第七章微積分ppt課件

1、平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運運 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質的性質多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內容一、主要內容全微分全微分的應用的應用高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導法則求導法則復合函數(shù)復合函數(shù)求導法則求導法則多元函數(shù)多元函數(shù)求極值求極值全微分全微分概念概念偏導數(shù)偏導數(shù)概念概念二重積分二重積分概念性質概念性質計算計算直角直角坐標坐標系下系下極坐極坐標系標系下下定義設有三個變量定義設有三個變量x x，y y，z z，如果對于變量，如果對于變量x x，y y的變化的變化范圍范圍D D內所取的每一對值，變量內

2、所取的每一對值，變量z z都按照一定的規(guī)則，都按照一定的規(guī)則，有一個確定的值與之對應，則稱有一個確定的值與之對應，則稱 z z 為為x x，y y 的二元函的二元函數(shù)，記作數(shù)，記作 z=f(x,y) z=f(x,y) 或或 z=z(x,y)z=z(x,y)，其中其中x x，y y稱為自變量，稱為自變量，z z稱為函數(shù)稱為函數(shù)( (或因變量或因變量).).自變量自變量x x，y y的變化范圍的變化范圍D D稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域. .多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義

3、定義 設函數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點在點P0(x0,y0)P0(x0,y0)的某一去心鄰域內的某一去心鄰域內有有定義，如果動點定義，如果動點P(x,y)P(x,y)在該鄰域內以任意路徑趨于定點在該鄰域內以任意路徑趨于定點P0(x0,y0)P0(x0,y0)時，函數(shù)的對應值時，函數(shù)的對應值f(x,y)f(x,y)趨于一個確定數(shù)趨于一個確定數(shù)A A，那么那么稱稱A A為函數(shù)為函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)，當，當 時的極限，記時的極限，記作作00,yyxx,),(lim00Ayxfyyxx ,),(lim),(),(00Ayxfyxyx 或或二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限說明

4、：說明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性設設二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(000yxP的的某某一一鄰鄰域域內內有有定定義義, ,若若 ，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 則則稱稱),(yxfz 在在),(00yx處處連連續(xù)續(xù). . 定義定義則則稱稱),(yxfz 在在),(00yx處處連連續(xù)續(xù). . 等價定義等價定義),(),(000

5、0yxfyyxxfz 記記，若若0lim00 zyx為為不不連連續(xù)續(xù)，也也稱稱在在如如果果),(),(),(0000yxyxyxf間斷點間斷點.偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義及其計算法函數(shù)對函數(shù)對 x 的偏增量的偏增量.),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx xyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx 注意注意:1.:1.0),(dd0yyyxfy lim0 y),(00yxfy ) ,(0 xf),(0 xf y yy 00y2.若二元函數(shù)若二元函數(shù)f(x,y)在某點關于在某點關于x關于關于y的偏導數(shù)都存在，

6、的偏導數(shù)都存在，則稱此函數(shù)在這一點可導，否則稱不可導則稱此函數(shù)在這一點可導，否則稱不可導.,),(),(lim),(0 xyxfyxxfyxfxx yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0由偏導數(shù)的定義可知，偏導數(shù)本質上是一元函數(shù)的由偏導數(shù)的定義可知，偏導數(shù)本質上是一元函數(shù)的微分法問題。微分法問題。時，時，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 x 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。時，時，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 y 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。其它情況類似。其它情況

7、類似。).,(),(, 000000yxfyxfyyxxxfyx 可類似求可類似求時即得到時即得到取定取定當當高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)設設 z = f (x , y)在域在域 D 內存在連續(xù)的偏導數(shù)內存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz )(yz )(xz )(yz 則稱它們是則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù) . 按求導順序不同按求導順序不同, 有下列四個二階偏導有下列四個二階偏導22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx xyz 2x 數(shù)數(shù):y x );,(yxf

8、xy y ),(22yxfyzyy ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為 混合偏導混合偏導純偏導純偏導全微分概念全微分概念多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導全微分的應用全微分的應用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當當,yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與

9、誤差估計.)(),(ttfz 一、全導數(shù)復合函數(shù)中間變量是一元的情形）一、全導數(shù)復合函數(shù)中間變量是一元的情形）定理定理. 若函數(shù)若函數(shù),)(, )(可可導導在在點點ttvtu ),(vufz 處偏導連續(xù)處偏導連續(xù), ),(vu在點在點在點在點 t 可導可導, tzddz則復合函數(shù)則復合函數(shù)證略證略.且有鏈式法則且有鏈式法則ttuvtudd vz tvdd uz .)(),(dd的的全全導導數(shù)數(shù)對對為為稱稱tttfztz 推廣推廣: : 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微設下面所涉及的函數(shù)都可微 . tzdd 321fffzwvuttttuuzdd tv

10、vzdd twwzdd )(, )(, )(twtvtu 2221 ff yzzvuyxyxyuuz yvvz xz1211 ffxuuz xvvz 二、二元復合函數(shù)求偏導二、二元復合函數(shù)求偏導 （復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形（復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形. .）證略證略.xwwzxvvzxuuzxz ,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz .類類似似地地, ,設設),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,則則復復合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏導導數(shù)數(shù)為為 多元抽象復合函數(shù)求導在偏微分方程多元抽象復合函數(shù)

11、求導在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到, ,下列幾個下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數(shù)符號常用導數(shù)符號. .三、抽象函數(shù)求偏導數(shù)三、抽象函數(shù)求偏導數(shù)定義定義.),(0),(稱為二元隱函數(shù)稱為二元隱函數(shù)確定的函數(shù)確定的函數(shù)由方程所由方程所yxfzzyxF .),(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)yxfz 0),( zyxF),(yxfz 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化如果二元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時，方程如果二元隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時，方程兩邊也可以直接求導，求導的過程中把兩邊也可以直接求導，求導的過程中把z z

12、視為視為x x、y y的二元函數(shù)的二元函數(shù)z=f(x,y).z=f(x,y).二元隱函數(shù)求偏導二元隱函數(shù)求偏導：，則則若若確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)設設方方程程0)(0),(. 1 yFxyyyxF.ddyxFFxy ：，則則若若確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)設設方方程程0),(0),(. 2 zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz ,注：注：.,. 1看看成成常常量量，其其他他類類似似時時暫暫時時將將故故求求，都都是是在在對對中中間間變變量量求求導導利利用用公公式式時時，求求zyFFFFxzyx 負負號號！利利用用公公式式時時，不不要要忘忘記記. 2采采用用直直接接求求導導法法！求求高高階階導導數(shù)數(shù)時

13、時應應階階導導數(shù)數(shù)利利用用公公式式求求導導只只能能求求一一, 3.多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內內異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值.使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點.定理

14、定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數(shù)，且具有偏導數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為多元定義一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的駐點函數(shù)的駐點. .極值點極值點注意注意駐點駐點定定理理 2 2（充充分分條條件件）設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導

15、數(shù)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值. .求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數(shù)數(shù)解解

16、，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.大值和最小值大值和最小值上的連續(xù)函數(shù)一定有最上的連續(xù)函數(shù)一定有最閉區(qū)域閉區(qū)域 D.)(),(),(,)(),(值值小小上的最大上的最大在在就是就是值值以斷定該駐點處的函數(shù)以斷定該駐點處的函數(shù)只有一個駐點，那么可只有一個駐點，那么可的內部的內部在在并且并且的內部取得的內部取得值一定在值一定在小小的最大的最大道道如果根據(jù)問題的性質知如果根據(jù)問題的性質知DyxfDyxfDyxf二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的

17、最值拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，先先構構造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.條件極值：對自變量有附加條件的極值條件極值：對自變量有附加條件的極值定義定義7.87.8，即，即記為記為積分積分上的二重上的二重在區(qū)域在區(qū)域則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)存在存在如果極限如果極限時時當當點點上任取

18、一上任取一在每個小區(qū)域在每個小區(qū)域個小區(qū)域的面積和直徑個小區(qū)域的面積和直徑分別表示第分別表示第和和并以并以個小區(qū)域個小區(qū)域任意劃分為任意劃分為將將上上定義在有界閉區(qū)域定義在有界閉區(qū)域設二元函數(shù)設二元函數(shù) DniiiiiiiniinyxfDyxffnidddidnDDyxf d),(,),(,),(lim,0., 2, 1, ),(. ,max,),(102121iniiiDfyxf 10),(limd),(二重積分二重積分對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：;),(d),()1(的取法無關的取法無關式及點式及點的分割方的分割方與積分區(qū)域與積分區(qū)域二重積分二重積分iiDDyxf 即即示示

19、無無關關而而與與積積分分變變量量用用字字母母表表和和被被積積函函數(shù)數(shù)有有關關域域只只與與積積分分區(qū)區(qū)是是一一個個數(shù)數(shù)值值二二重重積積分分,d),()2(DyxfD DDvufyxfd),(d),(由于二重積分的值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法由于二重積分的值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關無關,故可采用一種便于計算的劃分方式故可采用一種便于計算的劃分方式,在直角坐標系在直角坐標系下下,通常用平行于坐標軸的直線族把通常用平行于坐標軸的直線族把D分成一些小區(qū)域分成一些小區(qū)域.d),(,0),(d),(,0),(,),()5(的負值的負值表示曲頂柱體的體積表示曲頂柱體的體積時時；表示曲頂柱體的體積

20、表示曲頂柱體的體積時時且且連續(xù)連續(xù)當當 DDyxfyxfyxfyxfyxf對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：故二重積分可寫為：故二重積分可寫為： DDyxyxfyxfdd),(d),( .,),()4(上可積上可積在在則它則它上連續(xù)上連續(xù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域若函數(shù)若函數(shù)DDyxfz ;),(,),()3(上上有有界界在在則則上上可可積積在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域若若DyxfDyxf二、二重積分的性質二、二重積分的性質下面假定下面假定f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D D上連續(xù)上連續(xù),A,A為為D D的面的面積積. . 性質性質1 1 線性性質線性

21、性質 DDDyxgyxfyxgyxf d),(d),(d),(),( DDyxfkyxkf d),(d),( ( (k為為常常數(shù)數(shù)) ). . 性質性質2 2 區(qū)域可加性區(qū)域可加性 .d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf （與定積分的性質類似）（與定積分的性質類似）若若在在D上上1),( yxf, ,則則由由定定義義可可知知, ,AD d1， 若若),(),(yxgyxf , ,Dyx ),(, ,則則 推推論論： d),(d),( DDyxfyxf. . 設設),(yxf在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值為為M, ,最最小小值值為為m, , D的的面面積積為為A

22、, ,則則 這里這里A A為為D D的面積的面積. . 性質性質3 3性質性質4 4 DDyxgyxf d),(d),(性質性質5 5 估值性質估值性質 .d),(MAyxfmAD 若若),(yxf在在D上上連連續(xù)續(xù), ,則則存存在在一一點點D ),( , ,滿滿足足: : 性質性質6(6(二重積分的中值定理二重積分的中值定理) ) .),(d),(AfyxfD 證證由性質由性質5 5知知, , .d),(MAyxfmAD 由由于于0 A, ,得得 ，MyxfAmD d),(1由由閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的介介值值定定理理, , 存存在在一一點點D ),( , ,使使 ，),(d),

23、(1 fyxfAD 得證得證. . )()(,),(21yxydycyx )()(,),(21xyxbxayxD Dyxyxfdd),(則則 baxxyyxfx)()(21d),( d .d),( d)( )(21 dcyyxyxfy 先先 x 后后 y 先先 y 后后 x注：交換積分次序并不是注：交換積分次序并不是dx和和dy的簡單對調，實質是的簡單對調，實質是 積分區(qū)域的轉換積分區(qū)域的轉換.交換積分次序交換積分次序 三、二重積分的計算三、二重積分的計算1. 1. 直角坐標系下二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算設設xyyxz ，則則函函數(shù)數(shù)在在) 1, 1 (處處的的全全微微分分為為

24、. . 例例yxdd 解解xyyyxzxyd)ln(d1 yxyxxxyd)ln(1 所以所以yxzdd|d)1 , 1( 例 題例例設設)2ln(yxz ，則則 )1 , 0(yz . . 解解,2121 yxyz.1 )1 , 0( yz所以所以函函數(shù)數(shù))2(e),(22yyxyxfx 在在點點 處處有有極極 值值. . 例例解解)1,21( 0)22(e0)1422(e222yfyyxfxyxx 121 yx小小)1,21(22| )3844(e)1,21( yyxfAxxx,0e )1,21(2| )44(e)1,21( yfBxxy,0 )1,21(2|e2)1,21( xyyfC,

25、e2 ,02 ACB例例C解解,21fyfxz ,21fxfyz 所以所以1)(fyxyzxz 當當)0 , 2(),(yx時時, ,函函數(shù)數(shù)22)tan(yxyz 的的極極限限是是 . . 例例2解解2202)tan(limyxyyx2202limyxyyx xyx02lim 函函數(shù)數(shù) 0 , 0 0 , ),(222222yxyxyxxyyxf在在)0 , 0(處處( ( ) ). . 例例A(A)(A)不連續(xù)，偏導數(shù)存在不連續(xù)，偏導數(shù)存在 (B)(B)連續(xù)，偏導數(shù)存在連續(xù)，偏導數(shù)存在 (C)(C)連續(xù)，偏導數(shù)不存在連續(xù)，偏導數(shù)不存在 (D)(D)不連續(xù)，偏導數(shù)不存在不連續(xù)，偏導數(shù)不存在

26、其值隨其值隨 k 的不同而變化，極限不存在的不同而變化，極限不存在,故不連續(xù)故不連續(xù)22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，21kk 解解xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0，0 xx 00lim0.0)0 , 0( yf同理同理, ,yxyxyxyxfarctanarctan),(22 ，求求yxf 2. 例例解解11112222 xxyxyxf,arctan2yxyx yyxyxyxyxxyxxf111)(11arctan22222222 .2222yxyx ),(yxfz 是是由由方方程程yzzxln 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)，求求zd. 例例解解yyzyzxyzzd)lnln1 (dlnln11dyzzzxlnln 方程化為方程化為yxzyzxxzzzd)(dd2或或0lnln yzzzxyzzzxz