數(shù)值分析復(fù)習(xí)

1、數(shù)值分析總復(fù)習(xí)數(shù)值分析總復(fù)習(xí)第三章 線性方程組的直接法第四章 線性方程組的迭代法第一章 緒論第二章 非線性方程求根第五章 函數(shù)插值第六章 函數(shù)逼近第七章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分第八章 常微分方程數(shù)值解法第九章 特征值特征向量內(nèi)容提要第一章第一章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1 誤差的概念誤差的概念絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字定義及相互關(guān)系：2 誤差的傳播（數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)）誤差的傳播（數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)）一元函數(shù)、多元函數(shù)誤差的近似泰勒估計(jì)：3 誤差定性分析誤差定性分析條件數(shù)、算法的數(shù)值穩(wěn)定性。4 算法設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)算法設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)知識結(jié)構(gòu)圖算法設(shè)計(jì)要點(diǎn)數(shù)值方法的穩(wěn)定性數(shù)值方法的收斂性算法多元函數(shù)一元函數(shù)傳播有

2、效數(shù)字相對誤差（限）絕對誤差（限）度量截?cái)嗾`差舍入誤差誤差的產(chǎn)生誤差誤差與算法第一章第一章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握 絕對誤差絕對誤差 設(shè)x*是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似，稱 xxxe*)(為 x* 近似x的絕對誤差絕對誤差，簡稱為誤差。在不引起混淆時(shí)，簡記符號 為 )(*xe*e)(*x如果存在著的正數(shù)使得有絕對誤差 *xxe則稱 *為x*近似x的一個(gè)絕對誤差限絕對誤差限，簡稱誤差限。相對誤差相對誤差 設(shè)x*是準(zhǔn)確值x 的一個(gè)近似，稱 xxxxer*)(為x* 近似x的相對誤差相對誤差。因)()(2*rexxexxxxexexexee)()(1122*r*eOxexe 稱數(shù)值 的上界為相對誤差限相對誤差限，

3、記為 *re*r第一章第一章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握有效數(shù)字有效數(shù)字 設(shè)x的近似值x* 有如下標(biāo)準(zhǔn)形式 ia 0,1,2,9其中m為整數(shù)， 且 1a0,np 如果有nm21*10e xx*則稱x* 為x的具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字的近似數(shù)， 121100.mnnpxa aa aa 相對誤差與有效數(shù)字間的關(guān)系相對誤差與有效數(shù)字間的關(guān)系定理定理 設(shè)x的近似數(shù)x*具有標(biāo)準(zhǔn)形式：111102*nrea121100.mnnpxa aa aa 若x*具有n位有效數(shù)字，則相對誤差 若相對誤差 111102(1)*nrea則x*至少具有n位有效數(shù)字。用用Taylor公式分析誤差傳播規(guī)律公式分析誤差傳播規(guī)律 *1x*

4、2x*nx當(dāng) ， ， 很好地近似了相應(yīng)的真值時(shí)，利用多元函數(shù)的一階Taylor公式可求得y* 的絕對誤差和相對誤差分別為 設(shè)可微函數(shù)中 的自變x1、x2、xn是相互獨(dú)立的。函數(shù)值y的近似值為),(*2*1*nxxxfy),(*2*1nxxxfyn1ii*i*n*1i*)(,()(xxxxfyyyen1i*i*n*1i)(),(xexxfn1i*i*i*n*1i*i*)(),()()(xxexxfyxyyeyern1i*i*n*1i*i)(),(xexxfyxr用算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)用算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì))()()(*2*1*2*1xxxx)()()(*2*1*1*2*2*1xxxxxx)0()()

5、()(*22*2*2*1*1*2*2*1xxxxxxxx算術(shù)運(yùn)算的絕對誤差傳播算術(shù)運(yùn)算的絕對誤差傳播算術(shù)運(yùn)算的相對誤差傳播算術(shù)運(yùn)算的相對誤差傳播),0(),(),(max)(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr),0(),()()(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr),0(),()()(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr算法注意事項(xiàng)算法注意事項(xiàng) 避免相近數(shù)相減,) 1(1111xxxx,111xxxx,1lnln) 1ln(xxxx。)1ln()1ln(22xxxx第一章 典型例題典型例題例1 已知數(shù) x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,那麼x具有

6、幾位有效數(shù)字解；*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效數(shù) 點(diǎn)評；考查的有效數(shù)字的概念。*1233.105,0.001,0.100 xxx *123xxx例2有效數(shù)試確定的相對誤差限。*123123*123333()()()()1111010102220.00049933.1050.001 0.100re xe xe xe xxxxxx解： 點(diǎn)評；此題考查相對誤差的傳播。*1()()()nrriiiifeye xxyx*112233123123*123123()()()()()()()rrrrex xex xex xe xe

7、 xe xe xxxxxxxxx例3sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對誤差限是 .解法1：根據(jù)有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系 2 111110100.006252 816r 解法2：相對誤差限的概念 2*1100.840.00595242rx點(diǎn)評；此題考查相對誤差與有效數(shù)字關(guān)系第二種按定義得到的結(jié)果更好*nx*x例例4的相對誤差為的相對誤差為的相對誤差的的相對誤差的-倍。倍。*1()()()nrriiiife ye xxyx*1(*)(*)()/*nnnrrexxe x xxn解：根據(jù)誤差傳播公式解：根據(jù)誤差傳播公式則有則有 點(diǎn)評；考查一元函數(shù)相對誤差傳播。第二章第二章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧

8、1 二分法二分法二分法計(jì)算過程、二分法先驗(yàn)誤差：二分法計(jì)算過程、二分法先驗(yàn)誤差：2 不動點(diǎn)迭代法（普通迭代法）不動點(diǎn)迭代法（普通迭代法）不動點(diǎn)格式構(gòu)造不動點(diǎn)格式構(gòu)造：3 牛頓迭代法牛頓迭代法牛頓迭代公式牛頓迭代公式不動點(diǎn)收斂性不動點(diǎn)收斂性：（局部收斂性、全局收斂性）：（局部收斂性、全局收斂性）不動點(diǎn)加速不動點(diǎn)加速：Aiteken加速加速牛頓迭代的局部收斂性和全局收斂性；牛頓迭代的局部收斂性和全局收斂性；牛頓迭代公式的變形（非重點(diǎn)）牛頓迭代公式的變形（非重點(diǎn)）非線性方程數(shù)值解法基本概念（單根、重根、收斂階）求根方法二分法及其收斂性二分法及其收斂性簡單迭代法簡單迭代法簡單迭代法的加速簡單迭代法的加

9、速Newton迭代法迭代法Newton迭代法的變形迭代法的變形重根Newton迭代法Newton下山法割線法迭代格式收斂性定理誤差估計(jì)迭代格式收斂性定理誤差估計(jì)知識結(jié)構(gòu)圖方程 的解 稱為方程 的根或稱為 的零點(diǎn)，若 其中m為正整數(shù)， 滿足 ，則顯然 這時(shí)稱 為 的m重零點(diǎn)，或稱 為 的m重根。 0 xf*x 0 xf xf xgxxxfm* xg 0 xg 0*xf*x xf*x 0 xf定理：若 只有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 是的m重零點(diǎn)的充要條件為： ， xf*x xf 0*xf0)(0)(0)(*)(*)1(*xfxfxfmm第二章第二章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握二分法執(zhí)行步驟二分法執(zhí)行步驟1計(jì)算計(jì)算f

10、 (x)在有解區(qū)間在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值端點(diǎn)處的值，f (a)，f (b)。2計(jì)算計(jì)算f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值在區(qū)間中點(diǎn)處的值f (x1)。3判斷若判斷若f (x1) = 0，則則x1即是根，否則檢驗(yàn)即是根，否則檢驗(yàn)：（1）若若f (x1)與與f (a)異號異號，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間a, x1， b1=x1, a1=a;（2）若若f (x1)與與f (a)同號同號，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間x1, b， a1=x1, b1=b。反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間便可得到一系列有根區(qū)間：(a, b), (a1, b1), , (ak, bk), 4、當(dāng)當(dāng)11

11、kkab時(shí)時(shí))(211kkkbax5、則、則即為根的近似即為根的近似), 2 , 1()(211*1kabxxkk先驗(yàn)誤差估計(jì)：先驗(yàn)誤差估計(jì)：理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：定理定理1：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù)，如果如果f (a) f (b) 0， 則方程則方程 f (x) = 0 在在a, b內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有一實(shí)根x*。 簡單迭代法簡單迭代法f (x) = 0 x = g (x)等價(jià)變換等價(jià)變換構(gòu)造迭代格式構(gòu)造迭代格式x = g (x)(1kkxgx則對于任意的初值x0S，迭代公式 產(chǎn)生的序列 必收斂于方程的根 。*x11(),0,1,2kkxg xkkx( )g

12、 x|*xxxS（1）迭代函數(shù) 在 的鄰域可導(dǎo)；定理定理2.（局部收斂定理）設(shè) 是方程 的根，滿足：( )xg x( )1g xL（2）在 的某個(gè)鄰域 ，對于任意xS，有*x*x*x定理：如果定理：如果 (x)滿足下列條件滿足下列條件（1 1）當(dāng)）當(dāng)x a, b時(shí)，時(shí)， (x) a, b（2 2）當(dāng)任意）當(dāng)任意x a, b，存在，存在0 L1)階階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則當(dāng)初值導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則當(dāng)初值x0 0充分靠近充分靠近時(shí)時(shí)，迭代法為迭代法為p 階收斂的充要條件是階收斂的充要條件是0)(, 0)()()()()1( pp)()(1kkkkxfxfxx 牛頓法牛頓法x*x0 x1x2xyf(x)牛頓法的收

13、斂性牛頓法的收斂性定理定理： 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上滿足下列條件上滿足下列條件：（1）f (a) f (b) 0則由則由（2.3）確定的牛頓迭代序列確定的牛頓迭代序列xk收斂于收斂于f (x)在在a, b上的唯一根上的唯一根x*。定理（定理（Newton迭代法局部收斂性迭代法局部收斂性）：）：設(shè) 為 的根，如果：（1）函數(shù)f(x)在 的鄰域具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)；（2）在 的鄰域 。*x0)(xf0)( xf*x*x*|xxxS*x則存在 的某個(gè)鄰域 ，對于任意的初始值x0S，由由NewtonNewton迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根 。)(,)(2)()()(12kk

14、xxxxxxxxxxSteffensen迭代格式迭代格式Newton法的變形法的變形重根時(shí)的牛頓迭代法重根時(shí)的牛頓迭代法)()()(xfxfmxxx)()(1kkkkxfxfmxx使用牛頓法對具有單重零點(diǎn) 0)( , )()()(xxfxfxNewton下降法下降法)()(1kkkkkxfxftxx,.1 , 0k( )f x( )xf x例例1設(shè)設(shè)可微，求可微，求根的牛頓迭代公式根的牛頓迭代公式-。解；化簡得到解；化簡得到 ( )0 xf x根據(jù)牛頓迭代格式根據(jù)牛頓迭代格式 ), 2, 1, 0()( )(1kxfxfxxkkkk則相應(yīng)的得到則相應(yīng)的得到 1()(0, 1, 2,)1()kk

15、kkkxf xxxkfx( )f xsinxx例例2設(shè)設(shè)可微，求可微，求根的牛頓迭代公式根的牛頓迭代公式-。例例2： 求方程求方程01)(3xxxf在區(qū)間在區(qū)間1, 1.5內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。位。解：預(yù)先估計(jì)一下二分的次數(shù)：按誤差估計(jì)式解：預(yù)先估計(jì)一下二分的次數(shù)：按誤差估計(jì)式)(21111*ababxxkkkk解得解得k = 6，即只要二分，即只要二分6次，即達(dá)所求精度。計(jì)算結(jié)果如下表：次，即達(dá)所求精度。計(jì)算結(jié)果如下表：kakbkxkf (xk)的符的符號號011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31

16、251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-例例3：求方程：求方程0210)(xxxf的一個(gè)根的一個(gè)根解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閒 (0) = 10 f (1) = -7 0）的迭代公式，并用以上公式求）的迭代公式，并用以上公式求78265. 0解：設(shè)解：設(shè) cxxf2)(（x 0）則）則c就是就是f (x) =0的的正根。正根。 由為由為f (x) = 2x，所以得迭代公式，所以得迭代公式kkkkxcxxx221由于由于x 0時(shí)，時(shí)，f (x) 0，且，且f (x) 0，根據(jù)定理知：根據(jù)定理知：cx

17、 0，所確定的迭代序列所確定的迭代序列xk必收斂于必收斂于取任意初取任意初值值取初值取初值x = 0.88，計(jì)算結(jié)果見表，計(jì)算結(jié)果見表kxk00.8810.8846920.8846830.8846888468. 078265. 0故可取故可取 例例7 7：設(shè)：設(shè))5()(2xaxx要使得迭代局部收斂于要使得迭代局部收斂于5*x求求a a的取值范圍。的取值范圍。)(xx*x13)( x)(x)(xg)(1kkxgx*x例例8 8 已知方程已知方程在在a,ba,b內(nèi)有根內(nèi)有根，且在，且在a,ba,b，利用，利用構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù)構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù)，使得，使得局部收斂于局部收斂于上滿足上滿足解：解： 由

18、由)(xx可得可得xxxx3)(3)()3)(21xgxxx由于由于 13)(21)3)(21)(xxxg故迭代公式故迭代公式)3)(21)(1kkkkxxxgx局部收斂。局部收斂。第三章第三章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1 Guass消去法消去法Guass消去法、消去法、2 矩陣三角分解法矩陣三角分解法LU分解法分解法平方根法（對稱正定矩陣），追趕法（三對角方程）平方根法（對稱正定矩陣），追趕法（三對角方程）向量范數(shù)和矩陣范數(shù)（三個(gè)）；向量范數(shù)和矩陣范數(shù)（三個(gè)）；向量范數(shù)的連續(xù)性和等價(jià)性，向量收斂性定義向量范數(shù)的連續(xù)性和等價(jià)性，向量收斂性定義Guass選主元消去法（列選主元，全選主元）選主元消去法（列

19、選主元，全選主元）2 方程組的性態(tài)和誤差估計(jì)方程組的性態(tài)和誤差估計(jì)矩陣條件數(shù)，病態(tài)方程組矩陣條件數(shù)，病態(tài)方程組知識結(jié)構(gòu)圖線性方程組線性方程組數(shù)值解法數(shù)值解法直接法直接法迭代法迭代法高斯消去法高斯順序消去法高斯主元素消去法矩陣三角分解法LU分解平方根分解(對稱正定矩陣)追趕法 (三對角方程組)向量與矩陣的范數(shù)迭代法的基本思想Jacobi迭代法迭代格式收斂條件充要條件：充分條件：3個(gè)Gauss-Seidel迭代法迭代格式收斂條件充要條件：充分條件：5個(gè)SOR迭代法迭代格式收斂條件充要條件：充分條件：3個(gè)必要條件：列主元消去法全主元消去法分解條件分解算法)2()2()2(2)2(3)2(32)2(3

20、2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11.nnnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxabxaxaxa第一步：第一步： 若若 令令 , ,用用 乘乘 第一個(gè)方程加到第第一個(gè)方程加到第 個(gè)方程個(gè)方程 ，并保留第，并保留第一一式，則得式，則得, 0)1(11ai)1(11)1(11aalii),.3 , 2(ni ),.3 , 2(ni 1 ilGaussGauss消去法消去法)1(1)1()2(ijiijijalaa),.3 , 2,(nji其中)1(11)1()2(blbbiii),.3 , 2,(nji 若若 令令 ， 乘第二個(gè)方程加到第乘第二個(gè)方程加到

21、第i個(gè)方程個(gè)方程 ，則得，則得, 0)2(22a2il)2(22)2(22aalii),.4 , 3,(nji),.,3 , 2(ni 用用第二步第二步: :)3()3(3)3(3)3(3)3(33)3(33)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11.nnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxabxaxaxa)2(22)2()3(blbbiii),.4 , 3,(nji)2(22)2()3(jiijijalaa),.4 , 3,(nji其中其中按上述做法，做完按上述做法，做完n-1n-1步，原方程可化為同解的步，原方程可化為同解的上三角方程組上三角方程組。)(

22、)()2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa 最后，設(shè)最后，設(shè) ，逐步回代為原方程組的解：，逐步回代為原方程組的解：0)(nnna)()(nnnnnabx )(1)()()(iiinijiiijiiiaxabx定理：用高斯順序消去法能夠求解方程組用高斯順序消去法能夠求解方程組 A A 的解之的解之充要條件為充要條件為A A的各項(xiàng)順序主子式均不為零。的各項(xiàng)順序主子式均不為零。 bx)2()2()2()2(22)2(2)2(2)2(2)2(22)2(1)1(1)1(12)1(11bAbaabaabaaannnn在第一列中

23、選取絕對值最大的元素在第一列中選取絕對值最大的元素, ,如若如若 = 調(diào)換第一行與第調(diào)換第一行與第i行，這時(shí)的行，這時(shí)的 1 ,1iani1max1 ia)1(11a1 ,1ia去法的第一步，即去法的第一步，即消消行行就是原來的就是原來的 , ,再進(jìn)再進(jìn))2(A再考慮再考慮 右下角矩陣，選取絕對值最大的元素作為右下角矩陣，選取絕對值最大的元素作為主元素主元素, ,經(jīng)過行的對換和列的對經(jīng)過行的對換和列的對換把主元素移到換把主元素移到， )2(22a再按消元公式計(jì)算再按消元公式計(jì)算 （i,j=3,i,j=3,n n）。）。)3(ijaGaussGauss列選主元消去法列選主元消去法直接三角分解法直

24、接三角分解法 設(shè)設(shè)A=LU 即即nnnnnnnnnnnnnuuuuuullllllaaaaaaaaa222112113213231212122221112111111第一步：第一步： 比較第一行元素：比較第一行元素：), 2 , 1(11njuajj比較第一列元素：比較第一列元素：1111ulaii), 3 , 2(1111niaalii解出解出第二步： 比較第二行元素： ), 3 , 2(21212njuulajjj算出： jjjulau12122nj. 3 . 2比較第二列的元素： 222222ululaiiii得出：222222uulaliiiini4 . 3nmkmnkmmjkmkkk

25、jmjkmmjimkjulluulula1111一般的，第k步及R之行，L的第k-1列已求出，則列元素 比較第k算出： mjkmkmkjkjulau11.1,nkkj比較第k列元素(ik 即行指標(biāo)列指標(biāo)，為算 , ik) iklnmkmmkmmkimkkikikmkimmkimikuluululula111算出: nmkmnkmmkimkkikmkimmkimikulululull111算出:kkkmmkimikikuulal11., 1nki這組公式可用下圖記憶:nnnnnnnullluuuluuuu32122322211131211的求y過程為:bxAyxUbyL追趕法設(shè)nnnnnnnni

26、iibbbxxxcbacbacbacbacbacb212111133322211niiiininnnucucuculllbaccbacb1111213221111111即 1111iiiiiiiclbuualbuni3 , 2由 得 nnnbbyyyll1212111111iiiiylbybyni. 3 . 2由 得 nnnnyyxxxucucu1211211iiiiinnnaxcyxuyx11 , 2. 1 ni第三章 典型例題典型例題例例2：用直接三角分解法解：用直接三角分解法解201814513252321321xxx解：（解：（1 1）對于）對于r = 1，利用計(jì)算公式，利用計(jì)算公式1

27、11u212u313u 3 23121ll（2 2）對于）對于r r = 2 = 2， 222221 1252 21ual u 232321 1322 34ual u 51)231 ()(2212313232uulal（2 2）對于）對于r r = 3 = 3， 333331133223()24ual ul u 于是于是LUA2441321153121（4 4）回代求解：）回代求解： 72101423213133121221ylylbyylbyybLy3333223322211221331113()2()1Uxyyxuyu xxuyu xu xxuTx)3, 2, 1 (123012001L1

28、00030212U， 例例5 5 對矩陣對矩陣A A進(jìn)行進(jìn)行LDLLDL分解和分解和LLLL分解，并求解方分解，并求解方程組程組32122484548416321xxx解解 對對A A進(jìn)行進(jìn)行LLLL分解分解16484412454122384222333對對A A進(jìn)行進(jìn)行LDLLDL分解分解121144164816314541414284229312142回代解方程組回代解方程組321332214321yyy得得7083. 1875. 025. 0Ty再解再解1234120.25230.87531.7083xxx 0.5451 1.29160.5694Tx 得得第四章第四章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1

29、 簡單迭代法簡單迭代法簡單迭代法構(gòu)造簡單迭代法構(gòu)造2 G-S迭代法迭代法G-S迭代法的構(gòu)造思想迭代法的構(gòu)造思想 G-S迭代法的收斂性分析迭代法的收斂性分析Jacobi方法方法基于基于Jacobi方法的方法的G-S迭代法迭代法簡單迭代法的收斂性分析簡單迭代法的收斂性分析2 常用迭代法常用迭代法逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法簡單迭代法的構(gòu)造 將該方程組等價(jià)變形為 構(gòu)造簡單迭代格 式 ， 。若 收斂于確定的向量 ，則 就是方程組的解。此時(shí)稱簡單迭代法 ， 關(guān)于初始向量 收斂。gxBx)(kx, 1 , 0kgxBxkk)()1(*x*xgxBxkk)()1(, 1 , 0k)0(x設(shè)要求解的線性方

30、程組為 ，其中 為非奇異矩陣， 為向量。bxAbA簡單迭代法的收斂性0lim)(kkBa.1)(Bb. 迭代矩陣的譜半徑1. 收斂的充要條件 定理1.簡單迭代法 ， ，對 任意初始向量 都收斂的充要條件是：)0(xgxBxkk)()1(nk1 , 0簡單迭代法為 .gxBxkk )1()()()(*)0(*)1(*)(xxBxxBxxkkk故 設(shè) 有唯一解 ，*xgxBx幾種常見的迭代法幾種常見的迭代法 一一. .JacobiJacobi迭代法迭代法 設(shè) , i=1,2,n0iia)(1)(1)(1)(11.)(22)(11)1(2)(2)(323)(12122)1(21)(1)(313)(2

31、1211)1(1nknnnknknnnknknnkkkknnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax迭代格式迭代格式1)(JB 2.2.收斂條件收斂條件 b.b.充分條件：充分條件：（j=1,2,n）(按按列列)nijijijijaa,（按行）（按行） ,（i=1,2,n）njijijiiaa, 1（II）設(shè)系數(shù)矩陣）設(shè)系數(shù)矩陣 嚴(yán)格對角占優(yōu)，嚴(yán)格對角占優(yōu)，nnijaA)(或或則則Jacobi迭代法關(guān)于任意初始向量迭代法關(guān)于任意初始向量 收斂收斂)0(x（I）若）若 則則Jacobi方法關(guān)于任意初始向量方法關(guān)于任意初始向量 都都 收斂。收斂。1JB)0(x即即 a.a.充要

32、條件充要條件： 二二. .與與JacobiJacobi迭代法相應(yīng)的迭代法相應(yīng)的Gauss-SeidelGauss-Seidel法法1.1.迭代格式迭代格式. .)(1)(1)(1)1(11.)1(22)1(11)1(2)(2)(323)1(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1nknnnknknnnknknnkkkknnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax 2.收斂條件收斂條件. G-S法關(guān)于任意初始向量法關(guān)于任意初始向量 都都 收斂的充要條件是收斂的充要條件是 .1)(sB)0(xa.充要條件：充要條件：b.充分條件：充分條件：若若 則則G-S方法

33、關(guān)于任意初始向量方法關(guān)于任意初始向量 都收斂都收斂. .1sB)0(x關(guān)于任意初始向量關(guān)于任意初始向量 收斂。收斂。設(shè)系數(shù)矩陣設(shè)系數(shù)矩陣 嚴(yán)格對角占優(yōu)，則嚴(yán)格對角占優(yōu)，則G-S方法方法)(ijaA )0(xSOR方法11)()1(ijijiiikikiabaxx）nijkjijkjxax)()1(ni,.2 , 1)()1()1 (kikixx11ijijiiiaba（）nijkjijkjxax1)()1(第四章 典型例題典型例題例例2 2：用雅克比迭代法和高斯：用雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法賽得爾迭代法解線性方程組解線性方程組877901081119321xxx解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣

34、按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對角占優(yōu)，故雅克比迭代法和高斯故雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法都收斂。賽得爾迭代法都收斂。009/1008/19/19/101ADI9/78/79/71bD雅克比迭代法的迭代公式為雅克比迭代法的迭代公式為：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkXX取取X(0) = (0, 0, 0)，由上述公式得逐次近似值如下由上述公式得逐次近似值如下：0008889. 08750. 07778. 09753. 09723. 09738. 09993. 09993. 09942. 09993. 09993. 09993. 0X

35、(i)43210k高斯高斯賽得爾迭代法：賽得爾迭代法： 8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx0009753. 09722. 07778. 09993. 09993. 09942. 00000. 10000. 19998. 0000. 1000. 1000. 1k01234x(i)112233131232axbaxbaxb例例3 3設(shè)有方程組設(shè)有方程組1.1.當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)a a滿足什么條件時(shí)，雅可比方法對任意的滿足什么條件時(shí)，雅可比方法對任意的初始向量都收斂。初始向量都收斂。2.2.寫出與雅可比方法對應(yīng)的高斯賽

36、德爾迭代公式。寫出與雅可比方法對應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。解：當(dāng)解：當(dāng)a不等于零時(shí)，雅可比方法的迭代矩陣為不等于零時(shí)，雅可比方法的迭代矩陣為0/2/3/20/1/3/10aaaaaaB可以解出可以解出B的特征值的特征值,2,2, 0221iaia可知可知B的譜半徑的譜半徑12)(aB由此得出由此得出 時(shí)，雅可比方法收斂。時(shí)，雅可比方法收斂。2a)023(1)20(1)30(13)1(2)1(1)1(2)(3)1(1)1(21)(3)(2)1(1bxxaxbxxaxbxxaxkkknkkkkkk與雅可比方法對應(yīng)的方法為與雅可比方法對應(yīng)的方法為例設(shè)有方程組例設(shè)有方程組111211111112321x

37、xx證明該方程組對應(yīng)雅可比方法發(fā)散，而證明該方程組對應(yīng)雅可比方法發(fā)散，而G-SG-S方法收斂。方法收斂。解：雅可比方法的迭代矩陣為解：雅可比方法的迭代矩陣為02/12/11012/12/10B設(shè)其特征值為設(shè)其特征值為 ，則，則453BI,25,25, 0321ii由于由于125)(B故雅可比方法發(fā)散故雅可比方法發(fā)散解：解：G-S的迭代矩陣為的迭代矩陣為0102121002/12/1001000111)(11ULIBSG210021210212100102121012111121,21, 0321由于由于121)(SGB故故G-S方法收斂方法收斂第五章第五章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1 插值問題與插值多

38、項(xiàng)式的唯一性插值問題與插值多項(xiàng)式的唯一性2 拉格朗日型插值方法拉格朗日型插值方法Lagrange插值法插值法 牛頓插值法牛頓插值法 （差商、差分的定義）（差商、差分的定義）完全導(dǎo)數(shù)形式的完全導(dǎo)數(shù)形式的hermite插值（構(gòu)造方法、余項(xiàng)）插值（構(gòu)造方法、余項(xiàng)） 不完全導(dǎo)數(shù)形式的不完全導(dǎo)數(shù)形式的hermite插值插值（待定系數(shù)，重節(jié)點(diǎn)差商）（待定系數(shù)，重節(jié)點(diǎn)差商）3 Hermite型插值方法型插值方法 插值誤差分析（拉格朗日余項(xiàng)，差商型余項(xiàng)）插值誤差分析（拉格朗日余項(xiàng)，差商型余項(xiàng)）4 分段插值和三次樣條插值分段插值和三次樣條插值三次樣條插值插值型插值分段低次插值等距節(jié)點(diǎn)插值（差分）差商型余項(xiàng)型余項(xiàng)

39、插值余項(xiàng)插值法插值法構(gòu)造方法型插值代數(shù)插值HermiteHermiteLangrangeNewtonLangrangeLangrange知識結(jié)構(gòu)圖拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)一、插值基函數(shù)定義定義：若若n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式lk(x)(k=0, 1 , n)在在n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0 x1 xn上滿足插值條件：上滿足插值條件：), 1 , 0,()(0)(1)(nkikikixlikik則稱這則稱這n1個(gè)個(gè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式l0(x), l1(x) , ln(x)為為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)x0 ,x1 , , xn上的上的n次次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 將Lagrange插值基函

40、數(shù)與函數(shù)值線性組合得 可以驗(yàn)證 滿足插值條件，即)(xLn)()(1xlyxLnkkkniinkkkinyxlyxL)()(1 i = 0, 1, 2, n上式是不超過n次的多項(xiàng)式，稱之為Lagrange插值插值多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。的線性組合。故可將滿足插值條件（4.1）的n次多項(xiàng)式寫成如下形式)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx牛頓插值的定義牛頓插值的定義 由線性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式，都可表示成函數(shù))()()(1)(110010nnnxxxxxxaxxaaxN其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓牛頓Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式kaaa,

41、10 牛頓插值牛頓插值差商的性質(zhì)差商的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)設(shè) 的的n階導(dǎo)數(shù)存在，則有階導(dǎo)數(shù)存在，則有性質(zhì)性質(zhì)2 2：,10kxxxf)()(10ikikixxfk=1,2,n性質(zhì)性質(zhì)3：k階差商階差商 可以表示為函可以表示為函數(shù)值數(shù)值 的線性組合，即的線性組合，即,10kxxxf差商具有對稱性，與插值節(jié)點(diǎn)的排差商具有對稱性，與插值節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)。列次序無關(guān)。)(xf!)(,)(10nfxxxfnn Hermite 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式要求函數(shù)值重合，而且要求若干階要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也重合。也重合。即：要求插值函數(shù)即：要求插值函數(shù) P (x) 滿足滿足 在實(shí)際問題中，對所構(gòu)

42、造的插值多項(xiàng)式，在實(shí)際問題中，對所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅不僅把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（Hermite）插值多項(xiàng)式，記為插值多項(xiàng)式，記為H (x)。 )210( )()()()()()()()(,n,ixfxpxfxpxfxpimimiiii情形情形1；一階導(dǎo)數(shù)已知；一階導(dǎo)數(shù)已知已知函數(shù)表已知函數(shù)表nxxxxx210nyyyyy210nyyyyy210求一個(gè)插值多項(xiàng)式求一個(gè)插值多項(xiàng)式H (x)，使其滿足如下條件：，使其滿足如下條件：插值條件的個(gè)數(shù)插值條件的個(gè)數(shù)2n+2, H (x) 的次數(shù)：不超過的次數(shù)：不超過2n+1次次 iiyxH)(i = 0, 1, 2,

43、n iiyxH)( i = 0, 1, 2, n Hermite插值多項(xiàng)式構(gòu)造插值多項(xiàng)式構(gòu)造 對于問題1，取n=2，通過一個(gè)例子來討論建 立Hermite插值的方法例例：求一個(gè)三次多項(xiàng)式 使其滿足插值條件3( )Hx.)( ,)(;)( ,)(113003113003mxHmxHyxHyxH分析分析；依照拉格朗日插值的思路，如果構(gòu)造四個(gè)不超過3次的插值多項(xiàng)式0101( ),( ),( ),( )xxxx使它們分別滿足. 1)( , 0)( , 0)( , 0)(; 0)( , 1)( , 0)( , 0)(; 0)( , 0)( , 1)( , 0)(; 0)( , 0)( , 0)( , 1

44、)(11011101100010001101110110001000 xxxxxxxxxxxxxxxx(1)300110011( )( )( )( )( )Hxx yx yx mx m現(xiàn)在需要考慮的問題是這些基函數(shù)的構(gòu)造問題。 0)( , 0)(1010 xx假設(shè)2210001( )() ( )()xxxAxB lxAxBxx可驗(yàn)證條件 自動滿足現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件則滿足插值條件的多項(xiàng)式可以寫成如下形式01)(2)(1)(10000000 xxBAxAxBAxx00101221xABxxxx ，20100101( )1 2xxxxxxxxx求解可得 于是有同理可得21111010( )1 2x

45、xxxxxxxx(2)(3)假設(shè)可驗(yàn)證條件 自動滿足現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件2210001( )() ( )()xxxCxD lxCxDxx0)( , 0)(1010 xx11)(2)(0)(10000000 xxDCxCxDCxx求解可得 于是有同理可得01CDx ，210100)()(xxxxxxx201011)()(xxxxxxx(4)(5)將函數(shù)(2)到(5)代入式(1)，得到插值多項(xiàng)式 0011301010110100100110110( )1 21 2()()xxxxxxxxHxyyxxxxxxxxxxxxxxmxxmxxxx上式稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為(4)2233

46、011( )( )( )( )() ()4!R xf xp xfxxxx),max(),(min(1010 xxxx情形情形2；導(dǎo)數(shù)值不完全；導(dǎo)數(shù)值不完全已知函數(shù)表已知函數(shù)表myyyyy210求一個(gè)插值多項(xiàng)式求一個(gè)插值多項(xiàng)式H (x)，使其滿足如下條件：，使其滿足如下條件：插值條件的個(gè)數(shù)插值條件的個(gè)數(shù)m+n+2, H (x) 的次數(shù)：不超過的次數(shù)：不超過m+n+1次次 iiyxH)(i = 0, 1, 2, n iiyxH)( i = 0, 1, 2, m nmyyyyyy210nmxxxxxx210待定系數(shù)法 通過一個(gè)簡單的例子給出這種問題的解法2( )p x002112002)( ,)(

47、,)(mxpyxpyxp例例 試確定一個(gè)不超過二次的多項(xiàng)式使其滿足如下插值條件先利用前兩個(gè)插值條件，構(gòu)造一個(gè)1次的插值多項(xiàng)式011010110( )xxxxp xyyxxxx定義2101( )( )()()pxp xc xxxx這里c是一個(gè)常數(shù)，無論它取何值，插值條件200211() ()pxypxy和自然滿足，再利用導(dǎo)數(shù)條件確定常數(shù)c1001010()yyc xxmxx從上式解出c，回代到 得到)(2xp0011201001011001011( )() ()()xxyyxxpxyymxxxxxxxxxxxx第五章 典型例題典型例題33( )( ),( )( ),H af a H bf b33

48、, 2222ababababHfHf 243( )( )( )()() ( )4!2fabf xHxxaxxbaxb( )f x , a b1.若在上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，試證明滿足以下插值條件)(3xH的插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差為2323(4)( )( )( )( )()() ()2,2( )( )( )( )()() ()2( ),( )()( )0,()022Rolle,( )0abR xf xHxk x xa xxbabxababg tf tH tk x ta ttbg tababg agg bgxg證明：設(shè)余項(xiàng)當(dāng) 不同于 ， 和時(shí) 構(gòu)造如下關(guān)于的函數(shù)于是函數(shù)也是充分光滑的 并且有如下零點(diǎn)多次

49、使用定理知 至少存在一個(gè)依賴于 的點(diǎn) ，使得有(4)(4)23.( )( ),4!( )( )( )( )()() ()4!2fk xfabR xf xHxxa xxb從而可得從而有截?cái)嗾`差)()()(10nxxxxxxxf,10kxxxfkxxx,102 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 求差商求差商之值，其中之值，其中是互異節(jié)點(diǎn)是互異節(jié)點(diǎn)nk 0)(jxfkj, 1 , 0解解 (1(1）當(dāng)）當(dāng)根據(jù)公式根據(jù)公式 kjjnjkxxfxxxf0110)()(,故有故有0,10kxxxf（2 2）當(dāng)）當(dāng) 1 nk時(shí)，考慮差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式時(shí)，考慮差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式 !)(,)(10kfxxxfkk1 nk)!1()

50、()( nfk故此時(shí)故此時(shí)1,10kxxxf 1 nk0)()(kf故此時(shí)故此時(shí)01,0kf xxx點(diǎn)評；此題考查利用反插值來求根前提是函數(shù)值分布單調(diào)( ) (0,1,)il xin 0niix分別是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，0( ) ( 0,1,)nkkjjjx lxxkn證明提示：利用插值的拉格朗日余項(xiàng)說明當(dāng)被插值函數(shù)為x的k次方時(shí)，誤差為零。往年真題往年真題第六章第六章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1 泛函基礎(chǔ)知識泛函基礎(chǔ)知識2 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近賦范線形空間、內(nèi)積空間、正交多項(xiàng)式系賦范線形空間、內(nèi)積空間、正交多項(xiàng)式系矛盾方程組的解法矛盾方程組的解法 一般基

51、函數(shù)的曲線最小二乘擬合一般基函數(shù)的曲線最小二乘擬合 基于正交基函數(shù)的擬合方法基于正交基函數(shù)的擬合方法3 離散函數(shù)的最佳平方逼近離散函數(shù)的最佳平方逼近 基于一般基函數(shù)構(gòu)造方法基于一般基函數(shù)構(gòu)造方法 基于正交基函數(shù)構(gòu)造方法基于正交基函數(shù)構(gòu)造方法 賦范線性空間賦范線性空間 定義： 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。函數(shù)RV :10 (非負(fù)性) Vgg , 0; 當(dāng)且僅當(dāng)0g時(shí)有0g. 20 (齊次性) VgRrgrrg,. 30 (三角不等式) Vgfgfgf,. 最佳平方逼近 為 空 間,baC的 有 限 維 子 空 間 范 數(shù) 取 為2 求nncccx*1*10*0*)(, 使得 202*0minii

52、niRciinicfcfi.2/120)()(mindxxcxfbaniiiRci正規(guī)方程組nnFCG TncccC),(*1*0*惟一解向量記為 最佳平方逼近的解函數(shù)：iinic *0*),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000nnnnnnnnfffccc內(nèi)積空間內(nèi)積空間 (線性性) Rrrghrgfrghrfr212121,),(),(),( (非負(fù)性) 0),(ff; 當(dāng)且僅當(dāng)0f時(shí)有0),(ff Vhgf,則稱實(shí)值函數(shù)),( 是線性空間V上的一種內(nèi)內(nèi)積積. 并稱線性空間V關(guān)于實(shí)值函數(shù)),( 是內(nèi)內(nèi)積積空空間間. 正交函數(shù)系

53、內(nèi)積空間V上的兩個(gè)元素 f和 g, 如果有內(nèi)積 0),(gf, 則稱 f和 g 關(guān)于內(nèi)積),( 正交正交 若正交系 0iif 滿足 1),(iiff ), 2 , 1 , 0(i, 則稱 0iif為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交系系 Legendre 多項(xiàng)系 定義), 2 , 1() 1(!21)(1)(20nxdxdnxPxPnnnnn1)(0 xP; xxP)(1;2/ ) 13()(22xxP; 2/)35()(33xxxP;8/ ) 33035()(244xxxP; 8/ )157063()(355xxxxP.v Legendre多項(xiàng)式系的前六項(xiàng)分別為 Chebyshev 多項(xiàng)式系 定義 1, 1)

54、arccoscos()(xxnxTn1)(0 xTxxT)(1nxTncos)( xarccoscoscos2) 1cos() 1cos(nnn), 3 , 2 , 1()()(2)(11nxTxxTxTnnn0)(nnxT是首項(xiàng)系數(shù)1)1(2nnA的多項(xiàng)式函數(shù)系,稱之為切比雪夫多項(xiàng)式系第六章 典型例題典型例題dxxgxfxgf)()(),(111. 1. 定義內(nèi)積定義內(nèi)積試建立首項(xiàng)系數(shù)試建立首項(xiàng)系數(shù)為為1 1的正交多項(xiàng)式系中的前三項(xiàng)的正交多項(xiàng)式系中的前三項(xiàng)解解 設(shè)設(shè) cbxxgaxgg2210, 1由正交性定義可知由正交性定義可知0)(),(0)(),(0)(),(2112111212112

55、0112011101110dxcbxxaxxdxggxggdxcbxxxdxggxggdxaxxdxggxgg由此解得由此解得 21,0,0cba所以所以 201211,2ggxgx例例2 2 人口理論指數(shù)模型人口理論指數(shù)模型 btaey這里這里y y表示世界人口表示世界人口( (單位：億）單位：億）,t,t表示年份試用下表提供的數(shù)據(jù)，表示年份試用下表提供的數(shù)據(jù)，確定待定參數(shù)確定待定參數(shù)a a和和b, b, 并預(yù)測并預(yù)測20002000年的世界人口年的世界人口k196019611962196319641965196619671968yk29.7230.6131.5132.1332.3432.8

56、533.5634.2034.83解解 所求擬合函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，對它兩邊取所求擬合函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，對它兩邊取自然對數(shù)，得自然對數(shù)，得btayln建立如下新的數(shù)據(jù)表建立如下新的數(shù)據(jù)表k196019611962196319641965196619671968ln yk3.39183.42133.45033.46983.47633.49203.51333.53223.550533.0431a 0.0186b 解之得解之得，于是，于是ln33.04310.0186yt 進(jìn)而有，人口模型的最小二乘擬合曲線為進(jìn)而有，人口模型的最小二乘擬合曲線為 33.0431 0.0186 tye據(jù)此模型預(yù)測據(jù)此模

57、型預(yù)測20002000年的世界人口為年的世界人口為63.237763.2377億億 用最小二乘法得法方程組用最小二乘法得法方程組4057.614692975.313471572417676176769ba 實(shí)際統(tǒng)計(jì)人口為實(shí)際統(tǒng)計(jì)人口為60.572660.5726億億xexf)(223.3.求函數(shù)求函數(shù)在在0,10,1上的二次最佳上的二次最佳小數(shù)點(diǎn)后保留小數(shù)點(diǎn)后保留5 5位位. .平方逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)平方逼近誤差平方逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)平方逼近誤差解解 使用線性無關(guān)函數(shù)族使用線性無關(guān)函數(shù)族 2210)(,)(, 1)(xxxxx相應(yīng)的正規(guī)方程組為相應(yīng)的正規(guī)方程組為),(),(),(),(),()

58、,(),(),(),(),(),(),(210210221202211101201000fffaaa01211123111112342111345aeaae即即 0.83918,85113. 0,1.01299210aaa解得解得*001 1222( )( )( )( )0.839180.851131.01299xaxaxaxxx所求最佳平方逼近多項(xiàng)式為所求最佳平方逼近多項(xiàng)式為2222222205( )( ,)2.783545 10iiixfpfaf平方逼近誤差為平方逼近誤差為 .解解 構(gòu)造構(gòu)造0,10,1上首項(xiàng)系數(shù)為上首項(xiàng)系數(shù)為1 1的正交多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式的前三項(xiàng)的前三項(xiàng). . 設(shè)設(shè)cbx

59、xxaxxx2210)(,)(,1)(0)(1),(1010dxax21a由正交性由正交性可解出可解出由正交性由正交性0)(1),(10220dxcbxx0)()(),(10221dxcbxxax可解出可解出61,1cb正規(guī)方程組為正規(guī)方程組為),(),(),(),(),(),(222*2111*1000*0fcfcfc計(jì)算可得計(jì)算可得6)197(2)3(118011211*2*1*0eeeccc于是解得于是解得 570210,618, 1*2*1*0ececec) 10()(xexfx的最佳二次平方逼近多項(xiàng)式為的最佳二次平方逼近多項(xiàng)式為01299. 185113. 083918. 01053

60、9)588216()570210()()()()(222*21*10*0*xxexexexcxcxcx平方逼近誤差為平方逼近誤差為20*2222*22),()(iiifcffx52102.7835455 .183313505 .248ee第七章第七章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧1 數(shù)值積分相關(guān)概念數(shù)值積分相關(guān)概念2 基于等距節(jié)點(diǎn)的基于等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式公式代數(shù)精確度、插值型求積公式、求積穩(wěn)定性、積分誤差代數(shù)精確度、插值型求積公式、求積穩(wěn)定性、積分誤差復(fù)化梯形，復(fù)化復(fù)化梯形，復(fù)化Simpson公式公式3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 梯形公式及誤差分析梯形公式及誤差分析 Simpson公式