第三章導(dǎo)數(shù)和微分ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念第四章第四章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)xxfxxfxyxx )()(limlim00001導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的定義處可導(dǎo)的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x點(diǎn)點(diǎn)x0處取得改處取得改變量變量x(0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y取得相應(yīng)的改變量取得相應(yīng)的改變量)()(00 xfxxfy 若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)改變量之比時(shí)，兩個(gè)改變量之比 的極限的極限0 x xy 存在，則稱(chēng)函數(shù)存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)

2、x0處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。 。，或記為：000,)0(xxxxxxdxdydxdfyxf即即xxfxxfxfx)()(lim)(0000若上式中極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)若上式中極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的其它形式導(dǎo)數(shù)的其它形式在在式中，如果把式中，如果把x換成換成x(或或h)，則導(dǎo)數(shù)定義式可寫(xiě)為，則導(dǎo)數(shù)定義式可寫(xiě)為xxfxxfxfx)()(lim)(0000在在式中，如果令式中，如果令x=x-x0，則，則x=x+x0，且，且xx0時(shí)時(shí) x0，于是有于是有 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx.)()(lim)(hxfhxfxfh0000或或練習(xí)：

3、練習(xí)：P127題題21）例例2 2( )yf x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x0001lim(2 )()4hhf xhf x 0()fx 求求 .（此例為（此例為P97例例4.7）( )yf x 例例1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 處導(dǎo)數(shù)處導(dǎo)數(shù)存在且存在且 0 x (0)1f 求求0(3 )(0)limhfxfx （此例為（此例為P97例例4.6）2 求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例.)()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)CCxf 例例1 1);()(xfxxfy 步驟步驟: : (1)(1)求增量求增量;)()(xxfxxfxy (2)(2)算比值算比值.lim0 xyyx (3)(3

4、)求極限求極限練習(xí)：練習(xí)：P127題題11題題22）2( )f xx 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . （此例為（此例為P95P95例例4.44.4）03x ( )f xx 例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . （此例為（此例為P96P96例例4.54.5）（此例為（此例為P95例例4.3）(2) 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義)()()(limlim)()()(limlim0000000000 xfxxfxxfxyxfxxfxxfxyxxxx分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)。（3函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可

5、導(dǎo)的充分必要條件處可導(dǎo)的充分必要條件AxfAxfAxfxxxf)()()()(00000且相等，即左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在處是在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件在顯然，函數(shù)練習(xí)：練習(xí)：P128題題25） 2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系向不一定成立）有極限（箭頭反連續(xù)可導(dǎo)為：三者之間的關(guān)系可表示處可導(dǎo)、連續(xù)、有極限在成立。于是處必連續(xù)，反之不一定處可導(dǎo)，則它在在點(diǎn)若函數(shù)xxfxxxf)()(xy xyo解解,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 1lim)0()0(lim00 hhhfhfhh.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy),0()0( ff即即處

6、的可導(dǎo)性.處的可導(dǎo)性.在在討論函數(shù)討論函數(shù)0)( xxxf課本例課本例4.84.8 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直直線線MT就稱(chēng)為曲線就稱(chēng)為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處處的切線的切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN,0 xxMNC沿沿曲曲線線).,(),(00yxNyxM00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf 設(shè)設(shè)割線割線MNMN的斜率為的斜率為.)()(limtan000 xxxfxfkxx 切線切線MTMT的斜率為的斜率為3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy T0 xM)( 為為

7、傾傾角角即即切切線線的的斜斜率率, ,處處的的在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示曲曲線線tanxfxfxf(x)y)(xf00)()(,M(00切線方程為切線方程為).)(000 xxxfyy 法線方程為法線方程為).()(1000 xxxfyy ，則切線方程為如果)(0 xf x = x0 (即切線垂直于即切線垂直于ox軸軸)注：法線為過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線注：法線為過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線例例1 1 求曲線求曲線 在在x x9 9處的切線方程處的切線方程xy 故曲線過(guò)故曲線過(guò)9，3點(diǎn)的切線方程為點(diǎn)的切線方程為096)9(613xyxy即解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閤y21又當(dāng)又當(dāng)x=9時(shí)，時(shí)，39 y所以切線的斜率所

8、以切線的斜率61k例例2 在曲線在曲線y=x2上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M(x0，y0),使該點(diǎn)處的切線平行于直使該點(diǎn)處的切線平行于直線線y=4x-5已知直線的斜率為已知直線的斜率為k2=4，故應(yīng)有，故應(yīng)有 420 x20 x于是所求的點(diǎn)為于是所求的點(diǎn)為M(2,4)那么那么練習(xí)：練習(xí)：P127題題13）00210()2xxxxkyxx 解：因兩直線平行的條件是解：因兩直線平行的條件是“斜率相等而過(guò)斜率相等而過(guò)M點(diǎn)的切線斜率點(diǎn)的切線斜率為為注：兩直線平行表示兩直線的斜率相等，但又不重合注：兩直線平行表示兩直線的斜率相等，但又不重合61991lim)99(99lim99lim)9()9(lim)9()9(,

9、)(100001xxxxxxxfxfffxxfxxxx。求設(shè)函數(shù)例），有解：由導(dǎo)數(shù)的定義式（31)()()(3)()(1lim)()(lim)(3)()(lim 2000000 x000 x0000 xxxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxxfx解：因。求設(shè)例定義式，有由商的極限法則和導(dǎo)數(shù)以下課件為補(bǔ)充練習(xí)，作為課后練習(xí)用以下課件為補(bǔ)充練習(xí)，作為課后練習(xí)用xxfxxfxxfxfxffffxxfxxxx)(lim)(lim0)(lim0)0()(lim)0(3_)0(, 0)0(0)(30000故應(yīng)填），有解：由導(dǎo)數(shù)定義式（。則處可導(dǎo)，且在設(shè)函數(shù)例。故應(yīng)選，有解：由導(dǎo)數(shù)定義式、?？蓪?dǎo)

10、，則設(shè)函數(shù)例BxfxxfxxfxxfxxfxfDxfCxfBxfAxxfxxfxfxxx)(22)()2(lim2)()2(lim)4()(21)(3)(2)()()()2(lim)(4000處是否可導(dǎo)。判別下列函數(shù)在例002)()2(00cos)() 1 (0 x52xxxxxfxxxxxf分析：這是兩個(gè)分段函數(shù)，它們?cè)诜侄吸c(diǎn)x=0處是否可導(dǎo)，首先，要根據(jù)函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)、連續(xù)、有極限之間的關(guān)系進(jìn)行判定。若函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)極限或不連續(xù)，顯然不可導(dǎo)。若連續(xù)，則需要用可導(dǎo)的充分必要條件，即 “在該點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在并且相等來(lái)判定。處不可導(dǎo)。在點(diǎn)故因是否可導(dǎo)處連續(xù)（在顯然，（導(dǎo)數(shù)定義，有還需做進(jìn)一步

11、判定。由故不可導(dǎo)。處無(wú)極限在點(diǎn)因解：0 x)()0()0(00)(lim)0()0(lim)0(202lim)0()0(lim)0(),0)0(lim2lim0)(f)2(),0lim1coslim20000200000 xf(x) 1 (xfffxxxfxffxxxfxfffxxxxxxxxxxxxxx解解, ,是有界函數(shù)是有界函數(shù)x1sin01sinlim0 xxx處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin. .不不存存在在1 1和和1 1之之間間振振蕩蕩而而極極限限在在時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng) xyx0.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx.0,0,

12、00,1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf例例)(xf在在x=0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)例例解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, , 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為),21(42 xy. 044 yx即即法線方程為法線方程為),21(412 xy. 01582 yx即即方程和法線方程方程和法線方程. .并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率, ,處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線)2 ,21(1xy 例例 求曲線求曲線 的通過(guò)點(diǎn)的通過(guò)點(diǎn)0 0，4 4的切

13、線方程的切線方程23xy 解解 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線的斜率為，則切線的斜率為 002323)(0 xxxfxx ),(00yx于是所求切線方程可設(shè)為可導(dǎo)于是所求切線方程可設(shè)為可導(dǎo))(23000 xxxyy ),(00yx切點(diǎn)切點(diǎn) 在曲線在曲線 上，故有上，故有23xy 2300 xy （8 8）切線切線7 7通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)0 0，4 4），故有），故有)0(234000 xxy （9 9）求得方程求得方程8 8和和9 9組成的方程組的解為組成的方程組的解為8, 400 yx即得所求切線方程為即得所求切線方程為3x-y-4=0回憶：求導(dǎo)數(shù)回憶：求導(dǎo)數(shù));()(xfxxfy 步驟步驟: : (

14、1)(1)求增量求增量;)()(xxfxxfxy (2)(2)算比值算比值.lim0 xyyx (3)(3)求極限求極限第二節(jié)第二節(jié) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與運(yùn)算法則解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 .)()(常數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)CCxf1. 0)( C即即一一 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)基本初等函數(shù)的求導(dǎo).)(冪的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)nxyn解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如, ,12121 x

15、.21x )(1 x11)1( x.12x .)(1 nnnxx即即2解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax )1, 0()( aaaxfx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .ln)(aaaxx .)(xxee 即即3對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) )1, 0(log)( aaxxfa解解xhxhxxhxhhxhxhxfhxfxfahahaahh)1(loglim1log1lim)(log)(loglim)()(lim)(0000 作代換作代換 可得可得 xhu 11( )(log)lnlnafxxxaxa 4解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0

16、22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44 xxxxcos)(sin.22 xxcos)(sin即即5 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxfsin)(xxsin)(cos同理同理例例定理定理2并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的和在點(diǎn)們的和在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的差在點(diǎn)們的差在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 定理定理1二二 和、差、積、商的求導(dǎo)法則和、差、積、商的求導(dǎo)法則推論推論)()()( )(

17、)()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxxy 解解xxxy1232定理定理3并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)們的積在點(diǎn)們的積在點(diǎn)則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(),(xxxvxu);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 推論推論);( )()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意:);()( )()(xvxuxvxu 例例2 2.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos

18、2xxxx 并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)分分母母不不為為零零們們的的商商則則它它處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理4證證),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxv

19、hxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在xxf注意注意:.)()()()(xvxuxvxu 例例3 3.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 例例4 4.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求

20、求設(shè)設(shè)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí), 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.xxxycotcsc)(csc 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxfcos)( ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( fcos ,0( ).1,0 xxfxx P112P112例例4.204.20, 1)( xf.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)證證,xIx 任取任取xx 以增量以增量給給的單

21、調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y), 0(xIxxx 法則法則三三 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不作要求）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不作要求）于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)因因?yàn)闉閤f0,0yx必必有有時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng))0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例1, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)內(nèi)有有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx .的導(dǎo)xlogy

22、為直接函數(shù)，求a設(shè)函數(shù)xay數(shù)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌tChain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)而而可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)證明證明,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則四四 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則xyx0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，

23、即因變量對(duì)自變量求導(dǎo)：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)變量求導(dǎo).注注2 ),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 例例4 4.tanln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 例例5 5.)cos(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：

24、熟練以后，可以不寫(xiě)出中間變量，此例可以注：熟練以后，可以不寫(xiě)出中間變量，此例可以這樣寫(xiě)：這樣寫(xiě)： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee 例例6 6.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy練習(xí)：練習(xí)：.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 2()0(sin)cos(tan)secCxxxx 1 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式12()(cos )sin(cot)cscxxxxxx a

25、xxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 五五 小結(jié)小結(jié)2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，那么可導(dǎo)，那么（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 解：解：。不能誤認(rèn)為是：是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零，量，如本題中同時(shí)也要分清常量與變求導(dǎo)公式的區(qū)別，與指數(shù)函數(shù)計(jì)算中，要注意冪函數(shù)小結(jié)：在導(dǎo)數(shù)的eeexax2)(22。，求設(shè)例yexxxxyx2221ln122222222( ln )()(2 )()1() (1)(1)

26、( ) ln(ln )2 ln2 0(1)2(1)ln12 ln2(1)(2)ln12 ln2(1)xxxxxyxxexxxxxxxxxxxxxxxx xxx 。、及求設(shè)例，)1 (2)11)(1(yyxxy分析：這是兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)問(wèn)題，可直接利用乘積的求導(dǎo)法則計(jì)算，但考慮到函數(shù)的特點(diǎn)，若先把函數(shù)化簡(jiǎn)變形為代數(shù)和的形式再求導(dǎo)，將更為簡(jiǎn)便。1)2121() 1 ( 21212121111) 11)(1(1212321231211212121xxxyxxxxyxxxxxxy所以解：因3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxu

27、ufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可完全解決決.復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算應(yīng)遵循以下法則：處可導(dǎo)，且在函數(shù)處可導(dǎo)，則復(fù)合在處可導(dǎo)，在點(diǎn)，且，設(shè)xxfyuufyxxuxuufy)()()()()()()(xuxxuxuyyxufy或)(yxxy而記為有時(shí)也略去注意：對(duì)處可導(dǎo)，且在處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，在且，復(fù)合的情形。如設(shè)此法則可推廣到有限次xuufyvvuxxgvxgvvuufyxgfy)()()()()()()()()()(xvuxxvuxvuyyxgvufy或運(yùn)用以上復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求

28、導(dǎo)時(shí)，首先要搞清函數(shù)的復(fù)合過(guò)運(yùn)用以上復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)時(shí)，首先要搞清函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，即它是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，找出所有中間變量。程，即它是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，找出所有中間變量。在求導(dǎo)過(guò)程中，依照法則依次對(duì)中間變量直至對(duì)自變量求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中，依照法則依次對(duì)中間變量直至對(duì)自變量求導(dǎo)，最后把求導(dǎo)結(jié)果相乘并加以整理即得所求結(jié)果。最后把求導(dǎo)結(jié)果相乘并加以整理即得所求結(jié)果。及，求設(shè)例) 1 (3232yyxyxuuyxuuyxu621232，則，解：令由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有3233) 1 ( 233621122xxuxxyxxxuuyy。，求設(shè)例dxdyeyx3co

29、s4解：這是一個(gè)經(jīng)過(guò)三次復(fù)合的復(fù)合函數(shù)，其復(fù)合過(guò)程為解：這是一個(gè)經(jīng)過(guò)三次復(fù)合的復(fù)合函數(shù)，其復(fù)合過(guò)程為3sin3cosxvuuuvvueyxvvuey，并且，于是有于是有xevevuydxdyxuxvu3sin33)sin(3cos由以上例子可以看出，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中，如果每次都把中間變量依次列出比較麻煩，當(dāng)運(yùn)算較熟練時(shí)，只需把哪些是“中間變量默記在心里，然后按照復(fù)合層次，由外向里逐層對(duì)“中間變量求導(dǎo)數(shù)，直至對(duì)自變量求導(dǎo)為止，并隨時(shí)把求導(dǎo)結(jié)果相乘。 如例4，不寫(xiě)中間變量，直接按復(fù)合層次求導(dǎo)，有xexxexeedxdyxxxx3sin3)3()3sin()3(cos)(3cos3cos3cos

30、3cos)(5sin1sin1ln)(xfxxxf求設(shè)例，分析：這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，但若直接利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則比較麻煩，可先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)把f(x)化簡(jiǎn)后再求導(dǎo)。)sin1ln()sin1ln(21sin1sin1ln)(xxxxxf解：因所以xxxxxxxxxxxycos1sin122cossin1cossin1cos21sin1)sin1 (sin1)sin1 (212 )()2()() 1 (62)(xefxefxxf；求：設(shè)例，故有，處的函數(shù)值。因在此題是求導(dǎo)函數(shù)解：xxxfxeuuf2)()(2)() 1 (xxeef2)( 此題是求一個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解法1：xxx

31、xxxeefeeefef22)()()()(xxxeeef22)()(2：因解法xxxeeef222)()(故有的不同之處。和，要正確區(qū)分注意：在導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中)()(xfxf4 4隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量y y與與x x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系y=y(x)y=y(x)隱藏在方程隱藏在方程F(xF(x，y)=0y)=0中，其求導(dǎo)的方法步驟為：中，其求導(dǎo)的方法步驟為：yyyyyyyeyeyyyyyyyxyxyxF解方程即可求得的方程；，得到一個(gè)關(guān)于等，如：函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，視為中間變量，按復(fù)合把的函數(shù)這一事實(shí)，即是注意求導(dǎo)兩端同時(shí)對(duì)自變量，把方程)1)(l

32、n)(cos)(sin23)3(0)(的導(dǎo)數(shù)。對(duì)所確定的隱函數(shù)求由方程例xxyyyyxexy)(722)sin(解：方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有222)()cos()(yyyxyxxyexyyyyxyxxyyxyexy2)cos()2()(22即解上方程，得yyxxxeyxxyyeyxyxy2)cos()cos(2222。由方程所確定，試求設(shè)函數(shù)例121ln)(8xyyxxyy解：方程兩邊同時(shí)對(duì)解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得xyyyyx2012即把把x=1代入原方程，得代入原方程，得lny=0，即，即y=1，于是有，于是有2)2(111yxxxyy。，求得給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值值，再一并代入導(dǎo)函數(shù)的

33、代入原方程，求出對(duì)應(yīng)，此時(shí)應(yīng)將含有時(shí)，因求導(dǎo)結(jié)果中往往數(shù)的導(dǎo)數(shù)值注意：在求隱函yxyxyxx00P110例例4.17練習(xí)練習(xí)P132題題61）第三節(jié)第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、邊際的概念一、邊際的概念商家為了判斷增減產(chǎn)量在經(jīng)濟(jì)上是否合算，就需知道增加商家為了判斷增減產(chǎn)量在經(jīng)濟(jì)上是否合算，就需知道增加產(chǎn)量時(shí)增加的成本。產(chǎn)量時(shí)增加的成本。于是，引入：于是，引入：邊際成本：在一定產(chǎn)量水平下，每增加一單位產(chǎn)品所需增邊際成本：在一定產(chǎn)量水平下，每增加一單位產(chǎn)品所需增加的成本加的成本首先以邊際成本為例來(lái)說(shuō)明首先以邊際成本為例來(lái)說(shuō)明產(chǎn)量產(chǎn)量x成本成本y平均成本平均成本xy邊際成本邊際

34、成本00000019216319.5420522.5630742表表1、本錢(qián)、平均成本和邊際成本的關(guān)系見(jiàn)課本、本錢(qián)、平均成本和邊際成本的關(guān)系見(jiàn)課本P93）例 填入下表中的空格數(shù)字邊際的概念：邊際的概念：一般地，我們稱(chēng)經(jīng)濟(jì)中的某個(gè)函數(shù)一般地，我們稱(chēng)經(jīng)濟(jì)中的某個(gè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為該函數(shù)在為該函數(shù)在x處的邊際處的邊際 )(xfy )(xfy意義意義它反應(yīng)經(jīng)濟(jì)變量它反應(yīng)經(jīng)濟(jì)變量y相對(duì)于另一種經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一種經(jīng)濟(jì)變量x的變化率的變化率（其他經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際表達(dá)式見(jiàn)（其他經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際表達(dá)式見(jiàn)P115表表42）例題：例題：P115例例4.21例例4.22二、彈性的概念二、彈性的概念（1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)

35、在點(diǎn) 處可導(dǎo)，函數(shù)處可導(dǎo)，函數(shù) 應(yīng)變量應(yīng)變量的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量 與自變量的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量 之比的極限之比的極限)(xfy 0yy 0 xx 000 xxyyx/lim 0 x稱(chēng)為函數(shù)在稱(chēng)為函數(shù)在xx0處的彈性，記做處的彈性，記做 或或0 xxExEy)(0 xfExEy（2對(duì)于一般的對(duì)于一般的x，若函數(shù)可導(dǎo)，那么，若函數(shù)可導(dǎo)，那么yxyxfxxfyxxyxxyyExEyxx)()(lim/lim 00經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義當(dāng)當(dāng)x改變改變1時(shí)，時(shí)，f(x)改變改變)%(xfExE其值為正時(shí)表示增加，為負(fù)時(shí)，表示減少其值為正時(shí)表示增加，為負(fù)時(shí)，表示減少課本例題：課本例題：P117例

36、例4.23 例例4.24例例1 若某種商品的需求函數(shù)為若某種商品的需求函數(shù)為peq23試求該商品的需求彈性試求該商品的需求彈性 peq26peepqqpppp2)6(3E22解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)樗孕枨髲椥詾椋核孕枨髲椥詾椋豪? 2 某種產(chǎn)品的收入某種產(chǎn)品的收入R R元是產(chǎn)量元是產(chǎn)量q q噸的函數(shù)噸的函數(shù))0(4800)(2qqqqR求求: : （1 1生產(chǎn)生產(chǎn)200200噸該產(chǎn)品時(shí)的收入；噸該產(chǎn)品時(shí)的收入； （2 2生產(chǎn)生產(chǎn)200200噸到噸到300300噸時(shí)收入的平均變化率；噸時(shí)收入的平均變化率； （3 3生產(chǎn)生產(chǎn)200200噸時(shí)的邊際收入噸時(shí)的邊際收入)(qR48002qq q 200R

37、 q( )R q( )（2)2)求產(chǎn)量從求產(chǎn)量從200200噸到噸到300300噸時(shí)的收入的平均變化率，只噸時(shí)的收入的平均變化率，只需先分別求出產(chǎn)量為需先分別求出產(chǎn)量為200200噸時(shí)的收入，產(chǎn)量為噸時(shí)的收入，產(chǎn)量為300300噸時(shí)的收噸時(shí)的收入，然后利用平均變化率公式入，然后利用平均變化率公式qqR)(200300)200()300( RR = =求之求之（3求產(chǎn)量為求產(chǎn)量為 噸時(shí)的邊際收入，只需先求出邊噸時(shí)的邊際收入，只需先求出邊際收入函數(shù)際收入函數(shù)q200，然后將，然后將代入邊際收入函數(shù)代入邊際收入函數(shù)R ()200求出求出分析：（分析：（1要求收入只需把要求收入只需把q200代入代入q

38、pp1例例3 3 某種產(chǎn)品的銷(xiāo)售量某種產(chǎn)品的銷(xiāo)售量q q與價(jià)格與價(jià)格p p之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為p012求需求彈性求需求彈性EpEp如果銷(xiāo)售價(jià)格如果銷(xiāo)售價(jià)格，試確定，試確定EpEp的值的值可知，求一種商品需求彈性時(shí)，首先求出它的邊際需求可知，求一種商品需求彈性時(shí)，首先求出它的邊際需求分析：分析： 由需求彈性公式由需求彈性公式)(pqqpEp然后代入需求彈性公式，就可得到這種商品的需求彈性然后代入需求彈性公式，就可得到這種商品的需求彈性 qpp()1ppp()12= =12p= =qpp1EpEp1 1 某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量q q與價(jià)格與價(jià)格p p間的關(guān)系式為間的關(guān)系式為求需求彈性求需

39、求彈性如果銷(xiāo)售價(jià)格為如果銷(xiāo)售價(jià)格為0.50.5，試確定，試確定的值的值2 2設(shè)某商品需求量設(shè)某商品需求量q q對(duì)價(jià)格對(duì)價(jià)格p p的彈性為的彈性為Ep= -2pln2Ep= -2pln2，求銷(xiāo)，求銷(xiāo)售收入售收入R = pqR = pq對(duì)價(jià)格對(duì)價(jià)格p p的彈性的彈性答案答案練習(xí)練習(xí)22122111ln.;,.pp題題2思路：根據(jù)思路：根據(jù)q對(duì)對(duì)p的彈性，可得的彈性，可得q對(duì)對(duì)p的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)22 lnqqqqpqpqppqRpREpER1)()(再由再由 可得可得第四節(jié)第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)1.1.假如假如 的導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)為的導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)為 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 記作：記作： ， 或或 )(xfy

40、 )(xfy 22dxyd)(dxdydxdy y 2. 2. 仍是仍是x x的函數(shù)，還可以進(jìn)一步考慮的函數(shù)，還可以進(jìn)一步考慮( (三階以上不作要求）三階以上不作要求） 有三階導(dǎo)數(shù)有三階導(dǎo)數(shù) 或或 ， 四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù) 或或 ， n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 或或 . .y 33dxyd)4(y44dxyd)(nynndxyd3.f(x)3.f(x)在在x x處有處有n n階導(dǎo)數(shù)，那么階導(dǎo)數(shù)，那么 在在x x的某一鄰域內(nèi)必的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于定具有一切低于n n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))()1(xfn 4.4.問(wèn)題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

41、？問(wèn)題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？一步一步來(lái)，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則一步一步來(lái)，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例0, yay解解 例例1 y=ax+b, 1 y=ax+b, 求求y 例例2 2 求求,sintss 解 tstssin,cos 練習(xí)練習(xí) P133題題71）（）（2）下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)例例3 3 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的的n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)xey 解解xxxxeyeyeyey )4(,一般地一般地, ,可得可得,)(xney 即即xnxee )()(例例4 4 求正弦與余弦函數(shù)的求正弦與余弦函

42、數(shù)的n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)解解,sin xy ),2sin(cos xxy)22sin()2cos( xxy),22sin( x),23sin()22cos( xxy),24sin()23cos()4( xxy一般地一般地, ,可得可得),2sin()( nxyn即即).2cos()(sin)( nxxn用類(lèi)似方法用類(lèi)似方法, ,可得可得).2cos()(cos)( nxxn例例5 5 求冪級(jí)數(shù)的求冪級(jí)數(shù)的n n階導(dǎo)數(shù)公式階導(dǎo)數(shù)公式解解),(Rxy 設(shè)設(shè)那么那么1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( xnnxny ) 1() 2)(1()(一般地一般地, ,可得可得即即nnx

43、nx )1()2)(1()()(則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n )!()1( nyn. 0 高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則)()()()2(nnCuCu 則則階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù),具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)nvu)()()()()1(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu (3)(3)稱(chēng)為萊布尼茲公式稱(chēng)為萊布尼茲公式例例6 6 .,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 則則設(shè)設(shè),22xveux 解解),20, 4 , 3(0, 2,22)(2)

44、( kvvxveukxkk)20, 2 , 1( k代入萊布尼茨公式代入萊布尼茨公式, ,得得0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex (1) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的微分處的微分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 是自變量是自變量x的改變量，稱(chēng)的改變量，稱(chēng)為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的微分，記作處的微分，記作xxf)( 0 xxfdyxx)( 00并稱(chēng)在點(diǎn)處可微。并稱(chēng)在點(diǎn)處可微。 當(dāng)

45、當(dāng)y=f(x)時(shí)，由上定義可得，于是時(shí)，由上定義可得，于是y=f(x)在在x0處的微分可改寫(xiě)為處的微分可改寫(xiě)為 dxxfdyxx)( 00(2) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在任一可導(dǎo)點(diǎn)在任一可導(dǎo)點(diǎn)x處的微分處的微分 設(shè)設(shè)y=f(x)在任一點(diǎn)在任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么它在處可導(dǎo)，那么它在x處的微分為：處的微分為：(3) 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系由微分的定義可知，由微分的定義可知，y=f(x)在在x處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，即若處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，即若函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x可導(dǎo)，則一定可微；反之亦然。可導(dǎo)，則一定可微；反之亦然。dxxfdy)( x第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分一、微分的概念一、微分的概念)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x .,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的增增量量就就是是切切線線縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量時(shí)時(shí)是是曲曲線線的的縱縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代