第七講-定積分的近似計算ppt課件

1、數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗定積分的近似計算q 問題背景和實驗?zāi)康膯栴}背景和實驗?zāi)康亩ǚe分的近似計算定積分的近似計算u 定積分計算的基本公式是牛頓萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需要利用近似計算。特別是在許多實際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。u 本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹 Matlab 計算定積分的相關(guān)函數(shù)。l 矩形法矩形法l 梯形法梯形法l 拋物線法拋物線法q 數(shù)值積分的常見算法數(shù)值積分的常見算法主要內(nèi)容主要內(nèi)容q Matlab 求積分函數(shù)求積分函數(shù)l

2、 數(shù)值積分函數(shù)：數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad、 triplequadl 符號積分函數(shù)：符號積分函數(shù)：intq 矩形法u 定積分的定義：定積分的近似計算定積分的近似計算badxxf)(,1iiixx0 x1x2x1nxnx 1x2x1ix ix nx,)(iixf ,1iiixxxiixxmax0limdixni 1矩形法矩形法1( )(), nbiiaif x dxfx d 充分小u 定積分的近似：l 通常我們?nèi)xxx21nabh左點法右點法中點法l 點 可以任意選取，常見的取法有： 左端點 ，右端點 和中點 。,1iiixx1ixix2/ )(1iixx()/ixhb

3、an, 1 2ixaihi, ,n步長節(jié)點u 右點法：11( )()()nnbiiaiif x dxfxhf xixu 中點法：1111( )()22(nnbiiiaiixxf x dxfxhfiixx111( )()()nnbiiaiif x dxfxhf x-1ixu 左點法：左點法、右點法和中點法左點法、右點法和中點法解：矩形法舉例矩形法舉例h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法計算下面的定積分 ( 取 n=100 )， 并比較這三種方法的相對誤差。1021xdxl 左點法：niiniixhxfhxdx1121110211

4、 )(1 0.78789399673078l 右點法：1201()1niidxhf xx 0.78289399673078 0.78540024673078niiixxfhxdx11102)2(1l 中點法：(i = 0,1,2,.,100)11020arctan1dxxx40.78789399673078/4/40.003178l 理論值：l 左點法相對誤差：0.78289399673078/4/40.0031880.78540024673078/4/4 -62.65310 u 誤差分析矩形法舉例矩形法舉例l 右點法相對誤差：l 中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算

5、定積分的方法有沒有更好的近似計算定積分的方法 ?)(xfab1ixixxyobadxxfS)(1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(定積分幾何意義定積分幾何意義iSiiiixyyS21nixfyii, 2 , 1 ),(u 曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似u 整個曲邊梯形的面積：badxxfS)(iniiiniixyyS1112梯形法梯形法u 如果我們 n 等分區(qū)間 a,b，即令：badxxfS)(niiiiniiiniiyyhxyyS1111122nxxx21nabh那么那么22)(110nnbayyyyhdxxf梯形公式梯形公式梯形法梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別梯形

6、公式與中點公式有什么區(qū)別 ?解：101120122nndxyyhyyx 0.78539399673078u 例：用梯形法計算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計算相對誤差梯形法舉例梯形法舉例1021xdxa=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相對誤差：0.78539399673078/4/4-65.30510 u 2n 等分區(qū)間 a,b ，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？11, , 0,1,22ibahxihinnu 計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：nixfyii2 , 1

7、, 0 ),(拋物線法拋物線法u 在區(qū)間 x0, x2 上，用過以下三點),( ),( ),(222111000yxPyxPyxP的拋物線來近似原函數(shù) f (x) 。u 設(shè)過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間則在區(qū)間 x0, x2 上，有上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6bayyyn拋物線法拋物線法u 同理可得：)4(6)( )4(6)(2122243222242nnnxxxxyyynabdxxfyyynabdxxfnnu 相加即得：22212

8、22121( )( ) (4) 6iinbxaxiniiiif x dxf x dxbayyyn拋物線法拋物線法u 整理后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或辛普森 (Simpson) 公式拋物線法公式拋物線法拋物線法)(461123120102nnyyyyynabxdx 0.78539816339745)(22242nyyyu 例：用拋物線法計算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計算相對誤差1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 0.78539816339745/4/4

9、-162.82710 l 相對誤差：拋物線法拋物線法l 矩形法矩形法l 梯形法梯形法l 拋物線法拋物線法q 數(shù)值積分的常見算法數(shù)值積分的常見算法Matlab 函數(shù)函數(shù)q Matlab 求積分函數(shù)求積分函數(shù)l 數(shù)值積分函數(shù)：數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquadl 符號積分函數(shù)：符號積分函數(shù)：intl 矩形法矩形法總結(jié)總結(jié)l Matlab 數(shù)值積分函數(shù)：數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad11( )()() ninbiiaiif x dxfxhf xx 1111( )()() 2 2nnbiiiiiiaixxf x dxfxxhfx -1111( )()() nnbii

10、aiiif x dxfhxxxf l 梯形法梯形法l 拋物線法拋物線法011( ) 22bnnayyf x dxhyy 0213212422( ) 4()6 2() bnnanbaf x dxyyyyynyyy u 梯形法：trapztrapz(x,y)x 為分割點節(jié)點組成的向量，為分割點節(jié)點組成的向量，y 為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。向量。22)(110nnbayyyynabdxxf,x10nxxx01y (),(),()nf xf xf xq Matlab 近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab 計算定積分函數(shù)介紹計算定積分函數(shù)介紹前面的做法u 例：

11、用梯形法計算下面定積分 ( 取 n=100) 1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); y=1./(1+x.2); trapz(x, y) trapz(x, y)trapz函數(shù)函數(shù)1012120(/2/2)1nndxbayyyyyxntrapz(x,1./(1+x.2)trapz 舉例舉例quad(f,a,b,tol)f = f(x) 為被積函數(shù)，為被積函數(shù)，a,b 為積分為積分區(qū)間，區(qū)間，tol 為計算精度為計算精度將自變量看成是向量將自變量看成是向量

12、badxxf)(u 拋物線法：quadl 不用自己分割積分區(qū)間l 可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函數(shù)運行的時間越長l 此處的函數(shù) f 是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運算，即 點運算：.*，./ ，. ，. 注：拋物線法拋物線法1021xdx解：解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10)函數(shù)表達(dá)式一定要用函數(shù)表達(dá)式一定要用 單引號單引號 括起來！括起來！涉及的運算一定要用涉及的運算一定要用 數(shù)組運算！數(shù)組運算！u

13、例：用 quad 計算定積分：quad 舉例舉例q 拋物線法計算二重積分：拋物線法計算二重積分： dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)l tol 為計算精度，若不指定，則缺省精度為為計算精度，若不指定，則缺省精度為 10-6l f 可以是：可以是： 字符串；字符串；inline 定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄l a,b 是是 第一積分變量第一積分變量 的積分區(qū)間，的積分區(qū)間， c,d 是是 第二積分變量第二積分變量 的積分區(qū)間的積分區(qū)間( , )dbcaf x y dxdy dblquad21201(43)Ixyydxdy f=inline(4 f=in

14、line(4* *x x* *y+3y+3* *y2);y2); I=dblquad(f, -1,1,0,2) I=dblquad(f, -1,1,0,2)u f(x,y) 中關(guān)于第一自變量的運算是數(shù)組運算， 即把 x 看成是向量，y 看成是標(biāo)量。u 也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算二重積分 20112)34(dxdyxxy dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x2),-1,1,0,2)x2),-1,1,0,2) dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x.2),-1

15、,1,0,2)x.2),-1,1,0,2)X例1：計算二重積分dblquad 舉例舉例例：計算二重積分 20112)34(dxdyxxy dblquad(x,y)4 dblquad(x,y)4* *x x* *y+3y+3* *x.2 , -1,1, 0, 2)x.2 , -1,1, 0, 2)指定 x、y 分別是第一和第二積分變量 dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x.2), -1,1, 0, 2)x.2), -1,1, 0, 2)q 被積函數(shù) f (x,y) 的另一種定義方法：匿名函數(shù) dblquad(y,x)4 dblq

16、uad(y,x)4* *x x* *y+3y+3* *x.2 , -1,1, 0, 2)x.2 , -1,1, 0, 2)下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad 舉例舉例int(f,a,b) 計算計算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量關(guān)于默認(rèn)自變量 的定積分，積分區(qū)的定積分，積分區(qū)間為間為a,b。int(f) 計算計算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量關(guān)于默認(rèn)自變量 的不定的不定積分。積分。int(f,v,a,b) 計算函數(shù)計算函數(shù) f 關(guān)于自變量關(guān)于自變量 v 的定積分，積分的定積分，積分區(qū)間為區(qū)間為 a, bint(f,v) 計算函數(shù)計算函數(shù) f 關(guān)于自變量關(guān)于自變量 v 的不定積分的不定積分badvvf)

17、( )f v dvfindsym(f,1)q 符號積分： intint 符號積分符號積分 syms x y; syms x y; f=y f=y* *sin(x);sin(x); int(f,x) int(f,x) int(f,y) int(f,y) int(f) int(f) int(a+b) int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b2u 例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int 舉例舉例u 例：用 int 函數(shù)計算定積分：解： syms x; syms x; f=1/(1+x2); f=1/(1+x2);

18、int(f,x,0,1) int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1)或 int(1/(1+x2),0,1) int(1/(1+x2),0,1)1021xdx或或int 舉例舉例double(a) 將將 a 轉(zhuǎn)化為雙精度型，假設(shè)轉(zhuǎn)化為雙精度型，假設(shè) a 是字符，則取對是字符，則取對應(yīng)的應(yīng)的 ASCII 碼碼 a=3; double(a) double(a)例：ans = 3ans = 97其它相關(guān)函數(shù)其它相關(guān)函數(shù)221d

19、xex x=1:0.001:2; x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); y=exp(x.(-2); trapz(x,y) trapz(x,y)l 梯形法：l 拋物線法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10) quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符號積分法： syms x syms x int(exp(x(-2),x,1,2) int(exp(x(-2),x,1,2)例 1：用 Matlab 函數(shù)近似計算積分?jǐn)?shù)值實驗數(shù)值實驗20112)(dyyxdxl 拋物線法： dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1) dblquad

20、(inline(x+y2),0,2,-1,1)l 符號積分法： f=int(x+y2,y,-1,1); f=int(x+y2,y,-1,1); int(f,0,2) int(f,0,2)數(shù)值實驗數(shù)值實驗例 2：用 Matlab 函數(shù)近似計算二重積分q 拋物線法計算三重積分：拋物線法計算三重積分： triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)l tol 為計算精度，若不指定，則缺省精度為為計算精度，若不指定，則缺省精度為 10-6l f 可以是：可以是： 字符串；字符串；inline 定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄l a,b 是是 第一積分變量

21、第一積分變量 的積分區(qū)間，的積分區(qū)間， c,d 是是 第二積分變量第二積分變量 的積分區(qū)間的積分區(qū)間l e,f是第二積分變量是第二積分變量 的積分區(qū)間的積分區(qū)間( , )fdbecaf x y dxdydz triplequadu f(x,y,z) 中關(guān)于前兩個自變量的運算是數(shù)組運算， 即把 x， y 看成是向量，z 看成是標(biāo)量。u 也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算三重積分 triplequad(inline(4 triplequad(inline(4* *x.x.* *y+3y+3* *x.2+z2),-1,1,0,2,0,1)x.2+z2),-1,1,0,2,0,1) syms x y z

22、 syms x y z int(int(int(4 int(int(int(4* *x x* *y+3y+3* *x2+z2,x,-1,1),y,0,2),z,0,1)x2+z2,x,-1,1),y,0,2),z,0,1)triplequad 舉例舉例1212001(432)Ixyyzdxdy triplequad(x,y,z)4 triplequad(x,y,z)4* *x.x.* *y+3y+3* *x.2+z2 , -1,1, 0, x.2+z2 , -1,1, 0, 2,0,1)2,0,1)指定 x、y, z 分別是第一、二、三積分變量 triplequad(inline(4 triplequad(inline(4* *x.x.* *y+3y+3* *x.2+z2), -1,1, 0, x.2+z2), -1,1, 0, 2,0,1)2,0,1)q 被積函數(shù) f (x,y,z) 的另一種定義方法：匿名函數(shù)triplequad 舉例舉例例2：計算