第三節(jié)泰勒公式ppt課件

1、上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式一、問題的提出一、問題的提出二、泰勒公式二、泰勒公式三、麥克勞林公式三、麥克勞林公式四、泰勒公式的應用四、泰勒公式的應用 第三章 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、問題的提出一、問題的提出 1 1、關(guān)于多項式、關(guān)于多項式 由于它本身的運算僅是由于它本身的運算僅是多項式多項式 是最是最 nnnnnxaxaxaxaaxP 112210)(簡單的一類初等函數(shù)簡單的一類初等函數(shù). .所以在數(shù)值計算方面，所以在數(shù)值計算方面，多項式是人們樂于使用的工具多項式是人們樂于使用的工具. .有限項加減法和乘法，有限項加減法和乘法，因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù)因

2、此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初等數(shù)學已經(jīng)了解到一些函數(shù)如初等數(shù)學已經(jīng)了解到一些函數(shù)如 : :2 2、近似計算舉例、近似計算舉例 的一些重要性質(zhì)，但是初等數(shù)學不曾回答怎樣的一些重要性質(zhì)，但是初等數(shù)學不曾回答怎樣,arctan,cos,sin,lg,5xxxxx來計算它們？來計算它們？些結(jié)果提供了近似計算這些函數(shù)的有力方法些結(jié)果提供了近似計算這些函數(shù)的有力方法. .以以的近似計算為例的近似計算為例. . xxfcos)( 高等數(shù)學微分學中所研究出來一高等數(shù)學微分學中所研究出來一上頁 下頁 返回 結(jié)束 線性逼近優(yōu)點線性逼近優(yōu)點: :形式簡單，計算方便；形式簡單，計算方便

3、；一次線性迫近一次線性迫近 利用微分近似計算公式利用微分近似計算公式 ，對，對 附近的附近的 ,)()()(000 xxxfxfxf 0 x的線性逼近為的線性逼近為: : )(xfxffxf)0()0()( )(1cos)(1xpxxf 缺乏：離原點缺乏：離原點O O越遠，近似度越差越遠，近似度越差. .y=1)(1xpyx1-1O上頁 下頁 返回 結(jié)束 二次逼近二次逼近 期望：期望： 二次多項式二次多項式 迫近迫近22102)(xaxaaxp xxfcos)( 0210cos)0()0(afp 1200sin)0()0(afp 10cos)0()0(2 fp212 a)(2xp2,2 它要比

4、線性逼近好得多，但局限于它要比線性逼近好得多，但局限于 內(nèi)內(nèi). .二次逼近為二次逼近為 , ,21)(cos22xxpx 可以看出，可以看出，y=1y=1)(1xpy yx x 1-1O上頁 下頁 返回 結(jié)束 八次逼近八次逼近 八次多項式八次多項式 迫近迫近 8822108)(xaxaxaaxp xxfcos)( 令：令： , ,求出求出)0()0(8fp 10 a)0()0(8fp 01 a )0()0()8()8(8fp ! 818 a! 8! 6! 4! 21)(cos86428xxxxxpx 比比 在更大的范圍內(nèi)更接近余弦函數(shù)在更大的范圍內(nèi)更接近余弦函數(shù). . )(8xp)(2xp)(

5、2xp)(8xpy=1)(1xpyx 1-1O上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)(1),)(0連連續(xù)續(xù)在在若若xxf)()(lim00 xfxfxx 則有則有 由極限和無窮小量間的關(guān)系由極限和無窮小量間的關(guān)系 )()(0 xfxf)()(0 xfxf (2)(2),)(0可可導導在在若若xxf由微分有由微分有 xxfxfxxf)()()(000 )()()(000 xxxfxfxf )(0 xxx - x 的一次多項式的一次多項式 從幾何上來講，就是在從幾何上來講，就是在 x0 點的附近可以用曲線在該點的附近可以用曲線在該點處的切線來擬合曲線。點處的切線來擬合曲線。-以直代曲以直代曲用常數(shù)代替函用

6、常數(shù)代替函數(shù)誤差太大數(shù)誤差太大缺乏缺乏: 1、精確度不高；、精確度不高；2、誤差不能估計。、誤差不能估計。上頁 下頁 返回 結(jié)束 就必須用高次多項式來近似表達函數(shù)就必須用高次多項式來近似表達函數(shù) 同時給同時給出出問：若問：若f (x)在在 x0 處二階可導處二階可導,會不會有一個二次多項式來近似表示？會不會有一個二次多項式來近似表示？ 若若f (x)在在 x0 處處 n 階可導階可導, 結(jié)果又會如何？結(jié)果又會如何？ 因而因而 對于精確度要求較高且需要估計誤差時對于精確度要求較高且需要估計誤差時候候誤差公式。誤差公式。問題：給定一個函數(shù)問題：給定一個函數(shù)f (x)，要找一個在指定點，要找一個在指

7、定點 x0 附附近近與與f (x)很近似的多項式函數(shù)很近似的多項式函數(shù)P (x)，nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 記為記為 )()(xPxfn 使得使得)()()(xPxfxRnn 誤差誤差可估計可估計上頁 下頁 返回 結(jié)束 問：要找的多項式應滿足什麼條件，誤差是什么？問：要找的多項式應滿足什麼條件，誤差是什么？從幾何上看，從幾何上看， ),(xfy )(xPyn 代表兩條曲線，代表兩條曲線， 要使它們在要使它們在x0附近與很靠近，附近與很靠近，很明顯很明顯首先要求兩曲線在首先要求兩曲線在 )(,(00 xfx相交相交, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近還

8、要求兩曲線在要靠得更近還要求兩曲線在 )(,(00 xfx相切相切, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近還要求兩曲線在要靠得更近還要求兩曲線在 )(,(00 xfx彎曲方向相同彎曲方向相同,)()(00 xfxPn 即即因為彎曲程度要用切線的變化率因為彎曲程度要用切線的變化率-二階導數(shù)來刻畫二階導數(shù)來刻畫.0 x)(xf)(xPnxy進而可推想：若在進而可推想：若在 )(,(00 xfx附近有附近有 )()(00 xfxPn )()(0)(0)(xfxPnnn 近似程度越來越好近似程度越來越好 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從物理上看從物理上看 ),(tfy )(tPyn 是兩個質(zhì)點的運動方程

9、是兩個質(zhì)點的運動方程 , 首先要求兩曲線在首先要求兩曲線在 )(,(00 xfx相交相交, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近還要求兩曲線在要靠得更近還要求兩曲線在 )(,(00 xfx相切相切, )()(00 xfxPn 即即要靠得更近還要求兩曲線在要靠得更近還要求兩曲線在 )(,(00 xfx彎曲方向相同彎曲方向相同,)()(00 xfxPn 即即那么那么 表示兩個質(zhì)點在表示兩個質(zhì)點在 t 時刻位置相同；時刻位置相同；表示兩個質(zhì)點在表示兩個質(zhì)點在t 時刻位置、速度均相同；時刻位置、速度均相同；表示兩個質(zhì)點在表示兩個質(zhì)點在t 時刻位置、速度、加速度均相同時刻位置、速度、加速度均相同;一

10、種情形比一種情形更相近一種情形比一種情形更相近. 我們知道速度是路程的變化率，我們知道速度是路程的變化率， 加速度是速度的變化率加速度是速度的變化率, 可以推想，可以推想， 假設(shè)在假設(shè)在t 時刻加速度的變化率乃至更高階的時刻加速度的變化率乃至更高階的變化率都相等，變化率都相等，則在則在t 時刻兩個質(zhì)點的運動狀態(tài)會更接近。時刻兩個質(zhì)點的運動狀態(tài)會更接近。上頁 下頁 返回 結(jié)束 綜上所述，綜上所述， 無論幾何的或物理的兩方面都啟示我們無論幾何的或物理的兩方面都啟示我們 所要找的多項式應滿足下列條件所要找的多項式應滿足下列條件 ),()(00 xfxPn ),()(00 xfxPn ),()(00

11、xfxPn )()(00 xfxPn )()(0)(0)(xfxPnnn )1( n具有直到具有直到 階導數(shù)，階導數(shù)，如果函數(shù)如果函數(shù) 在含在含)(xf0 x),(ba的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間 內(nèi)內(nèi)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 00)(axPn 10)(axPn 20! 2)(axPn nanxP!)(0)n(n 設(shè)設(shè)由此便得由此便得)(00 xfa )(01xfa )(! 2102xfa 30! 3)(axPn )(!10)(xfnann 上頁 下頁 返回 結(jié)束 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxpn 那么那么)()()(xpxfxR

12、nn nnxxnxf)(!)(00)( )(00 xfa )(01xfa !)(0)(nxfann nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 )(! 2102xfa 誤差誤差上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1 1 二、泰勒二、泰勒TaylorTaylor公式公式（泰勒公式如果函數(shù)（泰勒公式如果函數(shù) 在含在含 的某個的某個)(xf0 x),(ba)1( n開區(qū)間開區(qū)間 內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到 階導數(shù)，階導數(shù)，),(bax 則則對對 )()()(000 xxxfxfxf其中：其中：10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余項余項nnxxnxf)(!)(00)( （ 在

13、在 與與x x 之間）之間）0 x)(xRn 公式公式 稱為稱為 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項階泰勒公式的拉格朗日余項 .)(xPn證明證明:)()()(xPxfxRnn 200)(!2)(xxxf 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xPxfxRnn 證明證明:欲證欲證式成立，只要證式成立，只要證 式成立式成立 其中：其中：10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余項余項 （ 在在 與與x x 之間）之間）0 x只要證只要證 )!1()()()()1(10 nfxxxRnnn 為此令為此令 10)()( nnxxxQ因為

14、因為 有有 階導，階導， 有任意階導，故有任意階導，故)(xf1 n)(xpn)(),(xQxRnn也有也有 階導，且階導，且1 n0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)()()()(0)(000 xQxQxQxQnnnnn )()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 200)(!2)(xxxf )(xPn上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(0之之間間與與在在nx )()()()(00 xQxQxRxRnnnn )()()()(nnnnnnQR )(203之之間間與與在在 x)(102之間之間與與在在 x)()()()(10 xQxRxxx

15、Rnnnn )()(11 nnQR )()()1()1( nnnnQR)(01之之間間與與在在xx )()()()(0202xQQxRRnnnn )()(22 nnQR )()(33 nnQR )()()()(0101xQQxRRnnnn )()()()(0)()(0)()(xQQxRRnnnnnnnnnn 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn0)()()()(0)(000 xQxQxQxQnnnnnx對對 和和 在在 及及)(xRn10)( nxx0 xx為端點的閉區(qū)間上應用為端點的閉區(qū)間上應用Cauchy定理定理10)()( nnxxxQ)(10之之間間與與在在 nn

16、x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xPxfxRnn 10)()( nnxxxR!)1()()1( nfn )(0之之間間與與在在xx ,0)()1( xPnn10)1()(! ) 1()()( nnnxxnfxR )!1()()()()1()1()1( nxQxfxRnnnnn)(0之之間間與與在在xx )()()1()1( nnnnQR證畢！證畢！上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1 1 （泰勒公式如果函數(shù)（泰勒公式如果函數(shù) 在含在含 的某個的某個)(xf0 x),(ba)1( n開區(qū)間開區(qū)間 內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到 階導數(shù)，階導數(shù)，),(bax 則則對對 )()()(000 xxxfxf

17、xf10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余項余項nnxxnxf)(!)(00)( （ 在在 與與x x 之間）之間）0 x)(xRn 式稱為式稱為 的具有拉格朗日型余項的具有拉格朗日型余項 的的n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf稱為稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項階泰勒公式的拉格朗日余項 .200)(!2)(xxxf 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時時的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)當當在在Mxfxn )()1(010! )1()( nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn )()()(000 xxxfxfxf10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 余項余項nnxxnx

18、f)(!)(00)( （ 在在 與與x x 之間）之間）0 x)(xRn 關(guān)于泰勒公式的幾點說明關(guān)于泰勒公式的幾點說明200)(!2)(xxxf 其中：其中：1.在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的佩亞諾階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項余項 .)()(0nnxxoxR 注意到注意到在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(0nxxo

19、 公式公式 稱為具有佩亞諾型余項的稱為具有佩亞諾型余項的 n 階泰勒公式階泰勒公式.上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.2.特例特例: :(1) 當當 n = 0 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)?)(xf)(0 xf)(0 xxf (2) 當當 n = 1 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)榻o出拉格朗日中值定理給出拉格朗日中值定理 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 20)(!2)(xxf 可見可見 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 201)(!2)()(xxfxR 誤差誤差 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 10)1()(!)1()( nnxxnf 200)(!2)(xxxf nnx

20、xnxf)(!)(00)( 之之間間與與在在xx0 )0(之之間間與與在在xx )0(之之間間與與在在xx )0(之之間間與與在在xx )(00 xxxf fd上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 10)1()(!)1()( nnxxnf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 之之間間與與在在xx0 3.3.在公式在公式中，中，從而泰勒公式變成如下形式，從而泰勒公式變成如下形式， 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf, 00 x令令 ),10( x令令 , 0 之之間間和和

21、在在此此時時x 稱為帶有拉格朗日型余項的稱為帶有拉格朗日型余項的n 階麥克勞林公式階麥克勞林公式上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、麥克勞林三、麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式 由此得到近似公式：由此得到近似公式： nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 3.3.在公式在公式中，中，從而泰勒公式變成如下形式，從而泰勒公式變成如下形式， 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf, 00 x令令 ),10( x令令 , 0 之之間間和和在在此此時時x 稱為帶有拉格朗日型余項的稱為帶有

22、拉格朗日型余項的n 階麥克勞林公式階麥克勞林公式上頁 下頁 返回 結(jié)束 與泰勒多項式相應，上式右端的多項式稱為與泰勒多項式相應，上式右端的多項式稱為f(x)f(x)的的n n階麥克勞林多項式，階麥克勞林多項式，相應變成：相應變成：1)!1()( nnxnMxR四、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式：四、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式： 例例1 1 求出函數(shù)求出函數(shù) 的的n n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. .xxfe)( 此時的誤差估計式此時的誤差估計式解解 因為因為xnxfxfxfxfe)()()()()( 把這些值代入把這些值代入式，式，1)0()0()0()0()( nffff所以所以 2! 2)0

23、()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上頁 下頁 返回 結(jié)束 并且注意到并且注意到: : ) 10(e)()1( xnxf，就得到，就得到: : )10()!1(e!1! 211e12 nxnxxnxnxx四、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式：四、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式： 例例1 1 求出函數(shù)求出函數(shù) 的的n n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. .xxfe)( 解解 因為因為xnxfxfxfxfe)()()()()( 把這些值代入把這些值代入式，式，1)0()0()0()0()( nffff所以所以 2! 2)0()0()0()(xfxff

24、xf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 10(e)()1( xnxf，就得到，就得到: : )10()!1(e!1! 211e12 nxnxxnxnxx由這個公式可知，假如由這個公式可知，假如 用它的用它的n階麥克勞林多階麥克勞林多xenxxnxx!1! 211e2 多項式近似表達多項式近似表達:那么當那么當x0 x0時的誤差為時的誤差為: :)10( ,)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxR如果取如果取x=1x=1，就得到，就得到e e的近似式為的近似式為: :上頁 下頁 返回 結(jié)束 !1! 2111en 其誤差其誤差 :

25、 :)!1(3)!1(e nnRnnxxnxx!1! 211e2 多項式近似表達多項式近似表達:那么當那么當x0 x0時的誤差為時的誤差為: :)10( ,)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxR如果取如果取x=1x=1，就得到，就得到e e的近似式為的近似式為: :上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 2 求出函數(shù)求出函數(shù)f(x)=sinxf(x)=sinx的的n n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. . 解解 因為因為 ，所以，所以), 2 , 1(),2sin()()( nnxxfn mnf)1(0)0()(122 mnmn當當當當, 2 , 1 , 0 m于是由公式于是由公式得到得到

26、 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf)()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf)()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm )10()!12()()(12)12(2 mmmxmxfxR)(xRn)10()!12(2)12(sin)(122 mmxmmxxR), 2 , 1(),2sin()()( nnxxfn又又上頁 下頁

27、返回 結(jié)束 )()!12()1(! 51! 31sin212153xRxmxxxxmmm )10()!12(2)12(sin)(122 mmxmmxxR其中其中當當m=1m=1時誤差為：時誤差為：)10(6! 3)23sin()(332 xxxxR類似地，還可以得到：類似地，還可以得到： 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中：其中：)10()!22()1(cos)(2212 mmxmmxxR)()!2()1(! 41! 211cos12242xRxmxxxmmm )()1(3121)1ln(132xRxnxxxxnnn 其中其中知知 )()(xfkkkxk)1(! )1()1(1 ),2,1( k例例

28、3 3 求出函數(shù)求出函數(shù) f (x)=ln(1+x) f (x)=ln(1+x) 的的n n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. . )!1()1()0(1)( nfnnnnfnn1)()1(!)0( 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 11)1(1)1( nnnxxn )10( )1( x 2! 2)0()0()0()(xfxffxf)10()!1()(!)0(1)1()( nnnnxnxfxnf上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,2 . 1ln, 5的的近近似似值值求求取取 n并估計其誤差并估計其誤差 )()1(3121)1ln(132xRxnxxxxnnn 其中其中1)1()!1()()( n

29、nnxnxfxR 11)1(1)1( nnnxxn )10( 182. 05)2 . 0(4)2 . 0(3)2 . 0(2)2 . 0(2 . 0)2 . 01ln(2 . 1ln5432 )2 . 0(5R665)2 . 01()2 . 0(6)1( 461023. 16)2 . 0( 又又 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1( x )()(xfk )1(x 1 x 2xnx)(xRn 其中其中 )(xRn11)1(!)1()()1( nnxxnn )10( kxk )1)(1()1()1()1()0()( kfk ),2,1( k!2 )1( ! n )1()1( n 例例4 4 求出函數(shù)求出函數(shù) f (x)=(1+x)f (x)=(1+x)的的n n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 幾個常見的初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克幾個常見的初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：勞林公式： )(!1! 2