2013高考數(shù)學(xué)三輪沖刺押題基礎(chǔ)技能闖關(guān)奪分必備空間中的垂直關(guān)系(含解析)

1、 空間中的垂直關(guān)系 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1 掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問 題。 2. 線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于 利用轉(zhuǎn)化思想。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. “直線I垂直于平面:-內(nèi)的無數(shù)條直線”是I丄”的 _ 條件。 2 如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。 3. 已知:-、一:是兩個(gè)平面，直線丨二，1二-.若以I _，I 一：，亠I “中兩個(gè)為條 件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是 2 _ 個(gè)。 4. 在正方體中， 與正方體的一條對(duì)角線垂直的面對(duì)角

2、線的條數(shù)是 _6 _ 。 5. 兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系 是 _ 平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) _ 。 6. _ 在正方體 ABCD-ABIGU中，寫出過頂點(diǎn) A 的一個(gè)平面_ABD _ ，使該平面與正方 體的 12 條棱所在的直線所成的角均相等 (注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所 有可能的情況)。 【范例導(dǎo)析】 例 1.如圖，在四棱錐P-ABCD ,底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL底面ABCDPD=DCE是PC的 中點(diǎn)，作EF丄PB交PB于點(diǎn)F. (1) 證明PA/平面EDB (2)證明PB丄平面EFD 解析：本小題考查直線與平

3、面平行，直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象 能力和推理論證能力. 證明：(1)連結(jié) AC AC交BD于 0,連結(jié)EO .底面ABCDE正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在PAC中，E0是中位線， PA/ EO 而EO 平面EDB且 PA二平面EDB 所以，PA/ 平面EDB (2) v PDL底面 ABCD1 DC 底面 ABCD： PD _ DC PD=DC可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線， DE _ PC. 同樣由PDL底面ABCD得PDL BC 底面 ABCDI正方形，有DCL BC - BCL平面PDC 而DE 平面PDC： BC_DE. 由和推得 DE _平面PBC 而

4、PB 平面PBC： DE _ PB 又EF _ PB且DE EF = E，所以PBL平面EFD 例 2 .如圖， ABC為正三角形，EC丄平面 ABC, BD / CE , CE = CA = 2 BD , M是EA的中點(diǎn)， 求證：(1) DE = DA ; (2)平面BDM丄平面ECA; :-:*- r?:*Xa;*; w :*:*;:*:II xv:(3)平面DEA丄平面ECA 分析：(1)證明DE = DA，可以通過圖形分割，證明 DEFDBA (2)證明面面垂直的關(guān) 鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由( 1)知DM丄EA，取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、 NB，易得四邊形 MNBD是矩形

5、。從而證明 DM丄平面ECA 證明：(1)如圖，取EC中點(diǎn)F，連結(jié)DF / EC丄平面ABC, BD / CE，得DB丄平面 ABC。 DB 丄 AB EC 丄 BC 1 / BD / CE , BD = CE = FC , 2 則四邊形FCBD是矩形，DF丄EC 又 BA = BC = DF , Rt DEF也 Rt ABD，所以 DE = DA (2)取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、NB , 1 M是EA的中點(diǎn)， MN EC 2 A 由BD竺1 EC，且BD丄平面ABC，可得四邊形 MNB是矩形，于是 DM丄MN 2 / DE = DA , M 是 EA 的中點(diǎn)， DM丄 EA .又 EA MN=

6、 M , DM丄平面ECA，而DM二平面BDM，則平面ECA丄平面BDM (3) DM丄平面 ECA, DM 二平面 DEA, 平面DEA丄平面ECA 點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例 3.如圖，直三棱柱 ABC- A1B1C中，AC = BC = 1, / ACB= 90, AA =* 2 , D 是 AB 中點(diǎn). (1) 求證CD丄平面A1B ； (2)當(dāng)點(diǎn)F在BB上什么位置時(shí), 會(huì)使得AB丄平面CDF ?并證明你的結(jié)論。 平面垂直判定定理可得 CD丄平面AB。(2)由(1 )得CD丄AB，只要 過D作AB的垂線，它與BB的交點(diǎn)即為所求的 F點(diǎn)位置。 證明：

7、(1)如圖，T ABC-ABC是直三棱柱， 分析: (1)由于CD所在平面ABC垂直平面A B，只要證明0D垂直交線 A B，由直線與 又D是AB的中點(diǎn)， CD丄AB。 AiC = BC = 1，且/ AQB = 90。 AA丄平面ABC , CD u 平面ABC , AA 丄C D , CD 丄平面 AAB Bo (2)解：作 DE丄AB交AB于E，延長 DE交BB于F，連結(jié) CF，則AB丄平面 CDF , 點(diǎn)F即為所求。 C D丄平面 AABB，AB二平面AAB B , Ci D 丄AB .又 AB 丄 DF , DF CD = D , AB丄平面C DF o 點(diǎn)評(píng)：本題(1 )的證明中，

8、證得 CD丄AB后，由 AB( Ai B C是直三棱柱知平面 CA B丄 平面AABi B，立得CD丄平面AABi B。(2)是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分 析問題。 備用題.如圖，邊長為 2 的正方形ABCDK (1 )點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將AAEDJDCF分別沿DE ,DF折起，使代C 兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A ，求證：AD _ EF . 1 (2)當(dāng)BE =BF = BC時(shí)，求三棱錐 A - EFD的體積. B F C F 變式題.如圖，在矩形ABCD中，AB =2, AD =1 ,E是CD的中點(diǎn)，以AE為折痕將.DAE 向上折起，使 D為D ，且平面DAE_平面ABC

9、E .求證：AD1EB ; 解：在 Rt BCE 中，BE 二 BC2 CE2 二 2 , 在 Rt AD E 中，AE =、： D A2 D E2 =$2 , / AB2 =2=BE2 AE2 , AE _ BE A 平面AED 平面ABCE，且交線為 AE , BE _ 平面 AED AD 平面 AED , 【反饋演練】 1 .下列命題中錯(cuò)誤的是 （3）。 （1 ）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （2） 若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直 （3） 若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （4） 若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的

10、射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2. 設(shè)x, y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 x_z，且y_z,則x/y”為真命題的是 （填所有正確條件的代號(hào)） x為直線，y, z為平面 x, y, z為平面 x, y為直線，z為平面 x, y為平面，z為直線 x, y, z為直線 3. 二面角a aB的平面角為 120,在面a內(nèi)，AB 丄 a 于 B, AB=2 在平面B內(nèi)，CDLa 于 D, CD=3, BD=1, M 是棱 a 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 AM+C 啲最啲最小值為 26。 4. 已知三棱錐 P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的射影 0是三角形ABC的內(nèi)心，關(guān)于這個(gè)

11、三棱錐 有三個(gè)命題：側(cè)棱 PA =PB =PC ;側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直；各側(cè)面與底面所成的 二面角相等。其中錯(cuò)誤的是 。 5. _ 在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有 _ 4 _ 個(gè)。 6. 若AB的中點(diǎn)M到平面:-的距離為4 cm，點(diǎn)A到平面的距離為6cm，則點(diǎn)B到平面:- 的距離為 2 或 14 _ cm。 7. _ 三棱錐P - ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，底面 ABC內(nèi)一點(diǎn)S到三個(gè)側(cè)面的距離 分另U是2、3、6，那么PS =_ 。 &在球面上有四個(gè)點(diǎn) P、A B、C,如果 PA、PB PC 兩兩互相垂直，且 PA=PB=PC=a 那么這個(gè)球 面的表面積

12、是3二a2 . 9. 命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題A的等價(jià)命題 B可以是：底面為正三角形，且 _ 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等 ） 10. a、B是兩個(gè)不同的平面， m n是平面a及B之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷： mL na丄B n丄B ml a 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論， 寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： _ 。 答案：ml a , n 丄 B, aLB = ml n 或 ml n, nL a , n 丄3 = a L 3 11. 已知三棱錐 P ABC 中，PC 丄底面 ABC AB=BC

13、 D F 分別為 AC PC 的中點(diǎn)，DE! AP 于 E. （1）求證：AP 丄平面 BDE(2) 求證：平面 BDE (3) 若 AE： EP=1 : 2,求截面 BEF 分三棱錐 P ABC 所成兩部分的體積比. 解：.(1 )T PC 丄底面 ABC, BR 平面 ABC 二 PC 丄 BD 由 AB=BC D 為 AC 的中點(diǎn)，得 BDL AC.又 PCA AC=C / BD 丄平面 PAC 又 PAU 平面、 PAC BD 丄 PA 由已知 DEL PA, DEH BD=D 二 AP 丄平面 BDE (2) 由 BD 丄平面 PAC DEu平面 PAC 得 BD 丄 DE 由 D

14、F 分別為 AC PC 的中點(diǎn)，得 DF/AP . 由已知，DEL AP,. DEI DF. BD H DF=D DE!平面 BDF 又丁 DEU 平面 BDE 二平面 BDEL 平面 BDF (3) 設(shè)點(diǎn) E 和點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離分別為 hi和 h2.貝U h i : h2=EP： AP=2： 3, VP _EBF _VE_PBF Vp _ABC VA _PBC 3 hi S PBF 2 1 3 2 一 h2 S. PBC 3 故截面 BEF 分三棱錐 P ABC 所成兩部分體積的比為 1 : 2 或 2 : 1 點(diǎn)評(píng)：值得注意的是,“截面 BEF 分三棱錐 P ABC 所成兩部

15、分的體積 比”并沒有說明先后順 序，因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè) ，不要犯這種“會(huì)而不全”的錯(cuò)誤 12. 在直角梯形 ABCD 中, Z A=Z D=90 , ABCD SDL 平面 ABCD AB=AD=a S D=* 2a，在 線段 SA 上取一點(diǎn) E (不含端點(diǎn))使 EC=AC 截面 CDE 與 SB 交于點(diǎn) F。 (1) 求證：四邊形 EFCD 為直角梯形； CD (2) 設(shè) SB 的中點(diǎn)為 M 當(dāng)C 的值是多少時(shí)，能使 DMC AB 為直角三角形？ 請(qǐng)給出證明. 解：(1)v CD/ AB AB二平面 SAB CD/平面 SAB 面 EFCH面 SAE=EF, CD/ EF / . D =90 ,. CD _AD, 平面 BDF 又 SD _面 ABCD - SD _CD . CD 平面