m n 則 m n 則 m n

11、m 則 m n練習1：比較大小 log76 1 log0.53 1 log67 1 log0.60.1 1 log35.1 0 log0.12 0 log20.8 0 log0.20.6 0 例例2.2.比較下列各組中兩個值的大小比較下列各組中兩個值的大小: : log 67 , log 7 6 ; log 3 , log 2 0.8 . 解解: log67log661 log76log771 log67log76 log3log310 log20.8log210 log3log20.8: : log a10 xya1logxya2logxya3log3211aaax1yo11a2a3a（1

12、1）底數(shù)）底數(shù)a11時時, ,底數(shù)越大底數(shù)越大, ,其圖象越接近其圖象越接近x軸。軸。“圖低底大圖低底大”1oyx xa1logxa2logxa3log1321aaa1a1a2a3( (2 2) )底數(shù)底數(shù)00a11a1時時, ,底數(shù)越底數(shù)越大大, ,其圖象越接近其圖象越接近x x軸。軸。補充補充性質性質二二 底數(shù)互為底數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于關于x x軸對稱。軸對稱。補充補充性質性質一一 圖圖 形形10.5y=log x0.1y=log x10y=log x2y=log x0 xy底數(shù)底數(shù)0a10a0,a1),當當x3,9時，函數(shù)的最大值比最小值大時，函數(shù)的

13、最大值比最小值大1,則則a=_313或例例3 3：求下列函數(shù)求下列函數(shù) 的值域？的值域？log ()2247yxxlog ()2234yxx解：解：定義域：定義域：log,23值域：值域： 2 2 2 2定義域：定義域： |x xxR2且值域：值域：定義域：定義域：R值域：值域：log ()2244yxxR |x xx31或R若已知函數(shù)定義域，如何確定函數(shù)解析式？若已知函數(shù)定義域，如何確定函數(shù)解析式？ 3 3：已知函數(shù)已知函數(shù) 若定義域為若定義域為 求求 的取值范圍？的取值范圍？lg()yaxax221，Ra解：解：二次項系數(shù)二次項系數(shù)是否為是否為0?0?(1) 時，函數(shù)時，函數(shù) , 此時此時

14、定義域為定義域為 ； a 0lgy 1R(2) 時，時， 對任意對任意實數(shù)實數(shù)x 恒成立，故恒成立，故a 0axax 2210aaa02440解得解得a01故函數(shù)定義域為故函數(shù)定義域為R時時,.a01改變條件為：改變條件為：lg()yaxax221，Ra33已知函數(shù)已知函數(shù) 若若 為為求求 的取值范圍？的取值范圍？解：解：(1) 時，時， ,此此時不滿足題設條件時不滿足題設條件 ； a 0lgy 1(2) 時，設時，設 , 因為函因為函數(shù)數(shù)y的值域是的值域是R, 則則a 0uaxax221aaa02440解得解得a 1故函數(shù)值域為故函數(shù)值域為R時時,.a 1值域值域值域值域0.5(1)1 lo

15、gyx0.5(2)log1yx練習2.求下列函數(shù)的值域(3)若函數(shù)若函數(shù) 的值域為的值域為-1,1,則則它的定義域為它的定義域為_.xy5 . 0log2 2aa3.f x2 logx-log x+1 例例求求 （ ）的的值值域域 與對數(shù)有關的二次函數(shù)與對數(shù)有關的二次函數(shù)3.二次函數(shù)法二次函數(shù)法(配方配方,畫圖畫圖,求值求值）2.換元法換元法(注明新元取值注明新元取值)1.單調性法單調性法（端點代入端點代入）21124( )(log)log524f xxxx 變式求函數(shù)在范訓練圍內的取值。求函數(shù)值域求函數(shù)值域 作業(yè)作業(yè)212(3)log (23)yxx3(2)1 log(9)yx x 3(1)

16、1 logyx 22(4)log (22)yxx21(5)log1xyx奇偶性奇偶性例例4 4：判斷下列函數(shù)的奇偶性：( ) ( )logf xx142111解：解：回憶：回憶：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 先求先求 f(x)定義域，看是否關于原點對稱；定義域，看是否關于原點對稱；判斷判斷 f(-x)= - f(x) 或或 f(-x)= f(x)是否恒成立，得出結論是否恒成立，得出結論. .先變形為先變形為( )logxf xx1411定義域為定義域為(,)1 1()logxfxx1411奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)解：解： 變形為變形為( )logxf xx1411定

17、義域為定義域為(,)1 1log Mlog Nlog MNaaa如果如果a0,a1,M0,N0,那么那么()( )fxf xlogxxxx141111log1410()( )()( )fxf xfxf x00或判斷對數(shù)函數(shù)奇偶性判斷對數(shù)函數(shù)奇偶性: :所以所以, ,函數(shù)函數(shù) y = f(x)是定義在是定義在 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù). .(,)1 1loglog11441111xxxx( ) ( )lgg xxx 221定義域為定義域為 R R解：解：lg()lg2211xxxx lgxxxx 2211lg10所以所以, ,函數(shù)函數(shù) y = g(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù). .()( )gxg x(1)

18、已知函數(shù)已知函數(shù) , 判斷它的奇偶性判斷它的奇偶性;(2)已知函數(shù)已知函數(shù) , 判斷它的奇偶性判斷它的奇偶性)1, 0)(1(log)1(log aaxxyaa2lg( 1)yxx判斷函數(shù)的奇偶性與單調性判斷函數(shù)的奇偶性與單調性 作業(yè)作業(yè)圖圖象象性 質 (1)定義域：(1)定義域：(2)值域：(2)值域：(3)過定點(3)過定點(4)單調性(4)單調性(5)奇偶性：(5)奇偶性：對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logy=log a a x (a0, a1)x (a0, a1)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (a0,a1) (a0,a1) a1 a1時時, , 在在R R上是上是增增函數(shù)；函數(shù)； 0a1

19、0a1 a1時時, ,在在(0,+)(0,+)是是增增函數(shù)函數(shù)； 0a10a1) (a1) y=ay=ax x (0a1)(0a1)(a1)y=logy=loga ax x (0a1)(0a1)y=logax(a1)y=ax 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象由于對數(shù)函數(shù)由于對數(shù)函數(shù) xyalog與指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù) xay 互為反函數(shù)，互為反函數(shù)， 所以所以 xyalog的圖象與的圖象與 xay 的圖象關于直線的圖象關于直線 xy 對稱。對稱。 54321-1-2-4-2246(a1)y=ax4321-1-2-4-2246y=ax0a14321-1-2-4-2246y=loga

20、xy=ax0a10a1探討探討1: 所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？為什么？所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？為什么？探討探討2: 互為反函數(shù)定義域、值域的關系互為反函數(shù)定義域、值域的關系 是什么是什么? 函數(shù)函數(shù)yf(x) 反函數(shù)反函數(shù)yf1(x)定義域定義域AC值值 域域CA互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于y=xy=x對稱對稱. .（2 2）反函數(shù)的性質：）反函數(shù)的性質：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調性互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調性. .若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)上有一點（上有一點（a,b),a,b),則（則（b,ab,a）必在其反函數(shù)的圖象上必在其反函數(shù)的圖象上. .反之若（反之若（b,ab,a）在）在反函數(shù)的圖象