九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽及答案

1、2014年吉安縣桐坪中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽九年級(jí)試題（劉書文）（本卷滿分120分，考試時(shí)間120 分鐘）ABCNM（第2題圖）一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）1. 從長(zhǎng)度是2cm，2cm，4cm，4cm的四條線段中任意選三條線段，這三條線段能夠組成等腰三角形的概率是（）A B C D12如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，則ABC的周長(zhǎng)為（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知，且有，則的值等于（ ）（第4題圖）A B C D4已知直角三角形的一直角邊長(zhǎng)是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓(如圖所示)，已知

2、兩個(gè)月牙形(帶斜線的陰影圖形)的面積之和是10，那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95如圖,RtABC中，ABAC，AB=3，AC=4，P是BC邊上一點(diǎn)，作PEAB于E，PDAC于D，設(shè)BPx，則PD+PE（ ）A. B. C. D. （1） （2）（第6題圖）6計(jì)算機(jī)中的堆棧是一些連續(xù)的存儲(chǔ)單元，在每個(gè)堆棧中數(shù)據(jù)的存入、取出按照“先進(jìn)后出”的原則，如圖，堆棧（1）中的2個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，；堆棧（2）的3個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，現(xiàn)在要從這兩個(gè)堆棧中取出5個(gè)數(shù)據(jù)（每次取出1個(gè)數(shù)據(jù)

3、），則不同順序的取法的種數(shù)有（ ）A5種 B6種 C10種 D12種二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7若，則滿足該方程的所有根之和為 . 8如圖，等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G，則 9已知，且，則 10元旦期間，甲、乙兩人到特價(jià)商店購(gòu)買商品，已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相同，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元兩種.若兩人購(gòu)買商品一共花費(fèi)了172元，則其中單價(jià)為9元的商品有 件11如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成，A=，CD=4m，BC=m，則電

4、線桿AB的長(zhǎng)為 m (第11題圖)ABCD（第8題圖A）BCDAE（第8題圖）D12實(shí)數(shù)與，使得，四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，則所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)為 三、解答題（本大題共4個(gè)小題，共60分）13. （本題滿分10分） 已知平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程：x2mx+=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，（1）當(dāng)m為何值的，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）當(dāng)AB=2時(shí)，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是多少？14（本題滿分10分）.如圖所示，不透明圓錐DEC放在水平面上，在A處燈光照射下形成影子，設(shè)BP過(guò)圓錐底面的圓心，已知圓錐的高為2m，底面半徑為2 m，BE=4 m.（1）求B的

5、度數(shù)；15.（本題滿分20分）如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M，N以每秒個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NPBC，交OB于點(diǎn)P，連接MP （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；（2）記OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時(shí)，S有最大值？（備用圖）(第14題圖)（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是ONC面積的？若存在，求出

6、點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 16. （本題滿分20分）(1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；（2）如圖21，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D21中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由問(wèn)題解決：圖（3）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=a，CD=b，且ba，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由2013年九年級(jí)試卷參考答案一、 選擇題（每小題5分，共30分）16 C D B A DAC二、 填

7、空題（每小題5分，共30分）：7. ； 8. A：；B：； 9. 4； 10. 12； 11. ； 12. .三、解答題：（每題20分，共60分）13. 解：（1）四邊形ABCD為菱形，AB=AD.又=m24（）=m22m+1=(m1)2.當(dāng)(m1)2=0，即m=1時(shí)，四邊形ABCD是菱形.把m=1代入x2mx+=0得x2x+=0，x1=x2=.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為.（1） 把x=2代入x2mx+=0得42m+=0,解得m=.把m=代入x2mx+=0得x2x+1=0,解得x1=2,x2=AD=.四邊形ABCD為平行四邊形.平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2（2+）=5.點(diǎn)撥：把平行四邊形的邊長(zhǎng)與一元

8、二次方程的根相聯(lián)系，那么平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程根的性質(zhì)都要掌握.首先平行四邊形變?yōu)榱庑?，各邊相等，那么一元二次方程就有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.對(duì)于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根.22. 解：（1）圓錐的高DO=2m.在RtDOB中，OB=BE+EO=4+2=6(m).BD2=BO2+DO2=62+(2)2=48.BD=4m,則BD=2DO.B=30°.（2） 過(guò)A作AFBP于F.ACP=B+BAC=2B，B=BAC=30°.AC=BC=BE+EC=8(m).在RtACF中，CAF=90°ACP=90°2B=30°.CF=AC=4(

9、m).AF= =4 (m).故光源A距水平面的高度為4m.點(diǎn)撥：投影問(wèn)題在本題中轉(zhuǎn)化為在直角三角形中求角度和邊長(zhǎng)的問(wèn)題，通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形中邊、角之間的關(guān)系去求值.14. 解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對(duì)B點(diǎn)得1分）3分（2）SOMP =×OM×， S =×（6 -t）×=+2t （0 < t <6）當(dāng)時(shí)，S有最大值8分 （3）存在 由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為： 設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組得直線ON與MT

10、的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為SOCN ×4×36，SORT SOCN 210分一、 當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)，分割出的三角形是OR1T1，二、 如圖，作R1D1y軸，D1為垂足，則SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合題意，舍去）此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（0，）.15分 當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分割出的三角形是R2NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，（備用圖）R2T1T2R1D2D1點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4，由得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，作R2D2CN交CN于點(diǎn)D2，則SR2NEEND2 =2.，b=.b1，b2（不合題意，舍去）此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0，）綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T1（0，

11、），T2（0，）符合條件20分15（1）如答圖3.答圖3（3） 如答圖3.理由如下：點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，AP=CQ，EB=DF，在AOP和EOB中,AOP=90°AOE，BOE=90°AOE，AOP=BOE，OA=OB，OAP=EBO=45°，AOPBOE，AP=BE=DF=CQ，設(shè)O到正方形ABCD一邊的距離為d，則（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，S四邊形AEOP=S四邊形BEOQ=S四邊形CQOF=S四邊形DPOF，直線EF、OM將正方形ABCD面積四等分；答圖4（3）存在，當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等分.理由如下：如答圖4，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=b，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=a，連接EF.BECF，BE=CF，四邊形BCFE為平行四邊形，BC=BE=a+b，平行四邊形BCFE為菱形.連接BF交