第二節(jié)微積分基本公式ppt課件

1、第五章第五章 定積分定積分第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式引引 言言積分學要解決兩個問題積分學要解決兩個問題:第一個問題是原函數(shù)的求第一個問題是原函數(shù)的求法問題法問題,我們在第我們在第4章已經(jīng)對它做了討論章已經(jīng)對它做了討論;第二個問第二個問題就是定積分的計算問題題就是定積分的計算問題.如果我們要按定積分的如果我們要按定積分的定義來計算定積分定義來計算定積分,那將是十分困難的那將是十分困難的.因而因而,一種計算定積分的有效方法一種計算定積分的有效方法鍵鍵.我們知道我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念作為積分和的極限的概念尋求尋

2、求但是但是,牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系, 即所謂的微即所謂的微便成為積分學發(fā)展的關便成為積分學發(fā)展的關是完全不相干的兩個概念是完全不相干的兩個概念.引引 言言但是但是,牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系, 即所謂的微即所謂的微并由此巧妙地開辟了求定積分的并由此巧妙地開辟了求定積分的- 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式.微分學一起構成變量數(shù)學的基礎學科微分學一起構成變量數(shù)學的基礎學科學

3、學. 牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學的奠基牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學的奠基人而載入史冊人而載入史冊.積分基本定理積分基本定理”,新途徑新途徑從而使積分學與從而使積分學與-微積分微積分考察變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系考察變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 問題的提出問題的提出Introduction)Introduction)(1) ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 即即說明由于位置函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)說明由于位置

4、函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)所以所以1 1式表示，速度函數(shù)的定積分就是其原函式表示，速度函數(shù)的定積分就是其原函數(shù)在區(qū)間上的增量數(shù)在區(qū)間上的增量積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)定義定義 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù),x為為,ba上的變量上的變量, 那么那么dttfxxa)()( 變上限定積分變上限定積分是為定義在區(qū)間是為定義在區(qū)間,ba上的函數(shù)上的函數(shù), 稱其為積分上限稱其為積分上限函數(shù)函數(shù).幾何意義幾何意義 :注注:dttfdxxfxaxa)()( 注意等式左邊作為積分變量的注意等式左邊作為積分變量的x與作為積分上限與作為積分上限x的區(qū)別的區(qū)別.積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù)設函

5、數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), 定義積分上限定義積分上限函數(shù)函數(shù),)()( xadttfx ,bax (1).( x 求求 xadttfdxdx)()( )(xf ).(bxa 補充補充).( )()()(xxfdttfdxdxa 討論討論 )()(?)(xbxadttfdxd).( )()( )()()()(xaxafxbxbfdttfdxdxbxa 例例1解解求求.cos02 xtdtdxd xtdtdxd02cos.cos2x 例例2解解求求.321 xtdtedxd 2323xex 623xex例例3解解設設)(xf是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 試求以下各函數(shù)的導數(shù)試求以下

6、各函數(shù)的導數(shù). xxtfdtexFsincos)(;)(1)(2) xdttxfxF0;)()(2)(1)(xF )(xF .sincos)(cos)(sinxexexfxf .)()(0 xdttfxxf例例4解解設函數(shù)設函數(shù))(xfy 由方程由方程0sin0022 tdttdexyt所確定所確定. 求求.dxdy在方程兩邊同時對在方程兩邊同時對求導求導:x.2sin4yyexdxdy 例例5解解.lim21cos02xdtextx 求求分析分析: 這是這是00型未定式型未定式, 應用洛必達法則應用洛必達法則.21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e

7、例例6證證在在設設)(xf),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 且且. 0)( xf函數(shù)函數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).證明證明)(xF ,)()()()(200 xxdttfdttftxxf).0(0)( xxF故故在在), 0(內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).)(xF原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理定理定理 假如假如)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù), 則積分上限的函數(shù)則積分上限的函數(shù) xadttfx)()( 就是就是)(xf在在,ba上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù).重要意義重要意義:(1)(2)聯(lián)絡聯(lián)絡.肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的肯定了連續(xù)函

8、數(shù)的原函數(shù)是存在的;初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式定理定理假設假設)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù), 那么那么 baaFbFdxxf).()()(牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式注注:根據(jù)上節(jié)的補充規(guī)定可知根據(jù)上節(jié)的補充規(guī)定可知,當當ba 時時, 該公該公式仍成立式仍成立.牛頓萊布尼茨公式又稱為微積分牛頓萊布尼茨公式又稱為微積分基本公式基本公式,它表明它表明:一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)

9、在區(qū)間上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量,求定積分的問題就轉化為求原求定積分的問題就轉化為求原函數(shù)的問題函數(shù)的問題.babaxFdxxf| )()( )()(aFbF 例例7解解求求.102dxx dxx 102.31 1033x 例例8 求求.112 dxx解解dxx 121. 2ln 12|ln x例例9解解求求.)(20dxxf 設設,21, 510,2)( xxxxf如圖如圖, 在在2 , 1 上規(guī)定上規(guī)定:Oxy212x y5 y, 5)( xf當當時時,1 x. 6 dxxfdxxf 2110)()(例例10解解計算計算.|12|10dxx 因為因為|12

10、| x 21, 1221,21xxxxdxx 10|12|.21 dxxdxx 12/12/11)12()21(例例11解解求定積分求定積分.cos13/2/2dxx dxx 3/2/|sin| dxxxdx 3/002/sinsin .23 例例12解解求求.,max222dxxx 由圖形可知由圖形可知)(xf 21,10,02,22xxxxxx,max2xx dxxx 222,max.211 例例13解解計算由曲線計算由曲線xysin , 0 x在在 x之間及之間及軸所圍成的圖形的面積軸所圍成的圖形的面積x.A如圖如圖, 根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,所求面積所求面積A為為 0

11、sin dxxA. 2 例例14解解汽車以每小時汽車以每小時 36km 速度行駛速度行駛, 到某處需要到某處需要減速停車減速停車. 設汽車以等加速度設汽車以等加速度m/s25 剎車剎車.問從開始剎車到停車問從開始剎車到停車, 汽車駛過了多少距離汽車駛過了多少距離?設設360 vkm/hs.m/10 t avtv 0)(.510t 2020)510()(dttdttvs10 (m),例例15證證設函數(shù)設函數(shù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),)(xf,ba證明在證明在開區(qū)間開區(qū)間),(ba內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點, 使使).)()()(baabfdxxfba ).()()(aFbFdxxfba )

12、,)()()(abFaFbF ),(ba ),)()(abfdxxfba ).,(ba 1. 設設)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)， 那么那么dttfxa )(與與duufbx )(是是x的函數(shù)還是的函數(shù)還是t與與u的函數(shù)的函數(shù)? 它們的導數(shù)存在嗎？它們的導數(shù)存在嗎？如果存在等于什么如果存在等于什么 ？2. 用定積分定義和性質求極限用定積分定義和性質求極限.212111lim nnnn3. 計算定積分計算定積分.11022dxxx 課堂練習課堂練習內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 積分上限函數(shù)及其導數(shù)積分上限函數(shù)及其導數(shù)(1) 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx;)()(2) 積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù)).()(xfx 2. 牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式假設假設)(xF是是)(xf在在,ba上的一個原函數(shù)，上的一個原函數(shù)，即即),()(xfxF 那么那么.)()()()(babaxF