二次函數(shù)綜合題歸類(lèi)復(fù)習(xí)附練習(xí)及解析

1、2015年初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題歸類(lèi)復(fù)習(xí)1圖像與性質(zhì)：例1(2014年四川資陽(yáng)，第24題12分)如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱(chēng)軸為x=1（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0m3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可知，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x+

2、3（2）分三種情況：當(dāng)MA=MB時(shí)；當(dāng)AB=AM時(shí)；當(dāng)AB=BM時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)（3）平移后的三角形記為PEF根據(jù)待定系數(shù)法可得直線(xiàn)AB的解析式為y=x+3易得直線(xiàn)EF的解析式為y=x+3+m根據(jù)待定系數(shù)法可得直線(xiàn)AC的解析式連結(jié)BE，直線(xiàn)BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中分二種情況：當(dāng)0m時(shí)；當(dāng)m3時(shí)；討論可得用m的代數(shù)式表示S解：（1）由題意可知，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則，解得故拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x+3（2）當(dāng)MA=MB時(shí)，M（0，0）；當(dāng)AB=AM時(shí)，M（0，3）；當(dāng)AB=BM時(shí)，M（0，3+3）或M（0

3、，33）所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，3）、（0，3+3）、（0，33）（3）平移后的三角形記為PEF設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，則，解得則直線(xiàn)AB的解析式為y=x+3AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0m3）得到PEF，易得直線(xiàn)EF的解析式為y=x+3+m設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，則，解得則直線(xiàn)AC的解析式為y=2x+6連結(jié)BE，直線(xiàn)BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中當(dāng)0m時(shí)，如圖1所示設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M則BE=EK=m，PK=PA=3m，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)M（3m，2m）。故S=SPEFSPAKSAFM=PE2PK2AFh=（3m）2

4、m2m=m2+3m當(dāng)m3時(shí)，如圖2所示設(shè)PE交AB于K，交AC于H因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3m，又因?yàn)橹本€(xiàn)AC的解析式為y=2x+6，所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=62m，所以點(diǎn)H（m，62m）故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=（3m）（62m）（3m）2=m23m+綜上所述，當(dāng)0m時(shí)，S=m2+3m；當(dāng)m3時(shí)，S=m23m+點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式，分類(lèi)思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度2旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例2. （2014福建泉州，第22題9分）如圖，已知二次函數(shù)y=a（xh）2+的圖象經(jīng)

5、過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）（1）寫(xiě)出該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）若將線(xiàn)段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA，試判斷點(diǎn)A是否為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)？考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)分析：（1）由于拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（2，0），根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1；（2）作ABx軸與B，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=OA=2，AOA=2，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=OA=1，AB=OB=，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式可判斷點(diǎn)A為拋物線(xiàn)y=（x1）2+的頂點(diǎn)解答：解：（1）二次函數(shù)y=a（xh）2+的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）拋

6、物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1；（2）點(diǎn)A是該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)理由如下：如圖，作ABx軸于點(diǎn)B，線(xiàn)段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA，OA=OA=2，AOA=2，在RtAOB中，OAB=30°，OB=OA=1，AB=OB=，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)A為拋物線(xiàn)y=（x1）2+的頂點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a0）的開(kāi)口向上，x時(shí)，y隨x的增大而減??；x時(shí)，y隨x的增大而增大；x=時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最

7、低點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a0）的開(kāi)口向下，x時(shí)，y隨x的增大而增大；x時(shí)，y隨x的增大而減??；x=時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3與三角形結(jié)合：例3（2014廣西賀州，第26題12分）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上直線(xiàn)y=1與y軸交于點(diǎn)H（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)與直線(xiàn)y=1交于點(diǎn)M，求證：FM平分OFP；（3）當(dāng)FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：綜合題分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式，求出a的值，

8、繼而可求得二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PBy軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，PFM=PMF，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得出結(jié)論；（3）首先可得FMH=30°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案解答：（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A（1，）代入y=ax2得：a=，二次函數(shù)的解析式為y=x2；（2）證明：點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=x2上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），過(guò)點(diǎn)P作PBy軸于點(diǎn)B，則BF=x21，PB=x，RtBPF中，PF=x2+1，PM直線(xiàn)y=1，PM=x2+

9、1，PF=PM，PFM=PMF，又PMx軸，MFH=PMF，PFM=MFH，F(xiàn)M平分OFP；（3）解：當(dāng)FPM是等邊三角形時(shí)，PMF=60°，F(xiàn)MH=30°，在RtMFH中，MF=2FH=2×2=4，PF=PM=FM，x2+1=4，解得：x=±2，x2=×12=3，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，3）點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練基本知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通4與四邊形結(jié)合：例4（2014福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片ABC中

10、，ACBC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上（1）已知：DEAC，DFBC判斷：四邊形DECF一定是什么形狀？裁剪：當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，ACB=45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊：請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說(shuō)明你的折法和理由考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，根據(jù)ADFABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出

11、面積s最大時(shí)h的值（2）第一步，沿ABC的對(duì)角線(xiàn)對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，使DA1BB1解答：.解：（1）DEAC，DFBC，四邊形DECF是平行四邊形作AGBC，交BC于G，交DF于H，ACB=45°，AC=24cm，AG=12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=，x=×20，S=xh=x×20=20hh2=6，AH=12，AF=FC，在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大（2）第一步，沿ABC的對(duì)角線(xiàn)對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，

12、使DA1BB1理由：對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線(xiàn)段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論5新定義題：例5（ 2014安徽省,第22題12分）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”（1）請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x24mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0x3時(shí)，y2的最大值考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

13、；二次函數(shù)的最值專(zhuān)題：新定義分析：（1）只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可（2）由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題解答：解：（1）設(shè)頂點(diǎn)為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（xh）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x3）2+420，該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x3）2+430，該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上

14、兩個(gè)函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4頂點(diǎn)相同，開(kāi)口都向上，兩個(gè)函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4是“同簇二次函數(shù)”符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4（2）y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），2×124×m×1+2m2+1=1整理得：m22m+1=0解得：m1=m2=1y1=2x24x+3=2（x1）2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，y1+y2=（a+2）（x1）2+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中

15、a+20，即a2解得：函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x210x+5y2=5x210x+5=5（x1）2函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=150，函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上當(dāng)0x1時(shí)，函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，y2隨x的增大而減小當(dāng)x=0時(shí)，y2取最大值，最大值為5（01）2=5當(dāng)1x3時(shí)，函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，y2隨x的增大而增大當(dāng)x=3時(shí)，y2取最大值，最大值為5（31）2=20綜上所述：當(dāng)0x3時(shí)，y2的最大值為20點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開(kāi)口方向、增減性），考查了分類(lèi)討論的思想，考查了閱讀理解能力而對(duì)新定義的正確理解和分類(lèi)討論是解

16、決第二小題的關(guān)鍵6運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題：例6（ 2014廣東，第25題9分）如圖，在ABC中，AB=AC，ADAB于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線(xiàn)m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線(xiàn)m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t0）（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的PEF的面積存在最大值，當(dāng)PEF的面積最大時(shí)，求線(xiàn)段BP的長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PEF為直角三角形？若存在，

17、請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類(lèi)討論，分別求解解答：（1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=2，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示又EFAD，EF為AD的垂直平分線(xiàn)，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于點(diǎn)D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形（2）解：如答圖2所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10

18、tSPEF=EFDH=（10t）2t=t2+10t=（t2）2+10當(dāng)t=2秒時(shí)，SPEF存在最大值，最大值為10，此時(shí)BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，此時(shí)PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，此時(shí)PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示過(guò)點(diǎn)E作EMBC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FNBC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2

19、=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化簡(jiǎn)得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，PEF為直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線(xiàn)兩種運(yùn)動(dòng)類(lèi)型第（1）問(wèn)考查了菱形的定義；第（2）問(wèn)考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問(wèn)考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)

20、，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想7代數(shù)與幾何綜合：例7. （2014廣西玉林市、防城港市，第26題12分）給定直線(xiàn)l：y=kx，拋物線(xiàn)C：y=ax2+bx+1（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求a的值；（2）若把直線(xiàn)l向上平移k2+1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線(xiàn)r，則無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)r與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)求此拋物線(xiàn)的解析式；若P是此拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，過(guò)P作PQy軸且與直線(xiàn)y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)求證：OP=PQ考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即橫縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很使用于韋達(dá)定理由其中有涉及頂

21、點(diǎn)，考慮頂點(diǎn)式易得a值（2）直線(xiàn)l：y=kx向上平移k2+1，得直線(xiàn)r：y=kx+k2+1根據(jù)無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)r與拋物線(xiàn)C：y=ax2+bx+1都只有一個(gè)交點(diǎn)，得ax2+（bk）xk2=0中=0這雖然是個(gè)方程，但無(wú)法求解這里可以考慮一個(gè)數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡(jiǎn)單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗(yàn)，進(jìn)而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得但要注意答案中，可能有的只能滿(mǎn)足k=1，2時(shí)，并不滿(mǎn)足任意實(shí)數(shù)k，所以可以再代回=中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫(huà)出大致的示意圖發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再

22、進(jìn)行比較這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，x2+1），進(jìn)而易求OP，PQ解答：（1）解：l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時(shí)有A，B兩交點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足kx=ax2+x+1，即ax2+（1k）x+1=0B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，0=xA+xB=，k=1y=ax2+x+1=a（x+）2+1，頂點(diǎn)（，1）在y=x上，=1，解得 a=（2）解：無(wú)論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線(xiàn)r與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)，k=1時(shí)，k=2時(shí)，直線(xiàn)r與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)k=1時(shí)，r：y=x+2，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b1）x1=0，=0，（b1

23、）2+4a=0，當(dāng)k=2時(shí)，r：y=2x+5，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b2）x4=0，=0，（b2）2+16a=0，聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組 ，解得 或 r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（bk）xk2=0，=當(dāng)時(shí)，=0，故無(wú)論k取何值，直線(xiàn)r與拋物線(xiàn)C都只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，=，顯然雖k值的變化，不恒為0，所以不合題意舍去C：y=x2+1證明：根據(jù)題意，畫(huà)出圖象如圖1，由P在拋物線(xiàn)y=x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，x2+1），連接OP，過(guò)P作PQ直線(xiàn)y=2于Q，作PDx軸于D，PD=|x2+1|，OD=|x|，OP=， PQ=2yP=2（x2+1）=

24、，OP=PQ點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及圖象，圖象平移解析式變化，韋達(dá)定理及勾股定理等知識(shí)，另涉及一些數(shù)學(xué)技巧，學(xué)生解答有一定難度，需要好好理解掌握8面積問(wèn)題：例8（2014溫州，第21題10分）如圖，拋物線(xiàn)y=x2+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)N，過(guò)頂點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）（1）求該拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（2）求EMF與BNE的面積之比考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）直接將（1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用EM

25、BN，則EMFBNF，進(jìn)而求出EMF與BNE的面積之比解答：解：（1）由題意可得：（1）2+2×（1）+c=0，解得：c=3，y=x2+2x+3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點(diǎn)M（1，4）；（2）A（1，0），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，點(diǎn)B（3，0），EM=1，BN=2，EMBN，EMFBNF，=（）2=（）2=點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出EMFBNF是解題關(guān)鍵9探究型問(wèn)題：例9（2014舟山，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線(xiàn)y=x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)AEy軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），

26、直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD設(shè)線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為m，BED的面積為S（1）當(dāng)m=時(shí)，求S的值（2）求S關(guān)于m（m2）的函數(shù)解析式（3）若S=時(shí)，求的值；當(dāng)m2時(shí)，設(shè)=k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：綜合題分析：（1）首先可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），再由m的值，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)及BE、OE的長(zhǎng)度，易得ABECBO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出CO，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當(dāng)0m2時(shí)，將BEDO轉(zhuǎn)化為AEBO，求解；（II）當(dāng)m2時(shí)，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函

27、數(shù)解析式；（3）首先可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)=k，可得SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，從而可得=k，代入即可得出k的值；可得=k，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，代入可得k與m的關(guān)系解答：解：（1）點(diǎn)A在二次函數(shù)y=x2的圖象上，AEy軸于點(diǎn)E且AE=m，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），BE=OE=1AEy軸，AEx軸，ABECBO，=，CO=2，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，DO=CO=2，S=BEDO=×1×2=；（2）（I）當(dāng)0m2時(shí)（如圖1），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，BODBOC，BEABOC，BEABO

28、D，=，即BEDO=AEBO=2mS=BEDO=×2m=m；（II）當(dāng)m2時(shí)（如圖2），同（I）解法得：S=BEDO=AEOB=m，由（I）（II）得，S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m0且m2）（3）如圖3，連接AD，BED的面積為，S=m=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，k=；k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=m2，如圖4，連接AD，=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，k=m2（m2）點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解答

29、本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，難度較大10存在性問(wèn)題：例10（2014年廣東汕尾，第25題10分）如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2x3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，使得MAD的面積與CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析：（1）令y=0，解方程x2x3=0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y=3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知在在x

30、軸下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖所示：若BCAP1，確定梯形ABCP1此時(shí)P1與D點(diǎn)重合，即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；若ABCP2，確定梯形ABCP2先求出直線(xiàn)CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)解：（1）y=x2x3，當(dāng)y=0時(shí)，x2x3=0，解得x1=2，x2=4當(dāng)x=0，y=3A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；（2）y=x2x3，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，當(dāng)MAD的面積與CAD的面積相等時(shí)，分

31、兩種情況：點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3當(dāng)y=4時(shí)，x2x3=3，解得x1=1+，x2=1，M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，3）或（1，3）綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（1+，3）或（1，3）；（3）結(jié)論：存在如圖所示，在拋物線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足題意：若BCAP1，此時(shí)梯形為ABCP1由點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，可知BCx軸，則P1與D點(diǎn)重合，P1（2，0）P1A=6，BC=2，P1ABC，四邊形ABCP1為梯形；若ABCP2，

32、此時(shí)梯形為ABCP2A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），直線(xiàn)AB的解析式為y=x6，可設(shè)直線(xiàn)CP2的解析式為y=x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）代入，得b=3，直線(xiàn)CP2的解析式為y=x3點(diǎn)P2在拋物線(xiàn)y=x2x3上，x2x3=x3，化簡(jiǎn)得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線(xiàn)CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，P2（6，6）ABCP2，ABCP2，四邊形ABCP2為梯形綜上所述，在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（6，6）點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐

33、標(biāo)求法，三角形的面積，梯形的判定綜合性較強(qiáng)，有一定難度運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵11應(yīng)用題型：利潤(rùn)問(wèn)題。例11（2014武漢2014武漢，第29題10分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x（1x90）天的售價(jià)與銷(xiāo)量的相關(guān)信息如下表：時(shí)間x（天）1x5050x90售價(jià)（元/件）x+4090每天銷(xiāo)量（件）2002x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷(xiāo)售該商品的每天利潤(rùn)為y元（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（3）該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中，共有多少天每天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于4800元？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果 考點(diǎn)：二次函數(shù)的

34、應(yīng)用分析：（1）根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量，可得利潤(rùn)，可得答案；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案解答：解：（1）當(dāng)1x50時(shí)，y=（2002x）（x+4030）=2x2+180x+200，當(dāng)50x90時(shí)，y=（2002x）（9030）=120x+12000，綜上所述：y=；（2）當(dāng)1x50時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口下，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=45，當(dāng)x=45時(shí)，y最大=2×452+180×45+2000=6050，當(dāng)50x90時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)

35、x=50時(shí)，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元；（3）當(dāng)20x60時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于4800元點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值12求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題：例12（2014武漢，第25題12分）如圖，已知直線(xiàn)AB：y=kx+2k+4與拋物線(xiàn)y=x2交于A，B兩點(diǎn)（1）直線(xiàn)AB總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）當(dāng)k=時(shí)，在直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上求點(diǎn)P，使ABP的面積等于5；（3）若在拋物線(xiàn)上存在定點(diǎn)D使ADB=90°，求點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的最大距離 考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程因

36、式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無(wú)關(guān)即可（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)由于直線(xiàn)AB上有一個(gè)定點(diǎn)C，容易得到DC長(zhǎng)就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理

37、即可解決問(wèn)題解答：解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=（2）k+2k+4=4直線(xiàn)AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，4）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）（2）k=，直線(xiàn)的解析式為y=x+3聯(lián)立，解得：或點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）過(guò)點(diǎn)P作PQy軸，交AB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AMPQ，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BNPQ，垂足為N，如圖1所示設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為ayP=a2，yQ=a+3點(diǎn)P在直線(xiàn)AB下方，PQ=yQyP=a+3a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ=PQAM+PQBN=PQ（AM+BN）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=

38、1當(dāng)a=2時(shí)，yP=×（2）2=2此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）當(dāng)a=1時(shí)，yP=×12=此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（1，）（3）過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)EF，作AEEF，垂足為E，作BFEF，垂足為F，如圖2AEEF，BFEF，AED=BFD=90°ADB=90°，ADE=90°BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2AE=yAyE=m2t2BF=yByF=n2t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=化簡(jiǎn)得：

39、mn+（m+n）t+t2+4=0點(diǎn)A、B是直線(xiàn)AB：y=kx+2k+4與拋物線(xiàn)y=x2交點(diǎn)，m、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0兩根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)DG，過(guò)點(diǎn)C作CGDG，垂足為G，如圖3所示點(diǎn)C（2，4），點(diǎn)D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2過(guò)點(diǎn)D作DHAB，垂足為H，如圖3所示，DHDCDH2當(dāng)DH與DC重合即DCAB時(shí)，點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離最大，最大值為2點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的最大

40、距離為2點(diǎn)評(píng)：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，考查了通過(guò)解方程組求兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、用割補(bǔ)法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強(qiáng)構(gòu)造K型相似以及運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)的關(guān)鍵，點(diǎn)C是定點(diǎn)又是求點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的最大距離的突破口13與一元二次方程結(jié)合：例13（10分）（2014孝感，第22題10分）已知關(guān)于x的方程x2（2k3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）試說(shuō)明x10，x20；（3）若拋物線(xiàn)y=x2（2k3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA

41、、OB，且OA+OB=2OAOB3，求k的值考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系分析：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，說(shuō)明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；（3）不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）利用x1，x2表示出OA、OB的長(zhǎng)，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及OA+OB=2OAOB3即可列方程求解解答：解：（1）由題意可知：=【（2k3）】24（k2+1）0，即12k+50 （2），x10，x20 （3）依題意，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）OA+OB=|x1|+|x2|=（x1+x2）=（2k3

42、），OAOB=|x1|x2|=x1x2=k2+1，OA+OB=2OAOB3，（2k3）=2（k2+1）3，解得k1=1，k2=2 ，k=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是另y=0，得到的方程的兩根，則滿(mǎn)足一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系14雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：例14(2014襄陽(yáng)，第26題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱(chēng)軸x=1交x軸于點(diǎn)B連接EC，AC點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為 ；拋物線(xiàn)的解析式為 （2）在圖1中，若點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上從點(diǎn)O

43、向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)t為何值時(shí)，PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P做PFAB，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGAD于點(diǎn)G，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ當(dāng)t為何值時(shí)，ACQ的面積最大？最大值是多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)的解析式；（2）先根據(jù)勾股定理可得CE，再分兩種情況：當(dāng)QPC=90°時(shí)；當(dāng)PQC=90°時(shí)；討論可得PCQ

44、為直角三角形時(shí)t的值；（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線(xiàn)AC的解析式，根據(jù)SACQ=SAFQ+SCPQ可得SACQ=（t2）2+1，依此即可求解解答：解：（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x1）2+4，把C（3，0）代入拋物線(xiàn)的解析式，可得a（31）2+4=0，解得a=1故拋物線(xiàn)的解析式為y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）依題意有：OC=3，OE=4，CE=5，當(dāng)QPC=90°時(shí)，cosQPC=，=，解得t=；當(dāng)PQC=90°時(shí)，cosQC

45、P=，=，解得t=當(dāng)t=或t=時(shí)，PCQ為直角三角形；（3）A（1，4），C（3，0），設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，則，解得故直線(xiàn)AC的解析式為y=2x+6P（1，4t），將y=4t代入y=2x+6中，得x=1+，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，將x=1+代入y=（x1）2+4中，得y=4Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，QF=（4）（4t）=t，SACQ=SAFQ+SCPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=×2（t）=（t2）2+1，當(dāng)t=2時(shí)，ACQ的面積最大，最大值是1故答案為：（1，4），y=（x1）2+4點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，矩形的性質(zhì)，待

46、定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)的最值，以及分類(lèi)思想的運(yùn)用15與圓結(jié)合：例15（2014益陽(yáng)，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B=60°，AB=10，BC=4，點(diǎn)P沿線(xiàn)段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x（1）求AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CEAB于E，根據(jù)CE=BCs

47、inB求出CE，再根據(jù)AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則PCB必有一個(gè)角是直角分兩種情況討論：當(dāng)PCB=90°時(shí)，求出AP，再根據(jù)在RtADP中DPA=60°，得出DPA=B，從而得到ADPCPB，當(dāng)CPB=90°時(shí)，求出AP=3，根據(jù)且，得出PCB與ADP不相似（3）先求出S1=x，再分兩種情況討論：當(dāng)2x10時(shí)，作BC的垂直平分線(xiàn)交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線(xiàn)交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM，在RtGBH中求出BG、BN、GN，在RtGMN中，求出MN=（x1），在RtBMN中，求出BM2

48、=x2x+，最后根據(jù)S1=xBM2代入計(jì)算即可當(dāng)0x2時(shí)，S2=x（x2x+），最后根據(jù)S=S1+S2=x（x）2+x即可得出S的最小值解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CEAB于E，在RtBCE中，B=60°，BC=4，CE=BCsinB=4×=2，AD=CE=2（2）存在若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則PCB必有一個(gè)角是直角當(dāng)PCB=90°時(shí)，在RtPCB中，BC=4，B=60°，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知AD=2，在RtADP中，tanDPA=，DPA=60°，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP與

49、CPB相似，此時(shí)x=2當(dāng)CPB=90°時(shí)，在RtPCB中，B=60°，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3則且，此時(shí)PCB與ADP不相似（3）如圖，因?yàn)镽tADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x（）2=x，當(dāng)2x10時(shí)，作BC的垂直平分線(xiàn)交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線(xiàn)交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM則BM為PCB外接圓的半徑在RtGBH中，BH=BC=2，MGB=30°，BG=4，BN=PB=（10x）=5x，GN=BGBN=x1在RtGMN中，MN=GNtanMGN=（x1）在RtBMN中，BM2=MN2+BN2=x2x+，S1=xBM2=x（x

50、2x+）當(dāng)0x2時(shí)，S2=x（x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（x2x+）=x（x）2+x當(dāng)x=時(shí)，S=S1+S2取得最小值x點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類(lèi)討論適應(yīng)性練習(xí)；1（2014浙江寧波，第23題10分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A（2，0），B（0，1）和C（4，5）三點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y=x+1，并寫(xiě)出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值 2

51、（2014四川自貢，第24題14分）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線(xiàn)y=x2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線(xiàn)y=x2與y軸的交點(diǎn)，連接AC（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）證明：ABC為直角三角形；（3）ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點(diǎn)D、E、F、G在ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由3（2014浙江湖州，第23題分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c（c0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作CAx軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點(diǎn)A的

52、坐標(biāo)是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4（2014年江蘇南京，第24題）已知二次函數(shù)y=x22mx+m2+3（m是常數(shù)）（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？5（2014呼和浩特，第25題12分）如圖，已知直線(xiàn)l的解析式為y=x1，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D（1，）三點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并

53、在圖示坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)的大致圖象；（2）已知點(diǎn) P（x，y）為拋物線(xiàn)在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE與直線(xiàn)l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在PB所在直線(xiàn)上6（2014濱州，第23題9分）已知二次函數(shù)y=x24x+3（1）用配方法求其圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而變化的情況；（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及ABC的面積7（2014德州，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)