【教學(xué)】第三節(jié) 定積分在物理中的應(yīng)用

1、整理課件 定積分的應(yīng)用十分廣泛，自然科學(xué)、工程技術(shù)中的許多問(wèn)題都可以使用定積分這種數(shù)學(xué)模型來(lái)解決.下面討論一些物理方面的實(shí)例，旨在加強(qiáng)讀者微元法建立定積分模型.一、變力做功,fs由物理學(xué)可知 在大小 的常力的作用下 物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體移動(dòng)一段距離 時(shí) 力所做的功為WF s 但在實(shí)際問(wèn)題中，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力是變化的，這就是下面要討論的變力做功問(wèn)題. 整理課件,qrOOr 把一個(gè)帶+ 電量的點(diǎn)電荷放在 軸上坐標(biāo)原點(diǎn) 處 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng).這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力.由物理學(xué)知道,如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn) 為的地方 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力大小為 例12,()q

2、fkkr為常數(shù)517,(),rararrb ab 如圖所示 當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從處沿處沿 軸移動(dòng)到處時(shí) 計(jì)算電場(chǎng)力對(duì)它所做的功.圖5-17 電場(chǎng)力所做的功Oqaxxdxbr整理課件解(1),;ra b取積分變量為 積分區(qū)間為2(2),a br rdrqfkr在區(qū)間上作取一小區(qū)間與它相應(yīng)的電場(chǎng)力所做的功近似于把作為常力所做的功 從而得到功微元2dkdWdrr(3)所求的電場(chǎng)力所做的功為22111()bbbaaadkdrWdrkqkqkqrabrr功為單位,( ),f xxaxb一般地 若大小為的變力將某一物體沿力方向從移到處 則變力所做的功為( )baWf x dx (5-12)整理課件

3、下面再舉一個(gè)計(jì)算功的問(wèn)題，但它通過(guò)定積分的微元法，先求功微元，再求定積分，并給出了一個(gè)解決此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.2 ,?mmm 修建一座大橋墩時(shí)先要下圍囹,并抽盡其中的水以便施工,已知半徑是10 的圓柱形圍囹的上沿高出水面河水深18問(wèn)抽盡圍囹內(nèi)的水做多少功例2解(1),2,20 ;x 取水深 為積分變量 它的變化區(qū)間為圖5-18 例題 抽水做功2m18mxdx10m,5 18.x以圍囹上沿圓心為原點(diǎn),向下的方向?yàn)?軸的正向 建立如圖所示的坐標(biāo)系整理課件100dWx Sdxxdx即所求微元;(3)2,20,在上求定積分 就得到所求的功為20220282100506.078 10 (J)Wxdxx3

4、(2)2,20,/,(.),x xdxdxkg mxx 相應(yīng)于上任一小區(qū)間的一薄層水的高度為水的密度為這薄層水的重力為 Sd其中是薄層水的底面積 把薄層水抽出圍囹外時(shí) 需要提升的距離近似為因此需做的功近似為整理課件二、液體壓力,AhAh 從物理學(xué)知道 如果有一面積為 的平板 水平地放置在液體深度為 處,那么,平板一側(cè)所受的液體壓力等于底面積為高為 的液體柱的質(zhì)量,即PhA,式中 為液體的密度.但是在實(shí)際問(wèn)題中,平板放置并不總水平,現(xiàn)就垂直放置的平板的一側(cè)所受的液體壓力進(jìn)行進(jìn)行計(jì)算.另外,傾斜放置在液體內(nèi)的平板的一側(cè)所受的壓力也可以用定積分的微元法計(jì)算.整理課件 灑水車水箱規(guī)格尺寸如圖17-19

5、所示,當(dāng)水箱半滿時(shí),求水箱橢圓端面的一側(cè)所受的壓力.例3解520,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 水箱端面橢圓曲線方程為22221,(0)yxxbba圖5-19 例3水箱2a2b*l整理課件(1),;xb取積分變量為 積分區(qū)間 0,22(2),2(520)bx xdxadAbx dxb 在 0,上任取一小區(qū)間而面積為的小窄條 見(jiàn)圖陰影部分一側(cè)所受的液體壓力,也就是壓力微元為222aPx bx dxbd(3)所求的液體壓力為32222200222()32()3bbaaPx bx dxbxbbab 壓力單位圖5-20 例3液體壓力Oxaybxdx整理課件 設(shè)有一豎直的閘門,形狀是等腰梯形,它的某些尺寸如

6、圖5-21所示,當(dāng)水面齊閘門頂時(shí),求閘門所受的水壓力.例4解(1),522,0,6 ;x建立直角坐標(biāo)第 如圖所示 取積分變量 積分區(qū)間522圖 例4閘門所受壓力Oxxdxx(0,3)Ay(6,2)B521圖 例4閘門6cm4cm整理課件(2)36,2236,xAByx xdxxdxyx 在此坐標(biāo)系中,直線的方程為在區(qū)間 0,6 上任取一小區(qū)間,與相應(yīng)的小薄片的面積近似于寬為長(zhǎng)為的小矩形面積 這個(gè)小矩形的受到的壓力近似于把這個(gè)小矩形放在平行于液體表面且距液體表面深度為 的位置上一側(cè)所受到的壓力.由于39.8 10 ,23,6xdAdx hx2339.8 10239.8 10663xxPxdxx dx 所以壓力微元為d整理課件(3)所求水壓力為62309.8 1063xPx dx 633209.8 1039xx58.23 10( )baPxf x dx一般地液體的計(jì)算公式為,( )(523)f x式中為液體的密度,為薄片曲邊的函數(shù)式 見(jiàn)圖圖5-23 液體壓力計(jì)算Oayxxdxbx整理課件12,mmr由萬(wàn)有引力定律知道,兩質(zhì)量分別為和相距為 的質(zhì)點(diǎn)間的引力為122,()mmFkkr為引力常數(shù) 已經(jīng)知道，一個(gè)均勻細(xì)桿和一個(gè)質(zhì)點(diǎn)也會(huì)產(chǎn)后引力，下面用定積分的微