二元函數(shù)連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的討論

1、 編號：Xxxxxxxx學(xué)校本科畢業(yè)論文二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的討論院 系：數(shù)學(xué)科學(xué)系姓 名：XXXX學(xué) 號：XXX專 業(yè)：XXXX年 級：2008級指導(dǎo)教師：XXX職 稱：講師完成日期：2012年5月摘 要二元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一,理清其基本概念之間的相互關(guān)系對于認(rèn)識二元函數(shù)的性質(zhì)有重要的意義,只有這樣才能弄清楚二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微之間的關(guān)系,才能更好地加以利用.本論文將重點(diǎn)對它們之間的關(guān)系加以總結(jié)和探討,并給以證明和應(yīng)用舉例.本論文正文主要介紹了二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的基本知識.對它們分別進(jìn)行了總結(jié)證明和進(jìn)一步討論,還總結(jié)二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存

2、在性及可微性的簡單關(guān)系,并舉出的例子加以論證支撐.關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)；可微AbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the

3、binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduces binary

4、 function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demo

5、nstrate support.Key words： Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目 錄摘 要IABSTRACTII引 言11 二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微三個概念的定義21.1 二元函數(shù)的連續(xù)性21.2 二元函數(shù)的可微性21.3 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)22 二元函數(shù)三個概念的結(jié)論總結(jié)及證明42.1 二元函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論總結(jié)及證明42.2 二元函數(shù)可微性的結(jié)論總結(jié)及證明52.3 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在性的結(jié)論總結(jié)103 二元函數(shù)三個概念之間關(guān)系的總結(jié)103.1 二元函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系及例證103

6、.1.1 二元函數(shù)連續(xù),但偏導(dǎo)不一定存在的舉例證明103.1.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)存在,但不一定連續(xù)的舉例證明113.2 二元函數(shù)可微性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系及例證123.2.1 可微與偏導(dǎo)存在關(guān)系的舉例證明123.2.2 偏導(dǎo)連續(xù)與可微關(guān)系的舉例證明134 二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性關(guān)系的概圖19結(jié) 束 語20參考文獻(xiàn)21致 謝22引 言二元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣,因此它保留了一元函數(shù)微分學(xué)的許多性質(zhì).但由于自變量由一個增加到兩個,從而產(chǎn)生了某些本質(zhì)上的新的內(nèi)容.如一元函數(shù)微分學(xué)中,函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo),則它在這點(diǎn)可微,反之亦然.但在二元函數(shù)微分學(xué)中,函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,推不出它在

7、這點(diǎn)可微.又如,一元函數(shù)微分學(xué)中,函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo),則它在這點(diǎn)必連續(xù).但在二元函數(shù)微分學(xué)中,函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,卻推不出它在這點(diǎn)連續(xù).同時二元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重難點(diǎn),它涉及的內(nèi)容實(shí)際上是微積分學(xué)內(nèi)容在二元函數(shù)中的體現(xiàn),其中有關(guān)二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間的關(guān)系是學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易發(fā)生概念模糊和難以把握的一個重要知識點(diǎn).當(dāng)前,二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間的關(guān)系研究方面已經(jīng)取得了一定的成果,但是,在國內(nèi)的許多教材中只是對它們?nèi)叩亩x作了說明,而對它們之間的關(guān)系很少提及或沒有提到,在一般的教材中對于該部分內(nèi)容的介紹比較粗略淺顯,在一些學(xué)術(shù)性論文中也只是

8、對二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的個別關(guān)系做了具體的說明,因此在讓學(xué)生學(xué)習(xí)這方面的知識時能達(dá)到對這方面知識可以做到全面的掌握讓是當(dāng)前教學(xué)中的一大難題.本文具體就二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間的關(guān)系通過實(shí)例作深入的探討,就二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)及可微性在教材相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的探討、研究,對教材內(nèi)容做一些適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和擴(kuò)展,為后繼課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).然后總結(jié)有關(guān)二元函數(shù)微分學(xué)中這關(guān)于二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性這三個概念之間的關(guān)系,并對二元函數(shù)具體的實(shí)例詳細(xì)加以證明,建立他們之間的關(guān)系圖.這樣對有效理解和掌握多元函數(shù)微積分學(xué)知識將起到重要作用.1 二元函數(shù)的連續(xù)

9、、偏導(dǎo)數(shù)及可微性概念二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微的概念都是用極限定義的,不同的概念對應(yīng)不同的極限.考慮函數(shù)在點(diǎn)的情形,它們分別為：1.1 二元函數(shù)的連續(xù)性定義1 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù),(它或者是的聚點(diǎn),或者是的孤立點(diǎn)).對于任給的正數(shù),總存在相應(yīng)的正數(shù),只要,就有 則稱關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù),在不致誤解的情況下,也稱在點(diǎn)連續(xù).若在上任何點(diǎn)都關(guān)于集合連續(xù),則稱為上的連續(xù)函數(shù).由上述定義知道：若是的孤立點(diǎn),則必定是關(guān)于的連續(xù)點(diǎn)；若是的聚點(diǎn),則關(guān)于在連續(xù)等價于1.2 二元函數(shù)的可微性與一元函數(shù)一樣,在二元函數(shù)微分學(xué)中,主要討論二元函數(shù)的可微性及其應(yīng)用,我們首先建立二元函數(shù)可微性概念.定義2 設(shè)函數(shù)在

10、點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,對于中的點(diǎn),若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為:, 其中,是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù),是較高階的無窮小量,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微,并稱上式中關(guān)于,的線性函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的全微分,記作 .由上可知是的線性主部,特別當(dāng),充分小時,全微分可作為全增量的近似值,即在使用上,有時也把寫成如下形式,這里1.3 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由一元函數(shù)微分學(xué)知道：若在點(diǎn)可微,則函數(shù)增量,其中.同樣,若二元函數(shù)在點(diǎn)可微,則在處的全增量可由表示.現(xiàn)在討論其中、的值與函數(shù)的關(guān)系.為此,在式子中令,這時得到關(guān)于的偏增量,且有或者現(xiàn)讓,由上式得的一個極限表示式,容易看出,上式右邊的極限正是關(guān)于的一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).類似地,令,由又

11、得到,它是關(guān)于的一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).綜上所述,可知函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù),實(shí)際上就是把固定在看成常數(shù)后,一元函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),同樣,把固定在,讓有增量,如果極限存在,那么此極限稱為函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù).記作.因此,二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個自變量時,它對另一個自變量的導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù),可定義如下：定義3 設(shè)函數(shù),.若,且在的某一鄰域內(nèi)有定義,則當(dāng)極限存在時,稱這個極限為函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù),記作或注意 1 這里符號,專用于偏導(dǎo)數(shù)算符,與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相仿,但又有差別.注意 2 在上述定義中,在點(diǎn)存在關(guān)于（或）的偏導(dǎo)數(shù),至少在（或）上必須有定義.若函數(shù)在區(qū)域上每一點(diǎn)都存在對（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)數(shù),則得到函

12、數(shù)在區(qū)域上對（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)數(shù)（也簡稱偏導(dǎo)數(shù)）,記作或（或）,也可簡單地寫作,或（,或）.2 二元函數(shù)三個概念的進(jìn)一步研究2.1 二元函數(shù)連續(xù)性的進(jìn)一步研究一元函數(shù)若在某點(diǎn)存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),則這個一元函數(shù)必在這點(diǎn)連續(xù),但對于二元函數(shù)來說,即使它在某點(diǎn)既存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù),又存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù),也未必在點(diǎn)連續(xù).不過,我們卻有如下定理：定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若作為的一元函數(shù)在點(diǎn)=連續(xù),在內(nèi)有界,則在點(diǎn)連續(xù).證明 任取, 則 (1)由于在存在,故對于取定的, 作為的一元函數(shù)在以和+為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可導(dǎo),從而據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理,存在(0 ,1) ,使將它代入(1) 式, 得

13、 (2)由于 ,故有界,因而當(dāng)時, 有.又據(jù)定理的條件知,在=連續(xù),故當(dāng)時, 又有.所以, 由(2) 知, 有.這說明在點(diǎn)連續(xù).推論 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若作為的一元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),在點(diǎn) 連續(xù),則在點(diǎn)連續(xù).證明 由于在點(diǎn) 連續(xù),故必在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界,因而據(jù)定理1 ,在點(diǎn)連續(xù).推論 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義. 若在有界, 存在,則 在點(diǎn)連續(xù).證明 由于存在,故作為的一元函數(shù)在點(diǎn)=連續(xù),從而據(jù)定理1可得 ,在點(diǎn) 連續(xù).推論 3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若在點(diǎn)連續(xù), 存在,則在點(diǎn)連續(xù).證明 由于在點(diǎn)連續(xù),故必在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界. 又由于存在,故作為的一元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),因而據(jù)定理

14、1可得出 ,在點(diǎn)連續(xù).同理可證如下的定理2及其推論.定理 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義,在內(nèi)有界,作為的一元函數(shù)在點(diǎn)=連續(xù),則在連續(xù).推論 1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義, 在點(diǎn)連續(xù), 作為的一元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則在點(diǎn)連續(xù).推論 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,在內(nèi)有界, 存在,則在點(diǎn) 連續(xù).推論 3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義, 在點(diǎn)連續(xù), 存在,則在點(diǎn)連續(xù).2.2 二元函數(shù)可微性的進(jìn)一步研究眾所周知,一元函數(shù)中,可微性與可導(dǎo)是一回事,但在二元函數(shù)中情況就不同了.定理 3 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是在點(diǎn)的倆個偏導(dǎo)數(shù)都存在,且對,當(dāng).證明 必要性 已知函數(shù)在點(diǎn)可微,故與存在,且,其中.即 于是,

15、當(dāng)時,有從而當(dāng)（即）時,即,當(dāng)與且時,有所以,當(dāng)與且時,有 .充分性 已知函數(shù)在點(diǎn)兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,當(dāng)與且時,有令,則當(dāng)時,有于是當(dāng)時,有從而有所以,函數(shù)在點(diǎn)可微.證畢.定理 4 若函數(shù)在點(diǎn)處,連續(xù)存在（或存在,連續(xù)）,則函數(shù)在處可微.由此定理的條件仍有對一個偏導(dǎo)數(shù)（二元）連續(xù)性的要求.因而用來判斷函數(shù)的可微性仍有較大的局限性.例如：對于函數(shù) ,有 從而由于和都不存在,因而和在點(diǎn)都不連續(xù).關(guān)于在點(diǎn)的可微性,無論是根據(jù)教材中所介紹的定理,還是根據(jù)上述定理都不能給出肯定的結(jié)論.本文給出另一個可微的充分條件,它完全放棄對兩個偏導(dǎo)數(shù)（二元）連續(xù)性的要求,因而對某些函數(shù)可微性的判定有獨(dú)到的作用.為了敘述方

16、便,引入如下概念.定義 如果對于函數(shù)存在,使得當(dāng)時,存在,且當(dāng)時,變量關(guān)于一直趨向于0,即對任意的,存在,當(dāng)時,對任意（）都有成立,我們就稱函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于對一致可導(dǎo).類似地可定義在點(diǎn)關(guān)于對一致可導(dǎo).定理 5 若函數(shù)在點(diǎn)有：存在,關(guān)于對一致可導(dǎo),且在連續(xù),則在點(diǎn)可微.證明: 因及存在,故有 （3）其中如前述定義,而（）,于是有 （4）又因為在連續(xù),故有 （5）再由所具備的性質(zhì)知,對任意,存在,當(dāng)且時,有此即從而 （6）綜合（3）（6）式即得可見于可微.顯然,調(diào)換定理條件中和的位置,結(jié)論仍然成立.指出,盡管定理5已完全放棄對兩個偏導(dǎo)數(shù)的（二元）連續(xù)性要求,但它所給出的條件仍然不是可微的必要條件.因此

17、,如何用兩個偏導(dǎo)數(shù)所應(yīng)具備的性質(zhì)來等價地刻畫二元函數(shù)的可微性,就需要進(jìn)一步的探討,這對以后仍是大我們還要有裨益的.1. 若果在點(diǎn)處不連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)不存在,則在點(diǎn)處不可微.2. 若果在點(diǎn)處連續(xù),存在、,則在點(diǎn)處可微的充分必要條件是滿足下列等價的任一式：（1） 其中（當(dāng)）（2） 其中（當(dāng)時）推論 4 若二元函數(shù)在處兩個偏導(dǎo)數(shù),均存在,且或者存在,則函數(shù)在處可微.證明 不妨設(shè)存在（存在的情形可作類似證明）.因為所以,即在處連續(xù).根據(jù)定理3可知函數(shù)在處連續(xù).2.3 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在性進(jìn)一步研究二元函數(shù)在點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)有明顯的幾何意義：設(shè)為曲面上的一點(diǎn),過作平面,截此曲面得一曲線,此曲線在平面上的方程為

18、,則導(dǎo)數(shù), 即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率.同樣,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率.我們已經(jīng)知道,如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù),則它在該點(diǎn)必定連續(xù).但對于二元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于時,函數(shù)值趨于,但不能保證點(diǎn)按任何方式趨于時,函數(shù)值都趨于.3 二元函數(shù)三個概念之間關(guān)系的總結(jié)3.1 二元函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系及例證對一元函數(shù)來說,可導(dǎo)必連續(xù).但對二元函數(shù)來說,即使,存在但也不一定連續(xù).事實(shí)上,對于二元函數(shù)來說,函數(shù)在一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在和函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)是

19、沒有必然聯(lián)系的.下面加以說明這個問題.3.1.1 二元函數(shù)連續(xù),但偏導(dǎo)不一定存在的舉例證明例 1 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)是否存在？ 解： 由可知函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).而由偏導(dǎo)數(shù)定義：該極限不存在,同理可證也不存在.所以函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在.由此說明,二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)未必存在.3.1.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)存在,但不一定連續(xù)的舉例證明例 2 函數(shù) 在點(diǎn)處,存在,但不連續(xù).證明 由偏導(dǎo)數(shù)定義： 同理可求得 因為 故函數(shù) 在點(diǎn)處不連續(xù).綜上可見,對于二元函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在,兩者之間沒有必然的聯(lián)系,即在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在與否,與其在該點(diǎn)是否連續(xù)無關(guān).但如果假定函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)有界,即有下

20、面命題：命題 1 如果二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù),有界,則在內(nèi)連續(xù).證明 由,在內(nèi)有界,設(shè)此鄰域為,存在,使, ,在內(nèi)成立,由于（其中）.所以對任意的正數(shù),存在,當(dāng)時,有,故在內(nèi)連續(xù).3.2 二元函數(shù)可微性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系及例證3.2.1 可微與偏導(dǎo)存在關(guān)系的舉例證明定理 6 （可微的必要條件）若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處可微,則在該點(diǎn)關(guān)于每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在,且 ,.證明 由于在點(diǎn)可微,則其中,為自變量的該變量,僅與點(diǎn)有關(guān),而與無關(guān),.若令即,于是,故可見,即,類似可證.可見,對于二元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)的存在是函數(shù)可微分的必要條件.但是偏導(dǎo)數(shù)的存在不是函數(shù)可微分的充分條件.事實(shí)上,當(dāng)一

21、個二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在時,盡管形式上可以寫成式子,但是它與之間可以不是的高階無窮小,因而由定義,此時函數(shù)在點(diǎn)處是不可微的.注 1：定理5的逆命題不成立.即二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)即使存在也不一定可微.下面用例3說明函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在,但函數(shù)在該點(diǎn)卻不可微.例 3 證明函數(shù) 在原點(diǎn)兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.證明 由偏導(dǎo)數(shù)的定義： = 同理可證,即在原點(diǎn)關(guān)于與的偏導(dǎo)數(shù)存在.下面利用可微的定義來證明其不可微用反證法：若函數(shù)在原點(diǎn)可微,則 應(yīng)是較的高階無窮小量,為此考察極限當(dāng)動點(diǎn)沿直線趨于時,則這一結(jié)果說明動點(diǎn)沿不同斜率m的直線趨于原點(diǎn)時,對應(yīng)的極限值也不同,因此所討論的極限不存在.故函數(shù)在

22、原點(diǎn)不可微.3.2.2 偏導(dǎo)連續(xù)與可微關(guān)系的舉例證明定理 7 （可微的充分條件） 若二元函數(shù)的偏導(dǎo)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在且與在點(diǎn)處連續(xù),則函數(shù)在點(diǎn)可微.可微的充分條件可以改進(jìn)：如果函數(shù)滿足以下條件：1. 在點(diǎn)處存在；2. 在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)存在；3. 在點(diǎn)處連續(xù)；則在點(diǎn)處可微.證明 由于存在,即有：即：（其中）則由于在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)存在,不妨設(shè)在且內(nèi)存在設(shè)并規(guī)定則在上每一點(diǎn)都存在,從而在上每一點(diǎn)都連續(xù),規(guī)定：則根據(jù)中值定理存在,使得：（其中）即：當(dāng)且從而有,又由于在點(diǎn)處連續(xù)其中則綜上所述有：又由于故在點(diǎn)點(diǎn)可微.證畢.教材中關(guān)于二元函數(shù)的微分一般只是分別給出了必要條件和充分條件,對可微的充要條件涉及比

23、較少.偏導(dǎo)數(shù)的存在是函數(shù)可微的必要條件而不是充分條件,但是,如果在假設(shè)函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則函數(shù)是可微的.但此條件給的太強(qiáng),于是我們總結(jié)了判別二元函數(shù)在某點(diǎn)可微的一個充分條件,可對此定理的條件進(jìn)行減弱,得出：定理 8 若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域G內(nèi)連續(xù),存在,則函數(shù)在點(diǎn)可微.證明 全增量這里第一個括號是當(dāng)時函數(shù)關(guān)于的增量,而第二個括號則是當(dāng)時函數(shù)關(guān)于的增量,對于它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理,得 由于,在點(diǎn)連續(xù),因而有,其中當(dāng)時,.所以令,則當(dāng)時,是關(guān)于的高階無窮小.事實(shí)上,由于而當(dāng)時,即.這就證明了在點(diǎn)是可微的.例 4 求證在點(diǎn)可微.證明 因為.同理即于是又,所以在點(diǎn)連續(xù).但不存在,即在點(diǎn)不

24、連續(xù).又定理8可知在點(diǎn)可微.顯然,與傳統(tǒng)的判別方法相比,這個充分條件更加減弱了判別條件,進(jìn)一步闡明了二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與可微性的關(guān)系,使適用范圍擴(kuò)大,適用性加強(qiáng).注意 這個條件是可微的充分條件并非必要條件,即在的鄰域內(nèi)存在但不連續(xù),但在點(diǎn)也可微.下面我們用例5說明函數(shù)在一點(diǎn)可微,但它的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)卻不連續(xù).例 5 求函數(shù) ,在原點(diǎn)處,（1）是否存在 （2）是否連續(xù)（3）是否可微.解 （1） 由定義知 所以存在.（2） 因為當(dāng)時,偏導(dǎo)數(shù)存在,故 ,而不存在,故在原點(diǎn)不連續(xù).（3）法 1：因則（）從而即函數(shù)在點(diǎn)可微.法 2：,即,存在,且存在.根據(jù)推論4可知題設(shè)所給函數(shù)在處可微.3.3 二元函數(shù)連續(xù)性

25、與可微性的關(guān)系及例證類似于一元函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性間的關(guān)系,即二元函數(shù)在點(diǎn)可微,則必連續(xù).反之不然.定理 9 若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)可微,則在該點(diǎn)必然連續(xù).證明 事實(shí)上,故在連續(xù).注意 函數(shù)在某點(diǎn)可微,則在該點(diǎn)連續(xù);但在某點(diǎn)連續(xù),函數(shù)在該點(diǎn)卻不一定可微.例 6 證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),但它在點(diǎn)不可微.證明 （1） 因為,故函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).（2） 因為所以 當(dāng)動點(diǎn)沿直線趨于時,有即,故在原點(diǎn)不可微.例 7 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),但在點(diǎn)不可微.解： 因為所以在點(diǎn)處連續(xù).又因為,此極限不存在；同理的極限也不存在.因此不能把的形式.4 二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性關(guān)系的概圖如果函數(shù)在點(diǎn)可微分,則函數(shù)在該

26、點(diǎn)必連續(xù),反之不一定成立.如果函數(shù)在點(diǎn)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必存在,反之一定成立.如果函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則偏導(dǎo)不一定存在.如果函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)存在,則不一定連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)必可微,反之不一定成立.綜上所述二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的關(guān)系如下圖所示.偏導(dǎo)連續(xù)可微偏導(dǎo)存在連續(xù)結(jié)束語本文對二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間關(guān)系的討論,根據(jù)分析可以看出二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間的關(guān)系比一元函數(shù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系要復(fù)雜的多,究其原因主要在于二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限對自變量的要求更高、更復(fù)雜.如只要求在從的左右倆側(cè)趨向于時,趨于同一值.而對

27、要求點(diǎn)以任何方式趨向于點(diǎn)時,都趨向于同一極限,任何方式包含了x與y的不同關(guān)系以及趨向時的不同路徑,從而導(dǎo)致二元函數(shù)產(chǎn)生了二重極限與累次極限的區(qū)別,正是由于二元函數(shù)極限的這種復(fù)雜性導(dǎo)致了二元函數(shù)諸多關(guān)系的復(fù)雜性.依據(jù)本文的分析得出它們?nèi)咧g的關(guān)系,不但對學(xué)習(xí)是一種積極的推動作用,有助于使學(xué)生對這方面的知識不會產(chǎn)生干擾,能較好地辨別它們之間的本質(zhì)區(qū)別,使得原有知識更加牢固,也同時抓住了函數(shù)的本質(zhì).這方面的知識繁多,證明的方法難易懸殊,使用技巧各異,而且同一問題也可用多種不同方法來解決. 二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間關(guān)系的知識是人類智慧最偉大的成就之一,是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造,它現(xiàn)在廣泛影

28、響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展,如今已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具.以上我從比較初等的方法入手,進(jìn)而對二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性的若干概念、定理、性質(zhì)等內(nèi)容這一方面的內(nèi)容作了淺顯的論述,將初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容銜接起來,從而在整體上更好地理解有關(guān)這方面的知識.至于解決具體問題時個人可依據(jù)知識的儲備、問題的要求來進(jìn)行方法的選擇.本文列舉了二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性這方面的知識和證明方法,根據(jù)證明方法、舉例、適用范圍進(jìn)行了歸納總結(jié),力求有理論依據(jù)、有例題參考、有實(shí)用價值從定義出發(fā)證明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在證明中確有其優(yōu)勢.證明的方法應(yīng)該還有很多,

29、對于其它新的方法有待于進(jìn)一步探索與研究.為此,我們有必要學(xué)習(xí)好、掌握好二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性及可微性之間的關(guān)系這方面的知識,配以先進(jìn)的管理觀念和現(xiàn)代化的通信、網(wǎng)絡(luò)、計算機(jī)技術(shù),盡可能的把這些知識靈活運(yùn)用推廣,滿足其他行業(yè)對這些知識的需要,創(chuàng)造更好的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下）M . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 112 2 吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783馬振民. 數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講M. 蘭州: 蘭州大學(xué)出版社, 1999: 36-54.4 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方

30、法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有關(guān)多元函數(shù)連續(xù)性的幾個新結(jié)論J. 韶關(guān)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2002,23（6）: 1-6.7 周良正,王愛國. 偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)連續(xù)及可微的關(guān)系J. 高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版）.2005,19（5）: 1-4.8 何鵬,余文輝,雷敏斂. 二元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微等諸條件間關(guān)系的研究J. 南昌高專學(xué)報. 2005,61（6）: 1-2.9 黃梅英. 淺談二元函數(shù)可微性J. 三名師專學(xué)報. 2000,17（1）: 1-5.

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