混凝土徐變次內(nèi)力計算的換算彈性模量法

1、第三節(jié)混凝土徐變次內(nèi)力計算的換算彈性模量法、徐變次內(nèi)力概念（一）名詞定義1 、徐變變形在長期持續(xù)荷載作用下，混凝土棱柱體繼瞬時變形e （彈性變形）以后，隨時間 t長而持續(xù)產(chǎn)生的那一部分變形量，稱之為徐變變形c,如圖2-4-16所示。棱柱體的徐變變形圖 2-4-162、徐變應(yīng)變單位長度的徐變變形量稱為徐變應(yīng)變c,它可表示為徐變變形量c與棱柱體長度I比值，即(2-4-15)3 、瞬時應(yīng)變瞬時應(yīng)變又稱彈性應(yīng)變e，它是指初始加載的瞬間所產(chǎn)生的變形量e與棱柱體長度之比，即(2-4-16)4、徐變系數(shù)徐變系數(shù)是自加載齡期0后至某個t時刻，在棱柱體內(nèi)的徐變應(yīng)變值與瞬時應(yīng)變（彈性應(yīng)變）值的比值，可表示為(t,

2、0) c / e(2-4-17a)(2-4-17)c e (t,0)（二）徐變次內(nèi)力超靜定混凝土結(jié)構(gòu)的徐變變形當受到多余約束的制約時，結(jié)構(gòu)截面內(nèi)將產(chǎn)生附加內(nèi)力，工程上將此內(nèi)力稱為徐變次內(nèi)力?，F(xiàn)舉一個最簡單的例子來說明。設(shè)圖2-4-17a中的兩條對稱于中線的懸臂梁，在完成瞬時變形后，懸臂端點均處于水 平位置，此時，懸臂根部的彎矩均為M也。隨著時間的增長，該兩個懸臂梁的端部，2將發(fā)生隨時間t而變化的下?lián)狭縯和轉(zhuǎn)角t （圖2-4-17a），盡管如此，直到徐變變形終止,該梁的內(nèi)力沿跨長方向是不發(fā)生改變的。圖2-4-17徐變變形與徐變次內(nèi)力現(xiàn)在再考察圖2-4-17C的情況，當兩懸臂端完成瞬時變形后，立即

3、將合攏段的鋼筋焊接和澆筑接縫混凝土，以后雖然在接縫處仍產(chǎn)生隨時間變化的下?lián)狭縯，但轉(zhuǎn)角t始終為零，這意味著兩側(cè)懸臂梁相互約束著角位移，從而使結(jié)合截面上的彎矩從0 Mt，而根部ql22截面的彎矩逐漸卸載，這就是所謂的內(nèi)力重分布（或應(yīng)力重分布），直到徐變變形終止。結(jié) 合截面上的Mt就是徐變次內(nèi)力，但它與根部截面彎矩的絕對值之和仍為由此可見，靜定結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生徐變變形，而不產(chǎn)生次內(nèi)力，但當結(jié)構(gòu)發(fā)生體系轉(zhuǎn)變而成 為超靜定結(jié)構(gòu)時，由于徐變變形受到了約束才會產(chǎn)生隨時間t變化的徐變次內(nèi)力。、徐變系數(shù)表達式（一）三種理論為了計算結(jié)構(gòu)徐變變形和徐變次內(nèi)力，就需要知道徐變系數(shù)變化規(guī)律的表達式。根據(jù)一些學(xué)者的長期觀察和

4、研究，一致認為徐變系數(shù)與加載齡期和加載持續(xù)時間兩個主要因素有 關(guān)。所謂加載齡期是指結(jié)構(gòu)混凝土自養(yǎng)護之日起至加載之日之間的時間間距，它用i表示,i=0, 1, 2，單位以天計；所謂持續(xù)荷載時間是指自加載之日t起至所欲觀察之日t的時間間距，即t。但是，在采用具體的表達式時，卻提出了三種不同的觀點，即三種理論。1老化理論該理論認為：不同加載齡期的混凝土徐變曲線在任意時刻t(t )，其徐變增長率相同。如圖2-4-18a所示。其中任意加載齡期的混凝土在t時刻的徐變系數(shù)計算公式為(t, )(t, 0)( , o)式中:(2-4-18)(t, 0)加載齡期°時的混凝土至t(t )時刻的徐變系數(shù)；(

5、,°)加載齡期°時的混凝土至(°)時的徐變系數(shù)。圖2-4-18三種徐變理論曲線2、先天理論2-4-18b所示。其中該理論認為：不同齡期的混凝土徐變增長規(guī)律都是一樣的，如圖任意加載齡期的混凝土在t時刻的徐變系數(shù)計算公式為(t, )°(t )( 2-4-19 )式中： 0(t) 以 0為原點的徐變基本曲線上，加載持續(xù)時間為 t 的徐變系數(shù)。3、混合理論 兼有上述兩種理論特點的理論稱混合理論，試驗研究表明，老化理論比較符合初期加 載情況，先天理論比較符合后期加載情況，如圖 2-4-18c 所示。(二)徐變系數(shù)的表達式1、按老化理論的狄辛格表達式 狄辛格在 20

6、 世紀 30 年代提出了表達徐變變化規(guī)律的基本曲線為(t,0)( ,0)(1 e t) (2-4-20 )當該式與老化理論結(jié)合起來，便得到(t, )( , ) 1 e (t ) ( 2-4-21 )式中：(t,o)加載齡期0的混凝土在t ( t >T )時的徐變系數(shù)；( ,0) 加載齡期0 的混凝土在 t 時的徐變系數(shù)終值；徐變增長系數(shù)，在冬季零下溫度較長地區(qū)取=12,常溫地區(qū) =2 -4；( , ) 加載齡期 的混凝土在 t 時的徐變系數(shù)終值, ( , ) ( ,0)e 。該式曾在我國幾座大橋的設(shè)計中得到了應(yīng)用。2、按先天理論的狄辛格表達式 當式( 2-4-20 )與先天理論結(jié)合起來,

7、便得到(t, )( ,0) 1 e (t )( 2-4-22 )該式由于缺乏實測資料印證,故在工程上較少應(yīng)用。三、結(jié)構(gòu)混凝土的徐變變形計算(一)基本假定 當計算由混凝土徐變引起的結(jié)構(gòu)徐變變形時,一般采用下列基本假定：1 、不考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)配筋的影響；2、混凝土的彈性模量假定為常值；3、采用徐變線性理論,即徐變應(yīng)變與應(yīng)力成正比關(guān)系的假定,由此可以應(yīng)用“力的獨 立作用原理”和“應(yīng)力與應(yīng)變的疊加原理” 。(二)靜定結(jié)構(gòu)在恒定荷載條件下的徐變變形計算現(xiàn)用圖 2-4-19 所示的等截面懸臂梁作為例子進行闡明。圖2-4-19不變荷載作用下的徐變變形設(shè)e和e分別為懸臂梁端部作用有恒定垂直力P和恒定彎矩M時的彈性

8、(瞬時)撓度和端轉(zhuǎn)角，c(t,)和c(t,)分別為相應(yīng)的加載齡期為且持續(xù)到t時刻的徐變撓度和徐變端轉(zhuǎn)角(圖2-4-19 )。于是便有下列關(guān)系式，即c(t, ) (t, ) e p e (t,) c(t, ) (t, ) e M - (t,)式中：e 單位力P=1時，在其作用方向上的位移；： 單位力矩 M=1時，在作用方向上的轉(zhuǎn)角。按照結(jié)構(gòu)力學(xué)中的虛功原理，一e和：可以表示為：1Ldx o El 1 Mjd dx O El(2-4-23)e11e22(2-4-24)式中的M1和M2分別為P=1和M=1時懸臂梁的內(nèi)力分布圖(圖2-4-19c,d )。將式(2-4-24)代入式(2-4-23 )便有

9、c(t, ) Pc(t, ) M應(yīng)dxO Elo El(t,)(t,)(2-4-25)(三) 靜定結(jié)構(gòu)在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形計算本節(jié)前面介紹了隨時間 t變化的徐變次內(nèi)力概念。現(xiàn)在以圖2-4-20所示先簡支后連續(xù)的兩等跨連續(xù)梁作為例子來闡明靜定結(jié)構(gòu)在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形。從中支點截開，取兩跨簡支梁(靜定結(jié)構(gòu))作為基本結(jié)構(gòu)，如圖2-4-20b所示。由于該結(jié)構(gòu)是采用先分兩跨有支架施工而后合攏的體系轉(zhuǎn)換方法，故在此切口處的初始恒載彎矩M0 0,基本結(jié)構(gòu)上只有垂直恒載q和隨時間變化的贅余次力矩M(t)的作用。為了分析上的簡單起見，暫假定左、右簡支梁的徐變系數(shù)(t,)相同，這樣

10、，參照圖2-4-20，M(t)便可以應(yīng)用兩種方法求解：一個是建立微分方程式的狄辛格法；另一個是建立代數(shù)方程式的特勞斯德巴曾法。cC)圖2-4-20變化荷載下的徐變變形應(yīng)用狄辛格法時，在時間增量dt內(nèi)，切口兩側(cè)變形增量的協(xié)調(diào)方程則為M(t) 22 d dM(t) 22 2qd 0( 2-4-26)應(yīng)用巴曾法時，在任意時刻t時，切口兩側(cè)的變形協(xié)調(diào)方程則為M(t) 22(1) 2q 0( 2-4-27)式中：22, 2q 在切口處分別由單位力矩M 1和恒載q引起截面兩側(cè)的相對彈性角位移;（t,）老化系數(shù)，又稱時效系數(shù)，它是考慮結(jié)構(gòu)次內(nèi)力的徐變因混凝土的老化而逐漸衰減的一個折減系數(shù)，其值小于1。d 時

11、間增量dt內(nèi)的徐變系數(shù)增量從以上二式不難看出，式（2-4-26 ）在理論上是比較精確的，但當結(jié)構(gòu)為高次超靜定， 且各梁段的徐變系數(shù)（t,）又不相同時，必須建立龐大的微分方程組，求解十分困難。式（2-4-27）中的第二項是代表在t時刻由恒載q在切口處產(chǎn)生的相對徐變角位移，而第一項是代表同一時刻由徐變次內(nèi)力M（t）在切口處產(chǎn)生的總的相對角位移，它可表為c（t, ） M（t） 22（1）（ 2-4-28）它是將M（t）假想地視為不隨時間t變化的贅余力，通過老化系數(shù) （t,）修正徐變系數(shù) （t,） 以后，求得該次內(nèi)力產(chǎn)生的總變形。但是在該式中卻有兩個未知量，即M（t）和（t,），故不能求解。為此，我國

12、的金成棣教授采取聯(lián)立混合求解的方法，具體的思路是應(yīng)用式（2-4-26）求解M（t），再將它代入式（2-4-27），便得到關(guān)于 （t,）的一般表達式，解得這個未知量后，再求解線性代數(shù)方程組就不成問題了。則得F面簡單介紹關(guān)于式（2-4-26）的求解。首先用22除全式，且令MedM(t) M(t) Med注意到dMe=0,則上式可以寫成dM（t） MeM（t） Me此微分方程的解為lnM( t) Me（常數(shù)）利用圖2-4-20e，f中的邊界條件，當t時，貝y M(t)=0，(t, )=0便解得常數(shù)C為ln(M e)再將式（d）代入式（c）后，則得M(t)(1 e )Me式（2-4-27）也可以改寫成

13、如下的形式M(t)Me聯(lián)立解式（e），（ f），便得到老化系數(shù)(t,(t,)）的一般表達式為:1(a)(b)(c)(d)(e)(f)(2-4-29)最后，參照式（2-4-24）,則完全可以應(yīng)用式（2-4-28）計算出在隨時間t變化的M（t）荷載下切口處的徐變變形1 m22t c(t, ) M(t) (2 odx)1(t, )(t, )(2-4-30)(四) 換算彈性模量概念為了便于應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法來求解超靜定結(jié)構(gòu)的徐變次內(nèi)力問題，引入兩個廣義 換算彈性模量：1、應(yīng)用在不變荷載下徐變變形的換算彈性模量(t,)(2-4-31)2、應(yīng)用在隨t變化荷載下徐變變形的換算彈性模量E1 (t, ) (t

14、,)(2-4-32)曰是,式( 2-4-25 )和式(2-4-30c(t,)可以寫成：1 Mi2.-dx 0 E I(2-4-33)c(t，c(t,M(t) 2(2-4-34)以上各式中，E為混凝土的彈性模量，其余符號意義同前。四、超靜定梁的徐變次內(nèi)力計算(一) 計算方法目前，計算超靜定梁的徐變次內(nèi)力的方法有以下幾種：1、狄辛格方法；2、擴展狄辛格方法；3、換算彈性模量法；4、以上述理論為基礎(chǔ)的有限元法等。本節(jié)重點介紹換算彈性模量法計算徐變次內(nèi)力的原理和步驟，其余方法可參閱有關(guān)專 著。(二) 換算彈性模量法1、原理上面已經(jīng)介紹了關(guān)于按換算彈性模量計算靜定結(jié)構(gòu)的徐變變形問題。對于超靜定結(jié)構(gòu)所選取

15、的基本結(jié)構(gòu)，其被截開的截面或者被移去的多余支點(簡稱贅余聯(lián)系)處，除了加上荷載產(chǎn)生的贅余力 X夕卜，還要施加隨時間t變化的徐變贅余力 Xt，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件， 將所有外荷載及贅余力(X和Xt)在贅余力處產(chǎn)生的徐變變形之和使之為零，即i 0( 2-4-35)便可求得徐變次內(nèi)力，只是在計算外荷載以及贅余聯(lián)系處的內(nèi)力X所引起的徐變變形時，其換算彈性模量應(yīng)取 E 按式(2-4-31)，在計算由待定的徐變贅余力Xt所引起的徐變變形時，其換算彈性模量應(yīng)取E 按式(2-3-32)，其余計算同一般力法原理。2、計算步驟對于同樣一座連續(xù)梁，可以按照一次現(xiàn)澆成橋的方式施工，也可以采用先簡支后連續(xù)或者懸臂澆筑法

16、等多種施工方式成橋。施工方法的不同，各節(jié)段的加載齡期就不相同， 因此 其徐變次內(nèi)力也就不相同。不論采用哪種成橋方式，其一般計算步驟可以大致歸納如下:(1) 選取基本結(jié)構(gòu)的計算圖式。(2 )按不同施工階段計算贅余聯(lián)系處的恒載內(nèi)力(3) 在贅余聯(lián)系處施加以下的作用力：Xi ；(t,)按式(2-4-29 ) 、E 按式a. 按第(2)步驟算得的恒載內(nèi)力的總和b. 待定的徐變次內(nèi)力 Xit 。(4) 根據(jù)已知條件分別計算各梁段的老化系數(shù)(2-4-31 )和 E 按式(2-4-32 )。(5) 按換算彈性模量和圖乘法分別計算所有恒定外力及徐變贅余力在贅余聯(lián)系處產(chǎn)生的變位，即iitMi2 li E Idx

17、常變位：載變位：(6)解力法方程組iit Xit21t X2tijtiP12tX2t22tX2tMiM ,-jdx E IMPMi dxE I1P 02P 0(2-4-36 )(2-4-37 )(7)按解得的徐變次內(nèi)力 Xt分別計算各梁段的內(nèi)力及變位。(8 )將各施工階段的恒載內(nèi)力和變形與第7步驟的計算結(jié)果迭加，便得整個結(jié)構(gòu)總的 受力和變形狀態(tài)。3、計算示例例2-4-3兩等跨等截面連續(xù)梁每跨跨長I =48m采用先預(yù)制吊裝后合攏固結(jié)的施工方法，左半跨的徐變系數(shù)i（ , ） 1，右半跨的徐變系數(shù)2（ , ）2，作用于橋上的均布恒載q=10kN/m（預(yù)制梁自重），如圖2-4-21所示，試求t時中支點

18、截面的徐變次力矩。*圖2-4-21 示例2-4-3的計算圖式解：計算步驟如下：（1）選取從跨中斷開的兩跨簡支梁作為基本結(jié)構(gòu)，由于合攏時，該截面的彎矩和剪力 均為零，即X1 X20 。Mt (圖 2-4-21b )。（2）在贅余聯(lián)系處僅施加一個贅余力，即待定的徐變次內(nèi)力（3）計算時效系數(shù)及換算彈性模量1(，）111e 112(，）111e 22E 1EE,E 21(,)EE111（,)1(,)EE212(7)2(,)11c “c1 e 11u.uoz.1 10.6571 e22EE0.5E2(,)2E0.632E10.5821E-0.432E1 0.657 2（4）常變位和載變位計算（圖乘法）2

19、2t1-1 1 48 21 1 1 48 2162.35丄EIE 1IE 2I 2 '3231211 2112P482880 -482880 -138240E 1I32E 2I 32EI(5)解力法方程62.35Mt 1382400Mt2217kN m彎矩M即為徐變完成后中支點的最終彎矩，此算例表明對于先簡支后連續(xù)結(jié)構(gòu)，徐變 將引起支點負彎矩增大，而跨中正彎矩減小。例2-4-4兩等跨等截面連續(xù)梁，跨長為2X20m,按圖2-4-22a,c的圖式分兩階段施工，中支點兩側(cè)采用對稱懸澆法，兩端采用在支架上進行合龍，設(shè)中間梁段的徐變系數(shù)1( , ) 1，兩端梁段的徐變系數(shù)2( , ) 2，自重均布荷載q =10kN/m, E, I分別為該結(jié)構(gòu)的彈性模量和截面抗彎慣矩，試求t時在中支點截面的總彎矩。解：計算步驟如下：(1) 取圖2-4-22e所示的兩跨簡支梁作為基本結(jié)構(gòu)，應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法計算出兩個施工階段在中支點截面產(chǎn)生的初始彎矩M 01280 39.21319.2 kN m。(2) 由于徐變系數(shù)與例 2-4-3相同，故換算彈性模量也相同，即E 1 E E 20.5EE 10.632E E 20.432E圖2-4-22 例2-4-4的計算圖式(3)常變位與載變位計算由于結(jié)構(gòu)及荷載均為對稱的，故常變位和載變位可取其中一跨進行計算，計算中部分利