
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1、第二章復(fù)變函數(shù)的積分01 2111( )()(),n,()nKKKnKKKKlf zlzAz zzBlzzfzz設(shè)在復(fù)數(shù)平面的某分段光滑曲線 上定義了連續(xù)函數(shù)在 上取一系列的分點(diǎn)即起點(diǎn),即終點(diǎn)把 分成 個(gè)小段,在每個(gè)小段上任取一點(diǎn),作和:1100nKKyBzzzAzx11( )( )( )lim()KlnKKKlnKnf zlABf z dzf z dzfzz 于而且每一小段都無限縮短時(shí),如果這個(gè)和的極限存在,而且其值與各個(gè)的選取無關(guān),則這個(gè)和的極限稱為函數(shù)沿曲線 從 到的路積分,記作:,即:( ),( )( , )( , )( ) ( , )( , ) ( , )( , )KKKKlllzf
2、 zzxiyf zu x yiv x yf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy把和都用實(shí)部和虛部表示出來:則:復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算公式( ) ( , )( , ) ( , )( , )lllf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy該公式將復(fù)變函數(shù)的路積分轉(zhuǎn)該公式將復(fù)變函數(shù)的路積分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分化為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分.1212(1)( )( )(2)( )( )( )( )lllllcf z dzcf z dzf zfz dzf z dzfz dz一些常用的性質(zhì):常數(shù)因子可以移到積分號(hào)外;函數(shù)的和的積分等于各
3、個(gè)函數(shù)積分的和;1212(3)( )( )(4)( )( )( )BAABllllf z dzf z dzf z dzfz dzfz dz 反轉(zhuǎn)積分路徑,積分變號(hào);全路徑上的積分等于各段上積分之和;1122Re,ReLLIzdzIzdz例:計(jì)算以下積分:(1)(2)1+ioL2L111100 ( , )( , ) ( , )( , )112llIu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyxdxidyi210 ( , )( , ) ( , )( , )12llIu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyxdx 可見可見,復(fù)變函數(shù)的積分值復(fù)變函數(shù)的積
4、分值不僅和積分的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)不僅和積分的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),而且與積分路徑有關(guān),可以,而且與積分路徑有關(guān),可以用柯西定理來描述積分值與路用柯西定理來描述積分值與路徑的關(guān)系。徑的關(guān)系??挛鞫ɡ砜挛鞫ɡ恚?閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積 分值為零。分值為零。(2閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。界線正方向的積分和為零。(3閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)時(shí)針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向積分之和。針方向積分之和。(1單通區(qū)域情
5、況單通區(qū)域情況所謂單通區(qū)域,即在其中作任何簡所謂單通區(qū)域,即在其中作任何簡單的閉和圍線,圍線內(nèi)的點(diǎn)都屬于單的閉和圍線,圍線內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。如果該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。如果fz在單通在單通區(qū)域上解析,則沿該區(qū)域內(nèi)任一光區(qū)域上解析,則沿該區(qū)域內(nèi)任一光滑閉合曲線積分有:滑閉合曲線積分有:( )0lf z dz ( ) ( , )( , ) ( , )( , )()llllSf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dyQPPdxQdydxdyxy證明:應(yīng)用格林公式:( )()()lSSf z dzvuuvdxdyidxdyxyxyuuvuCRxyxy 故將回路的積分,
6、轉(zhuǎn)化成面積分:按照條件,所以積分項(xiàng)為零。(2閉復(fù)通區(qū)域情形閉復(fù)通區(qū)域情形所謂復(fù)通區(qū)域,即函數(shù)在其中某些所謂復(fù)通區(qū)域,即函數(shù)在其中某些點(diǎn)處并不解析,這些點(diǎn)稱為奇點(diǎn),為點(diǎn)處并不解析,這些點(diǎn)稱為奇點(diǎn),為了將這些點(diǎn)排除在外,常做一些適當(dāng)了將這些點(diǎn)排除在外,常做一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線將這些奇點(diǎn)挖去,形成帶的閉合曲線將這些奇點(diǎn)挖去,形成帶“孔的區(qū)域,即復(fù)通區(qū)域??椎膮^(qū)域,即復(fù)通區(qū)域。A ABBDDCCl1l2l復(fù)通區(qū)域內(nèi)雖然包含奇點(diǎn),但是已經(jīng)用閉合的曲線將這些奇點(diǎn)挖去,所以,原來的復(fù)通區(qū)域已經(jīng)變成了單通區(qū)域,那么按單通區(qū)域的柯西定理有:/1212( )( )( )( )( )( )( )0( )( )( )0
7、B AD ClABlCDllllf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz其中,沿割線兩條邊上的積分值相互抵消,故:2-3 不定積分不定積分0210/21( )( )( )( )( )( )( ),( )( )( )()( )lZZZZf zBBlf z dzzF zfdF zBFzf zF zf zfdF zF z由柯西定理可知:若函數(shù)在單通區(qū)域上解析,則沿 上任一路徑 的積分值只跟起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),而與路徑無關(guān),因此當(dāng)起點(diǎn) 固定時(shí),這個(gè)不定積分就定義了單值函數(shù),記作:若在 上解析,且則是的一個(gè)原函數(shù)。0nliIdz
8、lln例:計(jì)算下式積分: (z- )分析:若 不包含 點(diǎn),則積分值為零,若包含 點(diǎn),則當(dāng)n0時(shí),被積函數(shù)在 所圍區(qū)域內(nèi)仍解析,只有當(dāng)時(shí)才成為奇點(diǎn),現(xiàn)做一圓將 點(diǎn)包圍,圓心為 ,半徑為C,則在圓周上,z- =Re2021(1)021(1)020()()0(1)(1)2(1)(2)nlniniCninini nni nIzdzR edReR eRe idiRedIiRednIidin 01022112lllldzzdzizdzizdziz綜上所述:(1)n=-1且不包圍a點(diǎn)時(shí),則也可以寫成(2)n=-1且包圍a點(diǎn)時(shí),則即()01020()121()1()02nlllnlzdzdzizldzizlzdzi(3)n-1,則也可以寫成總結(jié)起來:不包圍包圍(n-1)2-4 柯西公式柯西公式( )( )lflf zf zdzz-若(z)在閉單通區(qū)域B上解
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