數(shù)理統(tǒng)計的基本概念課件

1、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念緒言數(shù)理統(tǒng)計包括兩大內容：一、試驗的設計和研究-研究更合理、更有效、更精確地獲取觀察資料的方法。二、統(tǒng)計推斷-研究如何利用一定的資料對所關心的問題作出盡可能精確、可靠的結論。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念例 為了解南京市民2002年收入情況，現(xiàn)抽樣調查10000人的收入。問題：1. 怎樣從10000人的收入情況去估計全體南京市民的平均收入？怎樣估計所有南京市民的收入與平均收入的偏離程度？2. 若市政府提出了全體南京市民平均收入應達到的標準，從抽查得到的10000人收入數(shù)據(jù)，如何判斷全體南京市民的平均收入與收入標準有無差異？差異是否顯著？3. 抽查得到的10000

2、人的收入有多有少，若這10000人來自不同的行業(yè)，那么，收入的差異是由于行業(yè)不同引起的，還是僅由隨機因素造成的？4. 假設收入與年齡有關，從抽查得到的10000人收入和年齡的對應數(shù)據(jù)，如何表述全體南京市民的收入與年齡之間的關系？數(shù)理統(tǒng)計的基本概念問題1實質：從10000人的收入出發(fā)，估計全體南京市民收入分布的某些數(shù)字特征(此處是期望和方差)。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為參數(shù)估計。問題2實質：根據(jù)抽查得到的數(shù)據(jù)，去檢驗總體收入的某個數(shù)字特征(此處是期望)與給定值的差異。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為假設檢驗。問題3實質：分析數(shù)據(jù)誤差的原因(此處是行業(yè))。當有多個因素起作用時，還

3、要分析哪些因素起主要作用。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為方差分析。問題4實質：根據(jù)觀察數(shù)據(jù)研究變量間(此處是收入與年齡間)的關系。-在數(shù)理統(tǒng)計中，解決這類問題的方法稱為回歸分析。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第一節(jié) 隨機樣本一、總體 在數(shù)理統(tǒng)計中，將所研究的對象的某項指標值的全體稱為總體(或母體)，而將構成總體的每個單位稱為一個個體。 當總體中包含的個體總數(shù)是有限的，就稱總體為有限總體，否則稱總體為無限總體。 設待研究的指標為X，由于X的取值是對隨機抽取的個體觀察得到的，因而可將X視為隨機變量，并設其分布函數(shù)為F(x)。定義6.1 一個隨機變量X(或其分布函數(shù)F(x)叫做一個總體，X的每個可能值叫

4、做一個個體。二、樣本 從總體X中，隨機地抽取n個個體進行觀察，可得到n個觀察值，將其依抽取的順序記為。，)(21nxxx數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 若將總體在進行第 i 次抽樣時對應的隨機變量記為 ，則 就是 的觀察值。iXixiX我們提出以下要求： 與X同分布；1. 2. 相互獨立。iXnXXX，21抽樣方式為重復抽樣 實際應用中，一般當有限總體中包含個體數(shù)目 N10n 時，即使采用不重復抽樣，也認為要求滿足。定義6.2 若 相互獨立，且均與總體X有相同分布，則稱隨機向量( )為總體X的一個容量為n 的簡單隨機樣本(簡稱樣本)，稱 n 為樣本容量。 設 的觀察值為 ，稱( )為X的一個樣本觀察值(樣

5、本點)，稱=( )為樣本空間。niXi，21nXXX，21iXixnxxx，21nxxx，21說明：1. 是樣本觀察值全體所成集合，是 n 維空間上的點集，它不是總體X的樣本空間。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念在一次抽樣之前，我們只知道樣本( )(n 維隨機變量)，而在抽樣之后，則得到一個具體的 n 維實向量( )，它是中的一個點，故稱其為樣本點。nXXX，21nxxx，21注意：對任何總體X，其容量為 n 的樣本是唯一的，而每次抽樣得到的樣本觀察值一般說來是不同的。 設X的分布函數(shù)為 F(x)，由定義6.2，X的容量為n 的樣本 的第i 個分量 的分布函數(shù)為 )(21nXXX，iX.21)(nixFi，

6、 因 相互獨立，故 分布函數(shù)為)(21nXXX，nXXX，21).()(121niinxFxxxF，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 若X是離散型隨機變量，其分布律為 P(X= )，i=1，2，.則 的分布律為ix)(21nXXX，).()(12211iniinnxXPxXxXxXP， 若X 是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f(x)，則 的密度函數(shù)為 )(21nXXX，).()(121niinxfxxxf，三、樣本分布函數(shù)問題：用樣本觀察值推斷總體，其結論可靠嗎？解決問題的途徑：根據(jù)抽樣得到的樣本觀察值構造一個函數(shù)-樣本分布函數(shù)，再證明當n很大時，樣本分布函數(shù)近似于總體的分布函數(shù)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念定義6.

7、3 設總體X的一組樣本觀察值為 ，將這組值依大小順序重排成 。構造函數(shù))(21nxxx，nxxx21.11210)(11nkknxxnkxxxnkxxxF當，當，當，稱 為樣本分布函數(shù)(或稱經驗分布函數(shù))。)(xFn說明：1. 在定義6.3中，k/n 是不大于x的樣本觀察值出現(xiàn)的頻率。2. 對總體進行兩次抽樣，會得到兩組不同的樣本觀察值，因而就會產生兩個不同的樣本分布函數(shù)。3. 樣本分布函數(shù)是一個階梯函數(shù)：設，lklkkkkxxxxx111數(shù)理統(tǒng)計的基本概念則當 ，有kkxxx1，nkxFn1)(當 ， 有l(wèi)kkxxx，nlkxFn1)(即： 在 處有 的躍度。)(xFnkxxnl /5. 當

8、n 越大， 的圖形與總體分布函數(shù) F(x) 的圖形越近似。)(xFn6. 由貝努利大數(shù)定律或 W. 格列汶科定理(1953) 可從理論上證明：當n 很大時，有).()(xFxFn4. 容易證明： 確是某隨機變量 的分布函數(shù)，且有)(xFnn.)(1)(1)(121niinniinxxnDxxnE，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第二節(jié) 抽樣分布一、統(tǒng)計量定義6.4 (教材p159) 設 是總體X 的一個樣本， 是不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱 是一個統(tǒng)計量。)(21nXXX，)(21nyyyg，)(21nXXXg， 若 是一個統(tǒng)計量， 是一組樣本觀察值，則稱 是 的一個觀察值。)(21nXXXg，)(21

9、nXXXg，)(21nxxxg，)(21nxxx，二、樣本數(shù)字特征定義6.5 (教材p160)設 是總體X 的一個樣本，稱以下統(tǒng)計量為樣本數(shù)字特征：)(21nXXX，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念為樣本均值； 11niiXnX為樣本方差； )(11122niiXXnS為樣本標準差； )(1112niiXXnS當k 為正整數(shù)，稱階原點矩，為樣本k 11nikikXnA階中心矩。為樣本k )(11nikikXXnB數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 設 為來自總體X的樣本，為來自總體Y的樣本，稱)(21nXXX，)(21nYYY，為樣本協(xié)方差， )(11niiiYYXXnk為樣本相關系數(shù)。 )()()(12121niinii

10、niiiYYXXYYXXr說明：1. 樣本原點矩反映樣本的平均特征，樣本中心矩反映樣本的離散特征，樣本協(xié)方差反映兩個樣本的相關程度。2. 樣本數(shù)字特征是隨機變量，但對一組樣本觀察值，得到的樣本數(shù)字特征觀察值是一個具體的數(shù)，我們通常把這個數(shù)也稱為樣本均值、樣本方差、樣本相關系數(shù)等。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念3. 使用最多的樣本數(shù)字特征是樣本均值、樣本標準差和樣本相關系數(shù)。三、順序統(tǒng)計量說明：1.對兩次抽樣，盡管觀察值由小到大的排列順序可能改變，但對順序統(tǒng)計量來說，改變的僅是其取值，其形式不變。2. 順序統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，因而是隨機變量。問題：順序統(tǒng)計量的表達式是什么？定義6.6 設 ( ) 是樣本 (

11、 ) 的一組觀察值，將 按由小到大的順序排列成 。設 ，記 k=1，2，n.稱( ) 為( )的順序統(tǒng)計量。nxxx，21nXXX，21nxxx，21)()2()1(nxxxknkxx)()()(kkxX)()2()1(nXXX，nXXX，21kknnxX數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 max min21)(21) 1 (nnnXXXXXXXX，. 132minmax121121)()(nkXXXXknkniiiiiik，結論1. 是統(tǒng)計量。nkXk，21)(定義6.7 設 為 的順序統(tǒng)計量，稱)()()2()1(nXXX，)(21nXXX，為偶數(shù)。當，為奇數(shù)，當，nXXnXmnnn21) 12()2()

12、21(為樣本中位數(shù)。稱 為樣本極差。)1()(XXRn數(shù)理統(tǒng)計的基本概念引入樣本矩的意義： 稱 為總體X 的k階原點矩對樣本 ，因 與 X 同分布，有)(21nXXX，iX，mkXEkk21)(.2121)(mkniXEkki，；，由辛欽大數(shù)定律，對樣本k階原點矩 ，有.21mkAkk，kAP利用依概率收斂的性質，對任何連續(xù)函數(shù)有，)(21mxxxg).()(2121mmgAAAg，P結論2. 只要總體的k階矩存在，則樣本k階矩的任何連續(xù)函數(shù)依概率收斂于總體k階矩的同一函數(shù)。說明：結論2 正是我們進行參數(shù)估計的理論基礎。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念四、 的分布X1. 設 ， 是X的一個樣本，則)(2，N

13、X)(21nXXX，)(2nNX，2. 若X的分布類型未知，僅知 E(X)=，D(X)= ，則2)(2nNX，.五、 分布2定義6.8 （教材p162-163）設總體XN(0，1)， 是總體的一個樣本，則稱 服從自由度為n的 分布，記為 。niiX1222)(22n)(21nXXX，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念注：1. ；， )212()(2nn2. 的密度函數(shù)表達式和曲線見教材p163(不用掌握)。)(2n性質1. 設XN(0,1)，則).1 (22X性質2. 設 ， 是X的一個樣本，則)(2，NX)(21nXXX，niinX1222).()(1性質3. 設 ，則)(22nX.2)( )(22nDnE

14、，定理6.1. ). )( )( 2122221222122221221n(nnn則相互獨立，和且，設推論.).( 21)(1122222kikiiiiiinkin則相互獨立，且諸，設數(shù)理統(tǒng)計的基本概念定理6.2. 設 ，則對任何x，有)(22n.21)2(lim2 22xtndtexnnP說明：定理6.2保證了當 n 很大時， 可近似地用正態(tài)分布代替，即 ，其中 XN(0，1)。2nXn22).10(2 2，即NXnnL 分布的用途： 分布在正態(tài)總體方差的估計和檢驗問題和非參數(shù)檢驗中起重要作用。22六、t-分布定義6.9. (教材p165) 設XN(0，1)， ，且X與Y相互獨立，則稱 服從

15、自由度為 n 的 t-分布，nYXT/)(2nY記為 Tt(n)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念注：1. t-分布的密度函數(shù)表達式見教材p165 (不用掌握)；2. t-分布的密度函數(shù)曲線見教材p165，曲線關于x=0對稱，和標準正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形類似，但當 n 較小時，t-分布與標準正態(tài)分布的差異較大。t-分布在尾部比標準正態(tài)分布在尾部有較大的概率。定理6.3 設 ，且X與Y相互獨立，則)(/ )(222nYNX，).(/ntnYX定理6.4 設 Tt(n)，則當 n1，E(T)=0；當 n2，D(T)=n/(n-2)。定理6.5 設 Tt(n)，t(n；x) 為T的密度函數(shù)，則. )(21)(

16、lim2 2xexntxn；數(shù)理統(tǒng)計的基本概念說明：一般當n30，取 t(n) N(0，1)。t-分布的用途：t-分布主要用于小樣本情形正態(tài)總體的均值估計和檢驗，以及正態(tài)線性模型可估函數(shù)的推斷。七、F-分布定義6.10 (教材166) 設 ，且X與Y相互獨立，則稱)()(22nYmX，nYmXF/服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F-分布，記為FF(m，n)。注：F-分布的密度函數(shù)表達式及其曲線見教材p166-167(不用掌握)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念性質6 設 FF(m，n)，則當 n2，E(F)=n/(n-2)；當n4， D(F)= 。)4()2()422(22nnmnmn).1 (2n

17、FT，性質5 設 Tt(n)，則F-分布的用途： F-分布在對兩個正態(tài)總體的未知參數(shù)進行假設檢驗中及在方差分析理論中起重要作用。性質4 對F-分布，若 FF(m，n)，則1/FF(n，m)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念八、抽樣分布的幾個重要結論定理6.6 (教材p168定理二、三) 設總體 為來自總體的樣本，為樣本均值， 為樣本方差， 則有1.2. 相互獨立；3.)( )(212nXXXNX，X2S；) 1()(1) 1(212222nXXSnnii2SX與).1(ntnSXT推論 設 ， 為其樣本方差， 則 )(2，NX2S.)(22SE注：證明見教材p172-174附錄(可不掌握)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概

18、念定理6.7 (教材p169定理四) 設 ， 和 分別為來自總體X和Y的樣本，且兩樣本相互獨立，設 分別為兩樣本的樣本均值， 分別為兩樣本的樣本方差， 則有 )( )(222211，NYNX)(21mXXX，)(21nYYY，YX、2221SS 、；， ) 10()()(222121NnmYXU1.；)2()2/() 1() 1()()(22222121222121nmtnmSnSmnmYXT2.數(shù)理統(tǒng)計的基本概念特別，當 ，有 21；)2()2/() 1() 1( 11)()(222121nmtnmSnSmnmYXT).1, 1(22212122nmFSSF3.特別，當 ，有 21).1,

19、1(2221nmFSSF說明：1. 證明見教材p170(可不掌握)；2. 這幾個結論在參數(shù)估計、假設檢驗等統(tǒng)計問題的推斷中具有重要意義，也是考研內容之一，要注意對結論的理解，并會簡單應用。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念例1 設 是來自泊松分布()的一個樣本， 分別為樣本均值、樣本方差，求)(21nXXX，、X2S).()()(2SEXDXE、說明：本題求 的方法值得重視，因為在參數(shù)估計的無偏性討論中要用到這種方法。)(2SE思考題1(2001年數(shù)學三考研試題填空題) 設總體X服從正態(tài)分布 ，而 是來自總體X的簡單隨機樣本，則隨機變量)20(2，N1521XXX，)(22152112102221XXXXXY服從 _ 分布，參數(shù)為_ 。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念思考題2(2003年數(shù)學一考研試題選擇題) 設隨機變量Xt(n)，n1， ，則( )Y (n). B. Y (n-1).A. C. YF(n，1). D. YF(1，n).2/1 XY 22例2.(2001年數(shù)學一考研試題十二題) 設總體X服從正態(tài)分布 ，(0)，從該總體中抽取簡單隨機樣本 ，其