概率統(tǒng)計(jì)例題及練習(xí)題(答案)

1、第八講 概率統(tǒng)計(jì)【考點(diǎn)透視】1.了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.2.了解等可能性事件的概率的意義,會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義,會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率.4.會(huì)計(jì)算事件在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的概率.5. 掌握離散型隨機(jī)變量的分布列.6.掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差.7.掌握抽樣方法與總體分布的估計(jì).8.掌握正態(tài)分布與線性回歸. 【例題解析】考點(diǎn)1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率 解此類(lèi)題目常應(yīng)用以下知識(shí):(1等可能性事件(古典概型的概率:

2、P (A =(I card A card =n m ;等可能事件概率的計(jì)算步驟: 計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù)n ; 設(shè)所求事件A ,并計(jì)算事件A 包含的基本事件的個(gè)數(shù)m ; 依公式(m P A n=求值; 答,即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).(2互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率:P (A +B =P (A +P (B ; 特例:對(duì)立事件的概率:P (A +P (A =P (A +A =1. (3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率:P (A ·B =P (A ·P (B ;特例:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:P n (k =k n kk n p p C -1(.其中P 為事件A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,此式為

3、二項(xiàng)式(1-P+Pn 展開(kāi)的第k+1項(xiàng). (4解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)合”:求概率的步驟是:第一步,確定事件性質(zhì)等可能事件 互斥事件 獨(dú)立事件 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類(lèi)事件中的某一種. 第二步,判斷事件的運(yùn)算和事件積事件即是至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步,運(yùn)用公式(1k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -=+=+=-等可能事件: 互斥事件: 獨(dú)立事件: n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):求解 第四步,答,即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).例1.在五個(gè)數(shù)字12345,中,若隨機(jī)

4、取出三個(gè)數(shù)字,則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 (結(jié)果用數(shù)值表示.考查目的本題主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.解答過(guò)程0.3提示:1335C 33.54C 102P =例2.一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體,以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本,則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 .考查目的本題主要考查用樣本分析總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式,同時(shí)考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用頻率分布估計(jì)總體分布,同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g501.5的意義和概率的求法. 解答過(guò)程1.20提示:51.10020P =例3從自動(dòng)打包機(jī)包裝的食鹽中,隨機(jī)抽取20袋,測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位:g

5、:492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根據(jù)的原理,該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g501.5g 之間的概率約為_(kāi).考查目的本題主要考查用頻率分布估計(jì)總體分布,同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g501.5的意義和概率的求法.解答過(guò)程在497.5g501.5內(nèi)的數(shù)共有5個(gè),而總數(shù)是20個(gè),所以有51.204=點(diǎn)評(píng):首先應(yīng)理解概率的定義,在確定給定區(qū)間的個(gè)體的數(shù)字時(shí)不要出現(xiàn)錯(cuò)誤.例4.接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗,至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概

6、率為_(kāi).(精確到0.01考查目的 本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力,以及推理和運(yùn)算能力.解答提示至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為33244555550.800.200.800.200.800.94C C C +=. 故填0.94. 例5.右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路 中時(shí),就能接收到信號(hào),否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組,將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組,再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接,則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是(A 454 (B 361 (C 154 (D 158考查目

7、的 本題主要考查運(yùn)用組合、概率知識(shí),以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力,以及推理和運(yùn)算能力.解答提示由題意,左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組有2226423315C C C A =種分法,同理右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組有2226423315C C C A =種分法;要五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào),則需五個(gè)接收器與信號(hào)源串聯(lián)在同一個(gè)線路中,即五個(gè)接收器的一個(gè)全排列,再將排列后的第一個(gè)元素與信號(hào)源左端連接,最后一個(gè)元素與信號(hào)源右端連接,所以符合條件的連接方式共有55120A =種,所求的概率是120822515P =,所以選D.點(diǎn)評(píng):本題要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用排列組合知識(shí)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題,并進(jìn)一步

8、求得概率問(wèn)題,其中隱含著平均分組問(wèn)題.例6.從某批產(chǎn)品中,有放回地抽取產(chǎn)品二次,每次隨機(jī)抽取1件,假設(shè)事件A :“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率(0.96P A =. (1求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p ;(2若該批產(chǎn)品共100件,從中任意抽取2件,求事件B :“取出的2件產(chǎn)品中至少有一信號(hào)件二等品”的概率(P B .考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.解答過(guò)程(1記0A 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”, 1A 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”. 則01A A ,互斥,且01A A A =

9、+,故01(P A P A A =+212012(1C (11.P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-.解得120.20.2p p =-,(舍去.(2記0B 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”,則0B B =.若該批產(chǎn)品共100件,由(1知其中二等品有1000.220=件,故28002100C 316(C 495P B =.00316179(1(1.495495P B P B P B =-=-=例7.兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成,每卷1本,共8本.將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率 是 (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示.考查目的 本題

10、主要考查運(yùn)用排列和概率知識(shí),以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力,以及推理和運(yùn)算能力.解答提示從兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)8本書(shū)的排列方法有88A 種,左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的的排列方法有442442A A A 種.所以, 將符合條件的長(zhǎng)篇小說(shuō)任意地排成一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是 44244288135A A A P A =種.所以,填135.例8.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個(gè)紅球,2個(gè)白球;乙袋裝有2個(gè)紅球,n 個(gè)白球.由甲,乙兩袋中各任取2個(gè)球.(若n=3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率;(若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為43,求n.考查目的本題主要考查排列

11、組合、概率等基本知識(shí),同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.標(biāo)準(zhǔn)解答(錯(cuò)誤!未找到引用源。記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A .22222245111(.61060C C P A C C =(錯(cuò)誤!未找到引用源。記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B ,“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件1B ,“取到的4個(gè)球全是白球”為事件2B . 由題意,得31(1.44P B =-=2111122222122224242(n n n n C C C C C C P B C C C C +=+22;3(2(1n n n =+ 22222242(n n C C P B C C +=(1;6(2(1n n n

12、n -=+ 所以, 12(P B P B P B =+22(13(2(16(2(1n n n n n n n -=+14=,化簡(jiǎn),得271160,n n -=解得2n =,或37n =-(舍去, 故 2n =.例9.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品,顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買(mǎi).根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷(xiāo)一件該商品,若顧客采用一次性付款,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元;若顧客采用分期付款,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)250元.(求3位購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率; (求3位顧客每人購(gòu)買(mǎi)1件該商品,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元的概率.考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等

13、的概率計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.解答過(guò)程(記A 表示事件:“3位顧客中至少1位采用一次性付款”,則A 表示事件:“3位顧客中無(wú)人采用一次性付款”.2(10.60.064P A =-=, (1(10.0640.936P A P A =-=-=.(記B 表示事件:“3位顧客每人購(gòu)買(mǎi)1件該商品,商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元”. 0B 表示事件:“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用分期付款”. 1B 表示事件:“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中恰有1位采用分期付款”. 則01B B B =+.30(0.60.216P B =,1213(0.60.40.432P B C =.01(P B P

14、 B B =+01(P B P B =+0.2160.432=+0.648=.例10.某公司招聘員工,指定三門(mén)考試課程,有兩種考試方案. 方案一:考試三門(mén)課程,至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò);方案二:在三門(mén)課程中,隨機(jī)選取兩門(mén),這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是,a b c ,且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.(分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率;(試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.(說(shuō)明理由考查目的 本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和對(duì)立事件的概率,以及不等式等基本知識(shí),同時(shí)考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.標(biāo)準(zhǔn)解答記該應(yīng)聘

15、者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A ,B,C , 則P (A =a ,P (B =b ,P (C =c. ( 應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率p 1=P (A ·B ·C +P (A ·B ·C +P (A ·B ·C +P (A ·B ·C =a ×b ×(1-c+(1-a×b ×c+a ×(1-b×c+a ×b ×c=ab+bc+ca-2abc. 應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率p 2=31P (A ·B + 31P (B &

16、#183;C + 31P (A ·C = 31×(a ×b+b ×c+c ×a= 31 (ab+bc+ca( p 1- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca= 23( ab+bc+ca-3abc2323(33abc abc -=2332(10abc abc -.p 1p 2例11.某項(xiàng)選拔共有四輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題,能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為54、53、52、51,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.(求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率;(求該選

17、手至多進(jìn)入第三輪考核的概率. (注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.解答過(guò)程(記“該選手能正確回答第i 輪的問(wèn)題”的事件為(1234i A i =,則14(5P A =,23(5P A =,32(5P A =,41(5P A =,該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率412341234432496(5555625P P A A A A P A P A P A P P =.(該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率3112123(P P A A A A A A =+112123(P A P A P A P A P A

18、 P A =+142433101555555125=+=. 考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列 1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,這樣的變量叫做隨機(jī)變量,常用希臘字母、等表示.隨機(jī)變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. 隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量. 2.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為1x ,2x ,i x ,取每一個(gè)值i x (=i 1,2,的概率P (i x =i P ,則稱(chēng)下表.為隨機(jī)變量的概率分布,簡(jiǎn)稱(chēng)的分布列.由概率的性質(zhì)可知,任一離

19、散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì): (10i P ,=i 1,2,;(2+21P P =1. 常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列: (1二項(xiàng)分布n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A 發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,其所有可能的取值為0,1,2,n ,并且kn k k n k q p C k P P -=(,其中n k 0,p q -=1,隨機(jī)變量的分布列如下:0 1 kn1x2x i x PP 1P 2i PPn n q p C 00111-n n q p Ckn k k n q p C -q p C n n n稱(chēng)這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作,(p n B ,其中n 、p 為參數(shù),并記:,;(p n k

20、b q p C kn k k n =- .(2 幾何分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,“k =”表示在第k 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生. 隨機(jī)變量的概率分布為:1 2 3 k Ppqp2q p1k q p -例12.廠家在產(chǎn)品出廠前,需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn),廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.(若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有1件是合格的概率;(若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn),只有

21、2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望E ,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.考查目的本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算,考察隨機(jī)事件的分布列,數(shù)學(xué)期望等,考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程(記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn),其中至少有1件是合格品”為事件A 用對(duì)立事件A 來(lái)算,有(4110.20.9984P A P A =-=-= (可能的取值為0,1,2. (2172201360190C P C =,(11317220511190C C P C =,(2322032190C P C =0 1 213651330121901901901

22、0E =+=. 記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn),都合格”為事件B ,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率(136271119095P P B =-=-=.所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為2795.例13.某項(xiàng)選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題,能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為54、53、52,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響. (求該選手被淘汰的概率;(該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望. (注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示考查目的本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算,考察隨機(jī)事件的分布列,數(shù)學(xué)期望等,考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方

23、法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程解法一:(記“該選手能正確回答第i 輪的問(wèn)題”的事件為(123i A i =,則14(5P A =,23(5P A =,32(5P A =, 該選手被淘汰的概率112223112123(P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =+=+142433101555555125=+=. (的可能值為123,11(1(5P P A =,1212428(2(5525P P A A P A P A =,12124312(3(5525P P A A P A P A =.3190的分布列為123 P158251225

24、1812571235252525E =+=.解法二:(記“該選手能正確回答第i 輪的問(wèn)題”的事件為(123i A i =,則14(5P A =,23(5P A =,32(5P A =. 該選手被淘汰的概率1231231(1(P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-=.(同解法一.考點(diǎn)3 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:+=2211p x p x E ;期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平. 離散型隨機(jī)變量的方差:+-+-=222121(p E x p E x D +-+n n p E x 2(; 方差反映隨機(jī)

25、變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng),集中與離散的程度. 基本性質(zhì):b aE b a E +=+(;D a b a D 2(=+.(4若B(n ,p,則 np E = ; D =npq (這里q=1-p ;如果隨機(jī)變量服從幾何分布,(p k g k P =,則pE 1=,D =2pq 其中q=1-p.例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為、,和的分布列如下: 012 012P610110103 P510103 210則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為 .思路啟迪:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即期望;二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況,即方差值的大

26、小.解答過(guò)程:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為:7.0103210111060=+=E ,891.01037.02(1017.01(1067.00(222=-+-+-=D ; 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為:7.0102210311050=+=E ,664.01027.02(1037.01(1057.00(222=-+-+-=D 由E =E 知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但D >D ,可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié):期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平;方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng),集中與離散的程度. 例15.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)的分布列

27、為1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為200元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為250元;分4期或5期付款,其利潤(rùn)為300元.表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).(求事件A :“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率(P A ; (求的分布列及期望E .考查目的 本小題主要考查概率和離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程(由A 表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”2(10.40.216P A =-=, (1(10.

28、2160.784P A P A =-=-=.(的可能取值為200元,250元,300元.(200(10.4P P =,(250(2(30.20.20.4P P P =+=+=,(3001(200(25010.40.40.2P P P =-=-=-=.的分布列為200 250 300 P0.40.40.22000.42500.43000.2E =+240=(元. 小結(jié):離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 例16.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分,方差為75,后

29、來(lái)發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績(jī)有誤,甲實(shí)得80分卻記為50分,乙實(shí)得70分卻記為100分,更正后平均分和方差分別是A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25解答過(guò)程:易得x 沒(méi)有改變,x =70, 而s 2=481(x 12+x 22+502+1002+x 482-48x 2=75, s 2=481(x 12+x 22+802+702+x 482-48x 2 =481(75×48+48x 2-12500+11300-48x 2 =75-481200=75-25=50. 答案:B考點(diǎn)4 抽樣方法與總體分布的估計(jì) 抽樣方法1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣:設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N ,如果通過(guò)逐個(gè)抽

30、取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí),可將總體分成均衡的幾個(gè)部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱(chēng)為機(jī)械抽樣.3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣. 總體分布的估計(jì)由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布,一般地,樣本容量越大,這種估計(jì)就越精確.總體分布:總體取值的概率分布規(guī)律通常稱(chēng)為總體分布.當(dāng)總體中的個(gè)體取

31、不同數(shù)值很少時(shí),其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示,幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線:當(dāng)樣本容量無(wú)限增大,分組的組距無(wú)限縮小,那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線.典型例題例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本,樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n= .解答過(guò)程:A種型號(hào)的總體是210,則樣本容量n=1016802=.例18.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體,隨機(jī)編號(hào)0,1,2,99,依編號(hào)順序平均

32、分成10個(gè)小組,組號(hào)依次為1,2,3,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m,那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m k+的個(gè)位數(shù)字相同,若6m=,則在第7組中抽取的號(hào)碼是.解答過(guò)程:第K組的號(hào)碼為(110k-,(1101k-+,(1109k-+,當(dāng)m=6時(shí),第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為m+k的個(gè)位數(shù)字,所以第7組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為3 ,所以抽取號(hào)碼為63.例19.考查某校高三年級(jí)男生的身高,隨機(jī)抽取40名高三男生,實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位:cm如下:171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 1

33、69 151 168 170 160 168 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161作出頻率分布表;畫(huà)出頻率分布直方圖.思路啟迪:確定組距與組數(shù)是解決“總體中的個(gè)體取不同值較多”這類(lèi)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).解答過(guò)程:最低身高為151,最高身高180,其差為180-151=29。確定組距為3,組數(shù)為10,列表如下: 頻率分布直方圖如下: 小結(jié): 合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù),才能準(zhǔn)確地制表及繪圖,這是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的基本功. 估計(jì)總體分布的基本功。 考點(diǎn)5 正態(tài)分布與線性

34、回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) (1正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 222(21(-=x ex f ,x R 其中、為常數(shù),并且>0,則稱(chēng)服從正態(tài)分布,記為N (,2. (2期望E =,方差2=D . (3正態(tài)分布的性質(zhì) 正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):曲線在x 軸上方,并且關(guān)于直線x =對(duì)稱(chēng).曲線在x=時(shí)處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低.曲線的對(duì)稱(chēng)軸位置由確定;曲線的形狀由確定,越大,曲線越“矮胖”;反之越“高瘦”.(4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0,=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作N (0,1 (5兩個(gè)重要的公式(1(x x -=-, (P a b b a <

35、<=-. (62(,N 與(0,1N 二者聯(lián)系. 若2(,N ,則(0,1N -= ;若2(,N ,則(b a P a b -<<=-.2.線性回歸簡(jiǎn)單的說(shuō),線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類(lèi)型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.具體說(shuō)來(lái),對(duì)n 個(gè)樣本數(shù)據(jù)(11,x y ,(22,x y ,(,n n x y ,其回歸直線方程,或經(jīng)驗(yàn)公式為:a bx y +=.其中,(1221x b y

36、 a x n xyx n yx b ni ini ii-=-=,其中y x ,分別為|i x |、|i y |的平均數(shù).例20.如果隨機(jī)變量N (,2,且E =3,D =1,則P (-1<1=等于( A.2(1-1B.(4-(2C.(2-(4D.(-4-(-2解答過(guò)程:對(duì)正態(tài)分布,=E =3,2=D =1,故P (-1<1=(1-3-(-1-3=(-2-(-4=(4-(2.答案:B例21. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ,液體的溫度(單位:是一個(gè)隨機(jī)變量,且N (d ,0.52.(1若d =90°,則<89的概率為 ;(2若要保持液體的溫

37、度至少為80 的概率不低于0.99,則d 至少是 ?(其中若N (0,1,則(2=P (<2=0.9772,(-2.327=P (<-2.327=0.01. 思路啟迪:(1要求P (<89=F (89,N (d ,0.5不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,而給出的是(2,(-2.327,故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.(2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p ,再利用p 0.99,解d .解答過(guò)程:(1P (<89=F (89=(5.09089-=(-2=1-(2=1-0.9772=0.0228.(2由已知d 滿足0.99P (80,即1-P (<801-0.01,P (<800

38、.01. (5.080d -0.01=(-2.327.5.080d -2.327.d 81.1635. 故d 至少為81.1635.小結(jié):(1若N (0,1,則=-N (0,1.(2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f (x 是偶函數(shù),x <0時(shí),f (x 為增函數(shù),x >0時(shí),f (x 為減函數(shù). 例22.設(shè),(2N X ,且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為:412221(+-=x x ex f ,x R.(1則,是 ;(2則2|1(|<-x P 及22121(+<<-x P 的值是 .思路啟迪: 根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)照已知函數(shù)求出和.利用一般正態(tài)總體,(2N 與標(biāo)

39、準(zhǔn)正態(tài)總體N (0,1概率間的關(guān)系,將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決.解答過(guò)程:由于2222(21(41222121(-+-=x x x eex f ,根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式,可知=1,2=,故X N (1,2.2121(2|1(|2(+<<-=<-x P x P2121(12(12(22F F 1+-1-=+-=-(1(1=-2(1120.84131=-=-6826.0=.又21(221(22121(-+=+<<-F F x P22121(2(1221+-1-=-=- (2(110.97720.84131=+-=+-8185.0=.小結(jié):通過(guò)本例可

40、以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).例23. 公共汽車(chē)門(mén)的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車(chē)門(mén)頂部碰撞設(shè)計(jì)的,如果某地成年男子的身高N (173,7(單位:cm ,則車(chē)門(mén)應(yīng)設(shè)計(jì)的高度是 (精確到1cm ?思路啟迪:由題意可知,求的是車(chē)門(mén)的最低高度,可設(shè)其為xcm ,使其總體在不低于x 的概率小于1%.解答過(guò)程:設(shè)該地區(qū)公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm ,由題意,需使P(x<1%. N (173,7,99.07173(>-=x x P 。查表得33.27173>-x ,解得x>179.16,即公共汽車(chē)門(mén)的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm ,可確保99%以上

41、的成年男子頭部不跟車(chē)門(mén)頂部碰撞. 【專(zhuān)題訓(xùn)練】 一.選擇題1.下面關(guān)于離散型隨機(jī)變量的期望與方差的結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( A.期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映隨機(jī)變量取值集中與離散的程度.B.期望與方差都是一個(gè)數(shù)值,它們不隨試驗(yàn)的結(jié)果而變化C.方差是一個(gè)非負(fù)數(shù)D.期望是區(qū)間0,1上的一個(gè)數(shù).2.要了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中抽取200個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),則這200個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量是 ( A. 總體 B.總體的一個(gè)樣本 C.個(gè)體 D. 樣本容量3.已知的分布列為:設(shè)23-=則D 的值為 ( A. 5B. 34C. 32-D.3- 4.設(shè),(p n B ,12=E ,4=D ,則n,p 的值分別為 ( A.

42、18 ,31 B. 36 ,31 C. 32,36 D. 18,325.已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布,31,6(B ,則2(=P 等于 ( A. 163 B. 2434 C. 24313 D. 243806.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為15(k k P =,其中k=1,2,3,4,5,則2521(<<P 等于 ( A.51 B. 21 C. 91 D. 617.設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品,從中抽取150件進(jìn)行檢查,則查得廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為( A.15B.10C.5D.都不對(duì)8.某市政府在人大會(huì)上,要從農(nóng)業(yè)、工業(yè)、教育系統(tǒng)的代表中抽查對(duì)政府工作報(bào)告的意見(jiàn).為了更具有代表性,抽取應(yīng)采用

43、 ( A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)表法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣9.一臺(tái)X 型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為0.8000,有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作,則在一小時(shí)內(nèi)至多有2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是 ( A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.972810.某校高三年級(jí)195名學(xué)生已編號(hào)為1,2,3,195,為了解高三學(xué)生的飲食情況,要按1:5的比例抽取一個(gè)樣本,若采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽取,其中抽取3名學(xué)生的編號(hào)可能是( A.3,24,33 B.31,47,147 C.133,153,193 D.102,132,159 1- 0 1P21 31 6111.同時(shí)拋

44、擲4枚均勻硬幣80次,設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上,2枚反面向上的次數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望是 ( A.20 B.25 C.30 D.40 12.已知,0(2N ,且4.002(=-p ,則P(2>等于 ( A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.413.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售的情況,需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)調(diào)查為;在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷(xiāo)售點(diǎn),要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)情況,記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法B.分層

45、抽樣法,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法,分層抽樣法14.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形圖表示,根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為( 2015105人數(shù)(人時(shí)間(h0.5 1.0 1.5 2.0A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h二.填空題15.某工廠規(guī)定:工人只要生產(chǎn)出一件甲級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金50元,生產(chǎn)出一件乙級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金30元,若生產(chǎn)出一件次品則扣獎(jiǎng)金20元,某工人生產(chǎn)甲級(jí)品的概率為0.6,乙級(jí)品的概率為0.3,次品的概率為0.1,則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎(jiǎng)金為 元.16. 同時(shí)拋擲兩枚相同 的均勻硬幣,隨機(jī)變量1= 表示結(jié)果中有正面向上, 0=表示結(jié)果中沒(méi)有正面向上,則=E .17. 甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t / hm 2