平面向量題型歸納

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持平面向量題型歸納向量有關(guān)概念：【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】uurr1,向量的概念：既有大小又有方向的量，記作：AB或a。注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。uuur例：已知A（1,2）,B（4,2）,則把向量AB按向量a=（1,3）平移后得到的向量是uurr2 .向量的模：向量的大?。ɑ蜷L度），記作：|人8|或|2|。3 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,注意零向量的方向是任意的；rruuu4 .單位向量：單位向量：長度為1的向量。若e是單位向量，則|e|1。

2、（與AB共線的單uuu位向量是碑）；|AB|5 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；6 .平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a/b,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：/相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；/兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r/平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）;uuuuuur/三點(diǎn)A、B、C共線AB、AC共線；如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（）uuruuiruuruuuruuurA.ABCDB.ABADB

3、DuuuruuuuuuruuuuuurC.ADABACD.ADBC0uuruuu7 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a、ABBA。rrrrrrrrrrrrrr例：下列命題：（1）若ab,貝Uab°（2）若ab,bc,貝Uac。（6）若a/b,b/c,rr4uuuuuruuuuur則a/c°（3）若ABDC,則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則ABDC。其中正確的是題型1、基本概念1:給出下列命題:/若131=1,則a=b；/向量可以比較大??；/方向不相同的兩個(gè)向量一定不平行;0；rrrr_，rr-rrrrrrrr-r/若a

4、=b,b=c,則a=c;/右ab,bc,則ac;/0a0;110a其中正確的序號(hào)是。2、基本概念判斷正誤：(1)共線向量就是在同一條直線上的向量。(2)若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。(3)與已知向量共線的單位向量是唯一的。uuruuruuin若AB(4)四邊形ABCD是平行四邊形的條件是ABCD。HJLTCD,則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6)因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量。rrrrrr(7)若a與b共線，b與c共線，則a與c共線。r r r r(8)若 ma mb ,則 a b。r r(9)若 ma na ,則 m n。(io)若a與b不共線，則a與b都不是零向

5、量。r r r r r r (11)若 a b |a| |b|,則 a/b。r r r r rr(12)若 |a b| |a b|,則 a b、向量加減運(yùn)算8 .三角形法則:uuruuuruur uuuuuirjuuruuurABBCAC； ABBCCDDEuur uuu uuurAE ； AB ACuuuCB (指向被減數(shù))9 .平行四邊形法則：rrrrrr以a,b為臨邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為ab,abo題型2.向量的加減運(yùn)算uuuuuiruuuruuiruumn1、化簡(ABMB)(BOBC)OMuuuuuuuur3、在平行四邊形 ABCD中，若 ABuurADuur uurAB

6、AD ,則必有uuir rA. AD 0uuu r uurB. AB 似 ADC.ABCD是矩形D. ABCD是正方形uuu2、已知|OA|5,|OB|3,則|AB|的最大值和最小值分別為題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算r r r r1、計(jì)算：(1) 3(a b) 2(a b)r(2) 2(2ar5br r3c) 3( 2a 3b 2c)題型4.作圖法求向量的和r r1、已知向量a, b,如下圖，請(qǐng)做出向量r3a1b 和 2a 23b。2題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1、已知在 ABC中，D是BC的中點(diǎn),請(qǐng)用向量uur uuurAB,AC表示uuur AD。uuur2、在平行四邊形 ABCD中，已

7、知ACr uuir a, BDr uuu uurb ,求 AB和 AD o題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算.rr1、已知 a (1 4),b3,8)，則 3a1b 2練習(xí)：若物體受三個(gè)力rFir(1,2) ,F2r(2,3), F3( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為2、uur已知 PQ ( 3, 5),P(3,7),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是3、« r、 r.已知 a( 3,4) ， b-r J r r (5,2)，求 a b , a b , 3a 2b o2、ruuu已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2,x 3y 2)與 AB 相等，求 x,y 的值。5、uur uur r uuur已知O

8、是坐標(biāo)原點(diǎn)， A(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0 ,求OC的坐標(biāo)。三.平面向量的基本定理 ：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi) 的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、 2 ,使a= 1eI+ 2以基底：任意不共線的兩個(gè)向量稱為一組基底。題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底u(yù)ruu1、已知G,e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底:ur urr uuurC.ei3e2 和 03eiuu uu ur d.%和為eururrururururuuurA.0弓和00B.3q2%和406目練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是()(A)ei(0，O)

9、，e2(1,2)(B)e1(1,2)，e2(5,7)©e(3,5),e2(6,10)(D)e1(2，3)，e2(_2,4)2、.已知a(3,4),能與a構(gòu)成基底的是()4D.（1, 3）34、，43、，34、A.（-，）B.（,-）C.（一，）5555553、知向量eie2不共線，實(shí)數(shù)(3x-4y)ei+(2x-3y)e2=6ei+3e2，則xy的值等于4、設(shè)ei,e2是兩個(gè)不共線的向量，AB2eke2,CB33e2,CD2ee2,若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.uuruuu5、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,i),B(-i,3)，若點(diǎn)C(x,y)滿足OC=aOA+3

10、uiur,OB,其中印/R且廿3=i,則x,y所滿足的關(guān)系式為()A.3x+2y-ii=0B.(x-i)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0四.平面向量的數(shù)量積：uurruurri.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a,b,作OAa,OBb,AOB0稱為向量a,b的夾角，當(dāng)=。時(shí)，a,b同向，當(dāng)=時(shí)，a,b反向，當(dāng)=時(shí)，a,b垂直。2實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)方向相反，當(dāng)=0時(shí),與向量a的積是一個(gè)向量，記作a,它的長度和方向規(guī)定如下：*>0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的rr-a0,注意：aw口uuiruuuuurruur1rlluir例1、已知AD,B

11、E分別是ABC的邊BC,AC上的中線，且ADa,BEb,則BC可用rr向量a,b表布為例2、已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2DB,CDrABsAC,則rs的值是.rr2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos.rr叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a?b,即a?b=abcos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是3.向量的運(yùn)算律：r r r1 .交換律：abbr r r2 .結(jié)合律：a b cr3 .分配律：a0,注意數(shù)量積是rra,arrr rrrabc,abcrrrraa,ab個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量r r r r ra , a?b b?

12、a ；rrrrrabc ,a ?brrrrrab,ab?cr r r r a?b a? b ;r r r ra ?c b?c。題型8:有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1：判斷下列各命題正確與否：(1) (a b) c a (b c)(3) (a b) c a c b c ； r r rr r(5)右 a 0,a b a c ,則X.7 r b rab a r,則b c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)成立; r r r r . 、 r r rC a (b C)對(duì)任息a, b,C向重都成立； 對(duì)任意向量a,有a2 a 2。(7)m (a b) =ma +mb 其中正確的序一號(hào)是2、下列命題中：/ a (b c) abac；a

13、 (b c) (a b) c ； /(a b)2 |a|2 r r r 2 a c; II a的是2|a| |b| r r r2 a ba 12a| b | ； / 右 a b 0 ,則 a rb r r 2r2 r2 r¥ ; / (a b)a b ; / (aar r r r0 或 b 0； /若 a b c b,貝Ur 2r 2 r r2b)a2a b b °其中正確題型9、求單位向量r【與a平行的單位向量:r阜 |a|r1 .與a (12,5)平行的單位向量是r2 .與m1 1,1)平行的單位向量是rrrrrrab題型10、數(shù)量積與夾角公式：ab|a|b|cos；c

14、os-rr-lalIblrrr2rrr-r向量的模：若a(x,y),則|a|Jx2y2,a|a|2,|ab|J(ab)21、/ ABC 中，| AB | 3, | AC |4, |BC |5 ,則 AB BC r2、已知a1 r1 rrr u"b (0, 2),c a kb,drirc與d的夾角為-,則k等于一 ， r3、已知| a |rrr3,|b | 4 ,且 a與b 的夾角為 60°,求(1) a b , (2) a (arb)，r 1 r r ,八(3) (a -b) b , (4) (2a 2r r rb) (a 3b)。r r4、已知a,b是兩個(gè)非零向量，且r

15、r r r ra b ,則a與a b的夾角為rrrr-5、已知a(J3,1),b(2j3,2),求a與b的夾角。6、已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC。7、已知非零向量a,b滿足ab,b(b2a),則a與b的夾角為uuuUULT8：已知ABC中ABC50o,BCBA,則BA與AC的夾角為rrrrrrrra9：已知向量a與向量b的夾角為120°,若向量c=a+b,且a/c,則十的值為b10：/已知|a|=1|b|=2,A+b1=2,則b與2a-b的夾角余弦值為.11：已知向量a=J2,b=2,a和b的夾角為135,當(dāng)向量a+b與a+b的夾角為銳角時(shí)，求的取值范

16、圍。rir2r2r2題型11、求向重的模的問題如向重的模：右a(x,y),則|a|xxy,a|a|,iabib)1、已知零向量a (2,1),a.b10, a b 5丘則 b2、已知向量a,b滿足同1用2,|ab|2,則Bb3、已知向量a(1,J3),b(2,0),則ab4、已知向量a(1,sin),b(1,cos，則ab的最大值為5、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，(A)8(B)4(C)2(D)16、設(shè)向量a,b滿足a付1及4a3b3,求3a5b的值練習(xí)：已知向量a,b滿足a21bgab3求5b和Zb7、設(shè)向量a,b滿足a1,|b|2,a(a2b),則2ab的值為r-rrr8、已知

17、向量a、b滿足a1,|b|4,則|ab|的最大值是最小值是。題型12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uururn1 .已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|OA|2,xOA150°,求OA的坐標(biāo)。uuruuu2 .已知O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|OA|4V3,xOA600,求OA的坐標(biāo)。rrrr五、平行與垂直知識(shí)點(diǎn)：a/babx1y2x2y1;題型13：向量共線問題1、已知平面向量a(2,3x),平面向量b(2,18)，若a/b,則實(shí)數(shù)x2、設(shè)向量a(2,1),b(2若向量ab與向量c(4,7)共線，則rf*1f3、已知向量a(1,1)力(2,x)若ab與4b2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是()A.

18、-2B. 0C. 1D. 2uuuuuuuuir練習(xí)：設(shè)PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),則k=時(shí)，A,B,C共線5、已知a,b不共線，ckab,dab,如果c/d,那么k=(與的方向關(guān)系是_rrrrrrrrrr練習(xí)：已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且uv,則x=6、已知向量a(1,2),b(2,m),且a/b,則2a3b題型14、向量的垂直問題1、已知向量a(x,1),b(3,6)且ab,則實(shí)數(shù)x的值為2、已知向量a(1,n)力(1,n),若2ab與b垂直，則a練習(xí)：已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b與2a-4b垂直，求實(shí)數(shù)k的值3、已知單

19、位向量m和n的夾角為一，求證：(2nm)m34、a(3,1),b(1,3),C(k,2),若(2db則k練習(xí)：a(1,2),b(2,3),若向量刪足于(ca)/b,c(ab,則c5、以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,B90,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是r題型15、b在a上的投影為|b|cos,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。1、已知|a|3,|b|5,且ab12,則向量a在向量b上的投影為rrrr2、已知a8,e是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為一時(shí)，a在e方向上的投影為3練習(xí)：已知H5刊4，a與b的夾角2-,則向量b在向量a上的投影為題型16、三點(diǎn)共線問題1 .已知 A(0, 2),B(2

20、, 2), C(3,4),求證:A, B, C三點(diǎn)共線。uur , 2 r r uur2 .設(shè) AB(a 5b), BC2r r uur r r2a 8b,CD 3(a b),求證：A B、D 三點(diǎn)共線。uuu r r uuur練習(xí)：已知AB a 2b, BCr r uuurr r5a 6b,CD 7a 2b,則一定共線的三點(diǎn)是3 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若點(diǎn) C(2a 1,a2)在直線AB上，求a的值。4.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常數(shù)t,使uuruuruurOAtOBOC成立？5：3,62是平面內(nèi)不共線兩向量，已知aB

21、白ke2,CB2e1e2,CD39e2,若A,B,D三點(diǎn)共線，則k=6: /設(shè)O是直線l外一定點(diǎn)，A、B、C在直線l上，且OB3OAxOC,x=rrrrrr7：設(shè)a,b是兩個(gè)不共線向量，若a與b起點(diǎn)相同，t/R,t=時(shí)，a,tb,1 rr一，一，一，-(a+b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上。38:如圖，在/ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若AB=mAM,AC=nAN,則m+n的值為.9:在/OAB的邊OA,OB上分別取點(diǎn)M,N,使|OM|心次|=1/3,|ON|/OB|=1/4,設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P,記OA=a,OB=b,用a,b表示向量OP.1

22、1練習(xí)：如圖，在/OAB中，OC=4OA,OD=-OB,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)OA=a,OB=b.(1)用a、b表示OM；(2)已知在線段AC上取一點(diǎn)巳在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過M點(diǎn)，設(shè)Ol=pOA,OF=一，、一13qOB,求證：7p+7q=1.六、線段的定比分點(diǎn)1 .定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)urnruuiruuuruur，使PPPP2,則叫做點(diǎn)P分有向線段PP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段PP2的以定比為的定比分點(diǎn)；2 .的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2的延長線上時(shí)<1；當(dāng)

23、P點(diǎn)在線段P2Pl的延長線上時(shí)10；uuu3uuu例1、若點(diǎn)P分AB所成的比為3,則A分BP所成的比為4uuuu3 .線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)（為，y）、P2（X2,y2）,P（x,y）分有向線段RP2所成的X1X2X比為，則Vi1，特別地，當(dāng)=1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)2yV1V2 °2題型17、定比分點(diǎn)12、若M-3,-2,N6,-1,且MPMN,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為31 uuuuunr3、已知A（a,0）,B（3,2a）,直線y5ax與線段AB交于M,且AM2MB,則a等于r-七、平移公式：如果點(diǎn)P（X,y）按向量ah,k平移至P（X,y）,則XXh；曲線yykrf（X,y）

24、0按向量ah,k平移得曲線f（xh,yk）0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，題型18、平移1、按向量a把（2,3）平移到（1,2）,則按向量a把點(diǎn)（7,2）平移到點(diǎn)2、函數(shù)ysin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1,則a=八、向量中一些常用的結(jié)論(1) 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrrrrrrrrr(2) |a|b|ab|a|b|,特別地，當(dāng)a、b同向或有0|ab|a|b|rrrrr-Jrrrrrrrrrr一|a|b|ab|;當(dāng)a、b反向或有0|ab|a|b|a|b|ab|；當(dāng)a、b不

25、rrrrrr共線|a|b|ab|a|b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似).3)在ABC中，/若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,則其重心的坐標(biāo)為XiX2X3G 3yiyy331、若/ ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2, 1)、(-3, 4)、(-1,-1),則 / ABC 的重心的坐標(biāo)為uuir uuu uuu uuirP PG 1(PA PB PC)3ABC的重心；G為 ABC的重心，特別地uuu uuu uuir rPA PB PC 0P 為uuu uuu uuu uuir P PA PB PB PCuur uurPC PAP為ABC的垂心;uuuuuur/向量(uuuruus)(|AB| |A

26、C|0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是BAC的角平分線所在直線)；uuu uur uuir uuu uuu uur r/1 AB | PC | BC | PA |CA| PB 0P ABC的內(nèi)心;uiuu(3)若P分有向線段PP2所成的比為特別地P為P|P2的中點(diǎn)uuirMPuuuuMP12uuur，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則 mpuuurMP2 .uuuuuuuuMRMP251uuu uuu uur(4)向量 PA PEk PC中二”占I - s 八、A B、C共線存在實(shí)數(shù)uuu 使得PAuur uurPB PC1.如2、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3)，若點(diǎn)C

27、滿足OC1OA2OB淇中1,2R且121,則點(diǎn)C的軌跡是題型19、判斷多邊形的形狀uurruuurruuuruur1.若AB3e,CD5e,且|AD|BC|,則四邊形的形狀是。2.已知 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),證明四邊形ABCD是梯形。ABC是直角三角形。3.已知A(2,1),B(6,3),C(0,5),求證:4、在/ABC中，若BABAABCB0,則/ABC的形狀為A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形5、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),uuruuuuuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC(1,3)，求證:ABC是等腰直角三角形。6、平面

28、四邊形ABCD中,AB a , BC b, CD c, DAabbccdda,判斷四邊形ABCD的形狀.題型20:三角形四心uuvuuvuuvv1、已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P,若PAPBPC0則點(diǎn)P是ABC的()A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心uuuiruuiruuuruuuruuu2.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OAOBOBOCOCOA則O是三角形ABC的()(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心uuu23、已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OAuur2 OBuuur2OC，則O是三角形ABC的( )(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心練習(xí)、已知 O

29、, N, P在 ABC所在平面內(nèi)，且且 PA?PB(A)重心外心(C)外心重心4、/在平面內(nèi)有OAPB?PC PC ? PA ,則點(diǎn) O, N,垂心 (B)重心外心內(nèi)心垂心 (D)外心重心內(nèi)心uu uur uurABC 和點(diǎn) O,若 AB (OA OB)uuuC.內(nèi)心OBP依次是uuu uuAC (OC OA)D.夕卜心OC , NA NBABC 的(NC 0 ，ABC的5、已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足uuruuruuuuuurOPOA(ABAC),R,則動(dòng)點(diǎn)P一定通過ABq()(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心uuruuu6、已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOAuuuuuuruuu+uuur,R,則動(dòng)點(diǎn)P一定通過ABC的()|AB|AC|(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心uuruuu7、已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)