數(shù)學(xué)建模方法導(dǎo)引

1、 模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物來的原型的替代物 3. 按照精密程度按照精密程度 集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型集中參數(shù)模型、分布參數(shù)模型 4. 按照研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征按照研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征 初等模型初等模型 優(yōu)化模型優(yōu)化模型 邏輯模型邏輯模型 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 擴(kuò)散模型擴(kuò)散模型 統(tǒng)計模型統(tǒng)計模型 模擬模型等模擬模型等數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例示例示例1. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題分析問題分析: 把椅子往不平的地面上一放，把椅子往不平的地面上一

2、放，通常只有三只腳著地（通常只有三只腳著地（放不穩(wěn)放不穩(wěn)），但），但只需挪動幾次，就可以使四只腳同時只需挪動幾次，就可以使四只腳同時著地（著地（放穩(wěn)了放穩(wěn)了）。我們能否將這個問）。我們能否將這個問題抽象出用數(shù)學(xué)語言給以描述并證明題抽象出用數(shù)學(xué)語言給以描述并證明之？之？ 模型假設(shè)模型假設(shè) 四條腿一樣長，椅腳與地面點接四條腿一樣長，椅腳與地面點接 觸，四腳連線呈正方形，椅子中心不動觸，四腳連線呈正方形，椅子中心不動 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面連續(xù)曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。少三只腳同時著地。

3、 用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來系表示出來椅子位置椅子位置椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，椅子位置的改變對應(yīng)于正方形繞中心的椅子位置的改變對應(yīng)于正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表旋轉(zhuǎn)，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置（如圖）。示椅子的位置（如圖）。四只腳著地四只腳著地可以各椅腳離地面的距離表示，椅腳著可以各椅腳離地面的距離表示，椅腳著地距離為零；在地面平滑一定的情況下，地距離為零；在地面平滑一定的情況下，各椅腳離地面的距離是其位置的函數(shù)；各椅腳離地面的距離是其位置的函數(shù)；由于正方形的中

4、心對稱性，只要設(shè)兩個由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離即可。距離即可。ABCDOA B C D xyf( )A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( ) 表示表示B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地對任意對任意 , f( ), g( )至少至少一個為一個為0已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) =

5、 g( 0) = 0.模型求解模型求解將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) ，即即對角線對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因為因為f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.090數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例 示例示例2. 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題

6、問題(智力游戲智力游戲) 三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小船只能容三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由它們自己劃行。隨從們密約納二人，由它們自己劃行。隨從們密約, 在河的任一岸在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨就殺人越貨. 但是乘船渡河的但是乘船渡河的方案由商人決定方案由商人決定. 商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河?問題分析問題分析 多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程狀態(tài)狀態(tài) 某一岸的人員狀況某一岸的人員狀況決策決策 船上的人員狀況船上的人員狀況問題可表述為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安問題可表述為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河

7、條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河全渡河條件），確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目的的目的模型構(gòu)成模型構(gòu)成 第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù) 第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)kxkyk=1,2, , =0,1,2,3; =( , ) 過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)kSS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2kxkykxky 第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)kukvk=1,2, , =0,1,2；kukv =( , ) 表示決策表示決策kukvkd允許允許決策決策集合集合 D=(u

8、 , v) u+v=1, 2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律 1( 1)kkkkSSd 多步?jīng)Q策問題多步?jīng)Q策問題 求求 ，使，使 , 并并按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 到到 達(dá)達(dá) (1,2,., )kdD knkSS1(3,3)S 1(0,0)nS窮舉法窮舉法kdxy3322110d11d1允許決策允許決策 是是沿方格線移動沿方格線移動1或或2格，格， 為奇為奇數(shù)時向左、下數(shù)時向左、下方移動，方移動， 為偶為偶數(shù)時向右、上數(shù)時向右、上方移動，方移動，kk數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例示例示例3 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長問題的背景：問題的背景： 人口增長是當(dāng)前世界上普遍關(guān)注的問題，我們經(jīng)?？吹交蚵牭接嘘P(guān)人口

9、增長的預(yù)報，說到本世紀(jì)末，或下世紀(jì)中葉，世界（或某地區(qū)）人口將達(dá)到多少多少億，這些說法是否可信？有何依據(jù)？下面就建立數(shù)學(xué)模型來探討這個問題。問題的提出：已知過去幾十年世界（或某地區(qū)）人口統(tǒng)計數(shù)問題的提出：已知過去幾十年世界（或某地區(qū)）人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型預(yù)測今后幾年或幾十年的人口狀據(jù)，試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型預(yù)測今后幾年或幾十年的人口狀況。況。世界人口增長概況世界人口增長概況 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964

10、1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0年年17901800181018201830184018501860人口人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年年18701880189019001910192019301940人口人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年年195019601970198019902000人口人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4 美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)一、指數(shù)增長模型一、指數(shù)增長模型馬爾薩斯提

11、出馬爾薩斯提出 (1798)指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型2. 基本假設(shè)：基本假設(shè)：0(0)xx記記 x(t) 第第t年的年的人口人口總數(shù)總數(shù) r 人口人口(相對相對)增長率增長率()( )( )xx ttx trx ttt由基本假設(shè)得由基本假設(shè)得()(1) ( )x ttr t x t 或或 (1)0(0)xx0(1)1)xr x（20(2)(1) (1)(1)xr xrx0( )(1)tx tr x (2)0t dxrxdt0(0)xx （3）0( )rtx tx e （4） 如果如果r很?。ê苄。╮1) 時，則時，則1rer 00( )()(1)rttx tx exr （5）（4）式表示人口按

12、指數(shù)規(guī)律隨時間增長，稱為）式表示人口按指數(shù)規(guī)律隨時間增長，稱為指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型（5）式表明最簡單的人口預(yù)測模型）式表明最簡單的人口預(yù)測模型（2）是指數(shù)增長模型（）是指數(shù)增長模型（4）的離散近似形式。）的離散近似形式。r0 xyrta如何利用已有數(shù)據(jù)估計如何利用已有數(shù)據(jù)估計 和和 ？將（將（4）式取對數(shù)得）式取對數(shù)得lnyx0lnax（5） 利用最小二乘擬合，經(jīng)利用最小二乘擬合，經(jīng)MATLAB軟件計算得軟件計算得以以1790年至年至1900年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果 00.2743/104.1884rx年， 以以1790年至年至2000年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果年的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果 00.202

13、2/106.0450rx年， 指數(shù)增長模型擬合圖形指數(shù)增長模型擬合圖形 （a）1790年至年至1900年年 （b）1790年至年至2000年年可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不能預(yù)測可用于較長期的人口增長不能預(yù)測可用于較長期的人口增長 過程過程 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律二、阻滯增長模型二、阻滯增長模型(Logistic模型模型)且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，r( )x t( )r x( ),(0,0)r xrsx rsr 稱為稱為固有增長率固有增長率(x很小時很小時)(2) 自然資源和環(huán)境條件年容納的最

14、大人口自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口 數(shù)量數(shù)量mx（6）mxx()0mr xmrsx( )(1)mxr xrx于是于是 （7）模型（模型（3）變?yōu)椋┳優(yōu)?(1)(0)mdxxrxdtxxx （8）0( )1 (1)mrtmxx txex （9）/2mxmx Logistic模型模型 曲線曲線/dx dtx Logistic模型模型xt曲線曲線mxr/dx dtrsxxmrsx （10）r=0.2557, =392.1mx利用利用MATLAB軟件計算得軟件計算得 阻滯增長模型擬合圖形阻滯增長模型擬合圖形(2000)267.94x 實際數(shù)據(jù)實際數(shù)據(jù) 281.4 誤差誤差 4.8% 6. 模型應(yīng)

15、用模型應(yīng)用 預(yù)報美國預(yù)報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)r=0.2490, =434.0mx x(2010)=306.0問題分析假設(shè)數(shù)學(xué)模型模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用符合實際符合實際 不符合實際不符合實際 問問題題分分析析了解實際背景了解實際背景明確建模目明確建模目的的 搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè) 用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題模模型型建建立立發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具模模型型求求解解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型模型應(yīng)用應(yīng)用用已建立的模型分析、解釋已用已建立的模型分析、解