人教版數(shù)學(xué)必修二線面角與線線角

1、線面角與線線角【知識網(wǎng)絡(luò)】1、異面直線所成的角：（1）范圍：；（2）求法；2、直線和平面所成的角：（1）定義：（2）范圍：；（3）求法；3、一些常見模型中的角之間的關(guān)系?！镜湫屠}】例1：（1）在正方體中，下列幾種說法正確的是 （ ）A、 B、 C、與成角 D、與成角答案：D。解析：A1C1與AD成45，D1C1與AB平行，AC1與DC所成角的正切為。（2）在正方體AC1中，過它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個數(shù)為 （ ）A、2個 B、4個 C、6個 D、8個答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。（3）正六棱柱ABCD

2、EFA1B1C1D1E1F1底面邊長是1，側(cè)棱長是，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是 （ ）A90 B60 C45 D30答案：B。解析將BC1平移到E1F即可。 （4）在空間四邊形ABCD中，ABCD，BCDA，那么對角線AC與BD的位置關(guān)系是 。 答案：ACBD。解析：過A作AH平面BCD，垂足為H，因?yàn)镃DAB，BCAD，所以CDBH，BCDH，故H為BCD的垂心，從而BDCH，可得BDAC。（5）點(diǎn)AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成的角，則AB的長等于_ _.答案：16或64。解析：分A、B在平面的同側(cè)和異側(cè)進(jìn)行討論。例2：如圖：已知直三棱柱ABCA1B1

3、C1，ABAC，F(xiàn)為棱BB1上一點(diǎn)，BFFB121，BFBC2a。（I）若D為BC的中點(diǎn)，E為AD上不同于A、D的任意一點(diǎn)，證明EFFC1； （II）試問：若AB2a，在線段AD上的E點(diǎn)能否使EF與平面BB1C1C成60角，為什么？證明你的結(jié)論。答案：（I）連結(jié)DF，DC 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，平面BB1C1C平面ABCABAC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，AD平面BB1C1C DF為EF在平面BB1C1C上的射影，在DFC1中，DF2BF2BD25a2，DC210a2，B1F25a2，DF2，DFFC1 FC1EF （II）AD平面BB1C1C，DFE是EF與平

4、面BB1C1C所成的角 在EDF中，若EFD60，則EDDFtg60，ABCDP，E在DA的延長線上，而不在線段AD上 故線段AD上的E點(diǎn)不能使EF與平面BB1C1C成60角。 例3： 如圖, 四棱錐P-ABCD的底面是AB=2, BC=的矩形, 側(cè)面PAB是等邊三角形, 且側(cè)面PAB底面ABCD.()證明:BC側(cè)面PAB;()證明: 側(cè)面PAD側(cè)面PAB;()求側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的大小;答案： ()證: 側(cè)面PAB底面ABCD, 且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB, 在矩形ABCD中, BCAB，.BC側(cè)面PAB. ()證: 在矩形ABCD中, ADBC, BC側(cè)面PAB, A

5、D側(cè)面PAB. 又AD平面PAD, 側(cè)面PAD側(cè)面PAB.()解: 在側(cè)面PAB內(nèi), 過點(diǎn)P做PEAB, 垂足為E, 連結(jié)EC, 側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB, PEAB, PE底面ABCD. 于是EC為PC在底面ABCD內(nèi)的射影. PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角. 在PAB和BEC中, 易求得PE=, EC=.在RtPEC中, PCE=45. 例4：設(shè)ABC內(nèi)接于O，其中AB為O的直徑，PA平面ABC。如圖求直線PB和平面PAC所成角的大小.答案：【課內(nèi)練習(xí)】1若平面外的直線與平面所成的角為，則的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C） （D）答案：D。解析：a和平行，a和斜

6、交。2在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM ( )A 是AC和MN的公垂線 B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN，但不垂直于AC D 與AC、MN都不垂直答案：A 。解析：易證OMAC，OMMN。3設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是（ ）A30B45C60D90答案：C 。解析：連AC、BD交于O，連OE，則OE/SC.4異面直線a , b所成的角為，過空間一定點(diǎn)P，作直線L，使L與a ,b 所成的角均為，這樣的直線L有 條。 答案：三條。解析：如換成50，70呢。5已知三棱

7、錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且DPA=450，DPB=600，則DPC=_。答案：600 。解析：以PD為對角線構(gòu)造長方體6正方體AC1中，過點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等，試寫出滿足條件的一個截面_答案：面AD1C。解析：可得12條棱分成三類：平行、相交、異面，考慮正三棱錐D-AD1C，7如圖，四面體ABCS中，SA，SB，SC兩兩垂直，SBA=45，SBC=60，M為AB的中點(diǎn)，求：（1）BC與平面SAB所成的角；（2）SC與平面ABC所成角的正弦值。解析：（1）SCSB，SCSA，SC平面SAB。于是SB就是直線BC與

8、平面SAB所成的角，為60。（2）聯(lián)結(jié)SM，CM，在RtSAB中，SBA=45，SMAB，AB平面SCM。作SHCM于H，則ABSH，故SH平面ABC，所以SCH為SC與平面ABC所成的角。設(shè)SA=a，則SB=a，SC=，SM=。在RtCSM中，。即SC與平面ABC所成角的正弦值為。8如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長AB2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F，求證：A1C平面BDE；求A1B與平面BDE所成角的正弦值。答案：由三垂線定理可得，A1CBD，A1CBEA1C平面BDE以DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立坐標(biāo)系，則

9、，設(shè)A1C平面BDEK，由可知，A1BK為A1B與平面BDE所成角，9A是BCD所在平面外的點(diǎn)，BAC=CAD=DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （）求證：ABCD； （）求AB與平面BCD所成角的余弦值.答案：（）BAC=CAD=DAB=60， AC=AD=2，AB=3， ABCABD，BC=BD.取CD的中點(diǎn)M，連AM、BM，則CDAM，CDBM. CD平面ABM，于是ABBD. （）由CD平面ABM，則平面ABM平面BCD，這樣ABM是AB與平面BCD所成的角.在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，. 在ACD中，AC=AD=2，CAD=60，ACD是正三角形，AM=.

10、在RtBCM中，BC=，CM=1，.10已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一點(diǎn)P到三角形三頂點(diǎn)的距離都等于4，求直線PC與平面ABC所成的角。答案：設(shè)點(diǎn)P在底面上的射影為O，連OB、OC，則OC是PC在平面ABC內(nèi)的射影，PCO是PC與面ABC所成的角。 PA = PB = PC，點(diǎn)P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC為鈍角三角形，點(diǎn)O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，DOBC為等邊三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。【作業(yè)本】A組1

11、垂直于同一條直線的兩條直線一定 （ ）A、平行 B、相交 C、異面 D、以上都有可能答案：D。解析：注意空間和平面中的位置關(guān)系的不同。2是平面的斜線，與成角，與在內(nèi)的射影成角，則與所成角的大小為 。答案：。解析：，即=。3是兩兩成角的三條射線,則與平面所成角的余弦值是（ ）A B C D答案：C。解析：可放入正四面中考慮。4直線與平面成角為300，則m與所成角的取值范圍是 。答案： 300 , 900。解析：斜線與平面內(nèi)所有直線的所成角中，線面角最小角。5邊長為2的正方形ABCD在平面內(nèi)的射影是EFCD，如果AB與平面的距離為，則AC與平面所成角的大小是 。答案：。解析：。6如圖，在長方體AB

12、CD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M為B1C1上一點(diǎn)，且B1M=2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1DAN，求：(1) ；(2) 直線AD與平面ANM所成的角的正切；(3) 平面ANM與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值.解析：(1) 以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線 為x軸，y軸，z軸.則D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，平面AMN，垂足為N.因此AD與平面ANM所成的角即是(3) 平面ABCD，A1N平面AMN，分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角（銳角）

13、為，則PBCA7已知ACB=900，且在平面內(nèi)，PC與CA、CB所成角PCA=PCB=600,求PC與平面所成角。PBCAEDH答案：解：如圖過點(diǎn)P作PH平面ABC于H，過點(diǎn)H作HDAC于D，作HEBC于E，連PD、PE，PDAC，PEBC，PCA=PCB=600，PCDPCE，CD=CE，HCDHCE，HD=HE，CH平分ACB，設(shè)PC=aPCH=450，即PC與平面所成角為450。8. 如圖，正方形ACC1A1與等腰直角ACB互相垂直，ACB=90，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)， G是AA1上的點(diǎn).（1）若，試確定點(diǎn)G的位置；（2）在滿足條件（1）的情況下，試求cos，的值.解析：（1）以

14、C為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，為 z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。令，則，設(shè)，則，由得，G為AA1的中點(diǎn)。（2），。B組1一條直線與一個平面所成的角等于，另一直線與這個平面所成的角是. 則這兩條直線的位置關(guān)系（ ）A必定相交 B平行 C必定異面 D不可能平行ABCDP答案：D。解析：若平行則直線與平面的所成角必相等。2如圖正四面體D-ABC中, P面DBA, 則在平面DAB內(nèi)過點(diǎn)P與直線BC成60角的直線共有 ( )A 0條 B 1條 C 2條 D 3條答案：C。解析：過B分別作BD，AB的平行線即可。3正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)P在側(cè)面BCCB及其邊界上運(yùn)動，并且總保持

15、APBD,則動點(diǎn)P的軌跡 （ ）A、線段BC B、BB的中點(diǎn)與CC中點(diǎn)連成的線段C、線段BC D、CB中點(diǎn)與BC中點(diǎn)連成的線段答案：A。解析：B1C面BD1C1，P點(diǎn)軌跡為線段B1C。4設(shè)為直二面角，BANCAN45，則BAC 。答案：60。解析：。5一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直二面角，則兩直角邊所夾角的余弦值為_。答案：。解析：CD為斜邊上的高，設(shè)為二面角的平面角，6在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，ADC120，求證：求異面直線AD，PB的所成角；若AB的中點(diǎn)為E，求二面角DPCE的大小。答案：連BD，ADC120，ABCD，DAB60，又，ADB

16、D，又PD面ABCD，PDAD，AD平面PDB，ADPB，即異面直線AD、PB的所成角為90。連DE，由已知可得DEC為正三角形，取DC的中點(diǎn)F，連EF，則EFCD，PD面ABCD，EFPD，EF面PCD，過F作FGPC，連EG，則EGF為二面角DPCE的平面角設(shè)CDa，則，在PDC中，則 （注：本題用空間向量做也可）7 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上. （）求AB與側(cè)面AC1所成的角； （）若O恰是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積.答案：()在ABC中，AB=，BC=AC=a,ABC是等腰直角三角形，BCAC，CAB=45,又BCA1O，故BC側(cè)面AC1，AB與側(cè)面AC1所成角就是BAC=45.（）由（）知四邊形B1BCC1為矩形，中點(diǎn)，于E，連結(jié)A1E，則ABA1E. 在RtAOE中，在R