平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析

1、1平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析2本章要解決的問題本章要解決的問題 v隨機(jī)信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法隨機(jī)信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? ? v傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號？傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號？ v相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 v功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 v采樣定理采樣定理 v白噪聲的定義白噪聲的定義 33.1 3.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析 一一 預(yù)備知識預(yù)備知識1 1 付氏變換付氏變換設(shè)設(shè)x(t)x(t)是時間是時間t t的非周期實(shí)函數(shù)，且的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)x(t)滿足滿足 在在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(t

2、x),( 絕對可積，即絕對可積，即 )(txdttx )( 信號的總能量有限，即信號的總能量有限，即 )(txdttx2)(有限個極值有限個極值有限個斷點(diǎn)有限個斷點(diǎn)斷點(diǎn)處的值斷點(diǎn)處的值為有限值為有限值4則則 的傅里葉變換為的傅里葉變換為： )(txdtetxXtjX)()( 其反變換為其反變換為： deXtxtjX)(21)(稱稱 為為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。的頻譜密度，也簡稱為頻譜。)(tx)(XX包含：振幅譜包含：振幅譜 相位譜相位譜52 2 帕塞瓦等式帕塞瓦等式 由上面式子可以得到由上面式子可以得到dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXX

3、X)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)(即即6 非周期性時間函數(shù)的帕塞瓦非周期性時間函數(shù)的帕塞瓦(Parseval)(Parseval)等式。等式。 物理意義：若物理意義：若x(t)x(t)表示的是電壓表示的是電壓( (或電流或電流) )，則，則上式左邊代表上式左邊代表x(t)x(t)在時間在時間(-(-, ,) )區(qū)間的總能量區(qū)間的總能量（單位阻抗）。因此，等式右邊的被積函數(shù)（單位阻抗）。因此，等式右邊的被積函數(shù)|X|XX X( ()|)|2 2表示了信號表示了信號x(t)x(t)能量按能量按頻率頻率分布的情況，分布的情況，故稱故稱|X|XX X( ()|)|2 2為能

4、量譜密度為能量譜密度。2 2 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dXdttxX22)(21)(7二二 隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度 隨機(jī)信號持續(xù)時間無限長，對于隨機(jī)信號持續(xù)時間無限長，對于非零非零的樣本函數(shù)，的樣本函數(shù)，它的能量一般也是無限的，因此，其付氏變換不存它的能量一般也是無限的，因此，其付氏變換不存在。在。 但是它的平均功率是有限的，在特定的條件下，但是它的平均功率是有限的，在特定的條件下，仍然可以利用博里葉變換這一工具。仍然可以利用博里葉變換這一工具。 為了將傅里葉變換方法應(yīng)用于隨機(jī)過程，必須為了將傅里葉變換方法應(yīng)用于隨機(jī)過程，必須對過程的樣本函數(shù)做某些限制，最簡單的一種方法對過程的樣

5、本函數(shù)做某些限制，最簡單的一種方法是應(yīng)用是應(yīng)用截取函數(shù)截取函數(shù)。TTTdttxTQ2)(21lim8二二 隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度 應(yīng)用截取函數(shù)應(yīng)用截取函數(shù) TtTttxtxT0)()(9當(dāng)當(dāng)T T為有限值時，為有限值時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(應(yīng)用帕塞瓦等式應(yīng)用帕塞瓦等式 dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21除以除以2T2T取集合平均取集合平均隨機(jī)變量10令令T，再取極限再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次

6、交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序序：( (注意這里由一條樣本函數(shù)推廣到更一般的隨注意這里由一條樣本函數(shù)推廣到更一般的隨機(jī)過程，即下面式子對所有的樣本函數(shù)均適用機(jī)過程，即下面式子對所有的樣本函數(shù)均適用) ) dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22功率功率Q Q )( XS非負(fù)非負(fù)存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1 1）Q Q為確定性值，不是隨機(jī)變量。為確定性值，不是隨機(jī)變量。)( XS（2 2） 為確定性實(shí)函數(shù)。為確定性實(shí)函數(shù)。注意：注意：11兩個結(jié)論兩個結(jié)論： )(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示時間平均表示時間平均 若平穩(wěn)若平穩(wěn)

7、)0()()(22XRtXEtXEAQdSQX)(212隨機(jī)過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平隨機(jī)過程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平均來得到，均來得到，即對于一般的隨機(jī)過程（例如，非平穩(wěn)隨機(jī)即對于一般的隨機(jī)過程（例如，非平穩(wěn)隨機(jī)過程）求平均功率，需要既求時間平均，又求統(tǒng)計(jì)平均。過程）求平均功率，需要既求時間平均，又求統(tǒng)計(jì)平均。顯然，顯然，Q Q不是隨機(jī)變量。不是隨機(jī)變量。12功率譜密度功率譜密度： 描述了隨機(jī)過程描述了隨機(jī)過程X(t)X(t)的的 功率在各個不同頻率上的分布功率在各個不同頻率上的分布。 稱為隨稱為隨機(jī)過程機(jī)過程X(t)X(t)的的功率譜密度功率譜密度。 )(

8、 XS)( XS對對 在在X(t)X(t)的整個頻率范圍內(nèi)積分，的整個頻率范圍內(nèi)積分，便可得到便可得到X(t)X(t)的功率。的功率。 )( XS對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有： dStXEX)(21)(2TTXESXTX2),(lim)(213例：設(shè)隨機(jī)過程例：設(shè)隨機(jī)過程 ，其中，其中 皆是實(shí)常數(shù)皆是實(shí)常數(shù)， 是服從是服從 上均勻分布的隨上均勻分布的隨機(jī)變量機(jī)變量，求隨機(jī)過程求隨機(jī)過程 的平均功率的平均功率。 )cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin

9、(22taa解：解：taa0222sin2不是寬平穩(wěn)不是寬平穩(wěn)的的)(tX14)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT15三三 功率譜密度和復(fù)頻率面功率譜密度和復(fù)頻率面 js0js js)(sSX)(XS（只是記號相同，函數(shù)形式不同）（只是記號相同，函數(shù)形式不同）9104)(242XS例：例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j0163.23.2平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì) 一一 功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì) 1 1 功率譜密度為功率譜密度為非負(fù)非負(fù)的的, ,即即

10、 0)(XS證明：證明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2 2 功率譜密度功率譜密度是是 的的實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù) 173 3 對于實(shí)隨機(jī)過程來說，功率譜密度是對于實(shí)隨機(jī)過程來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，即即)()(XXSS證明證明：)(txT是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)*)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又184 4 功率譜密度可積，即功率譜密度可積，即 dSX)

11、(證明：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有：證明：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有： dStXEX)(21)(2平穩(wěn)隨機(jī)過程的均方值有限平穩(wěn)隨機(jī)過程的均方值有限dSX)(19二二 譜分解定理譜分解定理 1 1 譜分解譜分解 在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為功率譜密度為 的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使隨機(jī)過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近 。這時這時 可以表示為兩個多項(xiàng)式之比，即可以表示為兩個多項(xiàng)式之比，即 )( XS)( XS20 若用復(fù)

12、頻率若用復(fù)頻率s s來表示功率譜密度，那么，對來表示功率譜密度，那么，對于一個有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式于一個有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：分解形式： )()()()()(21212NMXbsbsasasasS02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMXMMNM。 根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于可以導(dǎo)出關(guān)于S SX X(s)(s)的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：（5 5） S SX X( (s) )在實(shí)軸上無極點(diǎn)。在實(shí)軸上無極點(diǎn)。 解釋：因?yàn)榻忉專阂驗(yàn)镾 SX X( () )非負(fù)非

13、負(fù)、實(shí)的偶函數(shù)。、實(shí)的偶函數(shù)。232 2 譜分解定理譜分解定理根據(jù)上面的性質(zhì)，可將根據(jù)上面的性質(zhì)，可將 分解成兩項(xiàng)之積，即分解成兩項(xiàng)之積，即： )( XS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(*1*1NMXssssasS其中其中（零極點(diǎn)在零極點(diǎn)在s s上半平面上半平面）（零極點(diǎn)在零極點(diǎn)在s s下半平面下半平面）*)()(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且且譜分解定理譜分解定理 jjXdssSjtXE)(21)(2此時此時由由(3.1.17)式，用式，用s s代代替替j j后得后得243 SX( ) 為有理函數(shù)時的均方值求法為

14、有理函數(shù)時的均方值求法（1 1）利用）利用 )(XR)0()()(02XXRRtXE（2 2）直接利用積分公式）直接利用積分公式 dStXEX)(21)(2（3 3）查表法）查表法 （4 4）留數(shù)法）留數(shù)法 25留數(shù)定理留數(shù)定理設(shè)設(shè)B(s)B(s)為復(fù)變量為復(fù)變量s s的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡單的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡單閉曲線閉曲線C C反時針方向上和曲線反時針方向上和曲線C C內(nèi)部只有幾個內(nèi)部只有幾個極點(diǎn)極點(diǎn)s=pi則則： niCdssBj1()(21內(nèi)部極點(diǎn)的留數(shù)）曲線pssBps )()(pssBpsdsd )()(2一階留數(shù)一階留數(shù) 二階留數(shù)二階留數(shù) 26jjXdssSjtXE)(21)(

15、2 上式積分路徑是沿著上式積分路徑是沿著j j軸，應(yīng)用留數(shù)法時，軸，應(yīng)用留數(shù)法時，要求積分沿著一個要求積分沿著一個閉合圍線閉合圍線進(jìn)行。為此，考慮沿進(jìn)行。為此，考慮沿著著左半平面上的一個半徑為無窮大的半圓左半平面上的一個半徑為無窮大的半圓積分。積分。根據(jù)留數(shù)定理，不難得出根據(jù)留數(shù)定理，不難得出）左半平面內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)()(2tXE27例例: : 考慮一個廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程考慮一個廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)X(t)，具有功，具有功率譜密度率譜密度 9104)(242XS)(2tXE求過程的均方值求過程的均方值解解: :用復(fù)頻率的方法來求解。用復(fù)頻率的方法來求解。用用 代入上式得用復(fù)頻率代入上式得用復(fù)頻

16、率s s表示得功表示得功率譜密度：率譜密度：js 910)4()(242ssssSX28因式分解：因式分解： )3)(1)(3)(1()2)(2()(sssssssSX2-23-3-11j0S SX X(s)(s)在左半平面內(nèi)有兩個極在左半平面內(nèi)有兩個極點(diǎn)：點(diǎn)：-1-1和和-3-3。于是可以分別。于是可以分別計(jì)算這兩個極點(diǎn)的留數(shù)為：計(jì)算這兩個極點(diǎn)的留數(shù)為： 163)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK485)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)(2tXE故：故：29查表法：查表法：當(dāng)用復(fù)頻率當(dāng)用復(fù)頻率s=j 來表示功率譜密度時，可以來表示功率譜密度時，可

17、以 SX(s)表表示成如下形式示成如下形式)()()()()(sdsdscscsSX01102211)()(dsdsdsdcscscscnnnnnnnnc(s)和和d(s)都是都是s的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式滿足滿足:(1)d(s) 的階次高于的階次高于c(s)的階次的階次; (2) d(s)每項(xiàng)系數(shù)都不為零每項(xiàng)系數(shù)都不為零 。題中題中c(s)=s+2，d(s)=(s+1)(s+2)=s2+4s+3。利用積分表。利用積分表21022002122ddddcdcI將將c0=2，c1=1，d0=3，d1=4， d2=1代入上式得代入上式得 I2=（3+4）/（2*3*4*1）=7/24于是求得方程的均方值于是

18、求得方程的均方值Ex2(t)=7/2430313.3 3.3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 確定信號：確定信號：)()(jXtx隨機(jī)信號：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。功率譜密度。 1 1 維納維納辛欽定理辛欽定理 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程X(t)X(t)是是平穩(wěn)平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對的，自相關(guān)函數(shù)絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：氏變換，即：32deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2. 2. 證明：證明：TTXESXTX2),(lim)(2 ),(

19、),(21lim* TXTXETXXT TT21lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetxtxET21)12(21)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)12(12)(21lim33設(shè)設(shè)12tt 1tu 則則ut2ut 1所以：所以：11101),(),(21uttJt1t2-TT2TTu-2T / 2 Tu/ 2Tu/ 2 Tu/ 2Tu-T34)(022/2/dudeRjXTTT )(21lim222/2/dudeRTjXTTTTT deRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21 (lim

20、22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T (注意注意 ， 。通常情況下，第二項(xiàng)為通常情況下，第二項(xiàng)為0)0) deRjX)(dudeRTSjXTTTTX )(21lim)(202/2/dedtttRTSjtTtTTTXTX),(21lim)(書上此處有錯書上此處有錯2TTu-2T / 2 Tu/ 2Tu/ 2 Tu/ 2Tu-T35推論：對于一般的隨機(jī)過程推論：對于一般的隨機(jī)過程X(t)X(t)，有：，有： dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均功率為：平均功率為： dSdttXETXTTT )(21)(21lim2利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆

21、為偶函數(shù)的利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成：辛欽定理表示成： 0cos)(2)(dRSXX0cos)(1)(dSRXX363 3單邊功率譜單邊功率譜 由于實(shí)平穩(wěn)過程由于實(shí)平穩(wěn)過程x(t)x(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)R RX X( () )是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。率譜。 000)(2)(XXSG373839dRdeRSXjXX| )(|)()(條件dSdeSRXjXX)()(21)(條件 實(shí)際中會遇到實(shí)際

22、中會遇到R RX X( () )不是絕對可積的情況，這時維納不是絕對可積的情況，這時維納辛欽定理不成立。但是可以引入辛欽定理不成立。但是可以引入d d函數(shù)，在新的意義函數(shù)，在新的意義下將功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來。如下將功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來。如)()()()cos()()(2)(1)(000dddXXXXSRSR常見的幾種付氏變換關(guān)系需要記住常見的幾種付氏變換關(guān)系需要記住注注意：意：40例：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為例：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為 ，A0A0， ，求過程的功率譜密度。，求過程的功率譜密度。 AeRX)(0 解：應(yīng)將積分按解：應(yīng)將積分按 和和- 分成兩部分進(jìn)行分成兩

23、部分進(jìn)行 deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A41例：設(shè)例：設(shè)X(t)X(t)為隨機(jī)相位隨機(jī)過程為隨機(jī)相位隨機(jī)過程X(t)=X(t)=A Acos(cos( 0 0t+t+q)q)其中，其中，A A， 0 0為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)，q q為隨機(jī)相位為隨機(jī)相位，在在(0,2(0,2 ) )均勻均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自分布?？梢酝茖?dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為R RX X( ( )=()=(A A2 2/2)cos(/2)cos( 0 0 ) )，求，求X(t)X(t)的功率譜的功率譜密度密度S SX X()

24、() 。解：注意此時解：注意此時 不是有限值，即不可積，不是有限值，即不可積，因此因此R RX X( ( ) )的付氏變換不存在，需要引入的付氏變換不存在，需要引入d d函數(shù)。函數(shù)。 dRX )(42 deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002ddA)(2(00dje43與時間t有關(guān)，非平穩(wěn)例：設(shè)隨機(jī)過程例：設(shè)隨機(jī)過程 ，其中，其中 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)， 為具有功率譜密度為具有功率譜密度 的平穩(wěn)隨機(jī)過程。求過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程。求過程 的功率譜密度。的功率譜密度。 ttaXtY0sin)()(

25、0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002tRaXdettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa443.4 3.4 離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度一、離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度一、離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度1 1平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)X(n)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值，其自相關(guān)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具

26、有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為函數(shù)為: :)()()(mTnTXnTXEmRX簡寫為：簡寫為： )()()(mnXnXEmRX452 2平穩(wěn)平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度 當(dāng)當(dāng)R Rx x(m)(m)滿足條件式滿足條件式 時，我們時，我們定義定義X(n)X(n)的功率譜密度為的功率譜密度為R Rx x(m)(m)的離散傅里葉的離散傅里葉變換，并記為變換，并記為S SX X( () ) mXmR)(TjmmXXemRS)()(T T是隨機(jī)序列相鄰各值的時間間隔。是隨機(jī)序列相鄰各值的時間間隔。S SX X()()是頻率是頻率為為 的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為的周期性連續(xù)函數(shù)，

27、其周期為qT 22記為記為 奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率 46因?yàn)橐驗(yàn)镾 SX X( () )為周期函數(shù)，周期為為周期函數(shù)，周期為 q 2deSmRTjmXqXqq)(21)(在在m=0時時dSRnXEqqXqX)(21)0()(2473. 3. 譜分解譜分解 z z變換定義變換定義在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為散時間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為R RX X(m)(m)的的z z變換，并記為變換，并記為 ，即，即 ( ( ) )zSX ( )mmXXzmRzS)(式中式中TjezdzzzSjmRmDXX1)(21)(式中，

28、式中，D D為在為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞的收斂域內(nèi)環(huán)繞z z平面原點(diǎn)反平面原點(diǎn)反時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。( ( ) )zSX 反變換：反變換：48 性質(zhì)性質(zhì) zSzSXX1)(（因?yàn)橐驗(yàn)?）)()(mRmRXX 譜分解定理譜分解定理設(shè)設(shè)X(n)X(n)是廣義平穩(wěn)是廣義平穩(wěn)實(shí)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有離散隨機(jī)過程，具有有理有理功率譜密度函數(shù)功率譜密度函數(shù) 。則。則 可分解為：可分解為： ( ( ) )zSX ( ( ) )zSX ( )()(12zBzBCzSX)()()()()(11NMzzzzCzB)()()()()(1111111NMzzzzCzB其中其中包含了包含了單位圓之

29、內(nèi)單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)包含了包含了單位圓之外單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)49例：設(shè)例：設(shè) ，求求 , ,1,)(aamRmX)(zSX)(XS解：解：mmmmmmXzazazS01)(azzazaz1)1)()1 (2azazza)1)(1 ()1 (12azaza)()(111zzaaaa將將z= z= 代人上式，即可求得代人上式，即可求得Tje TaaaaSXcos2)(1150連續(xù)時間連續(xù)時間確知信號確知信號離散時間離散時間確知信號確知信號)(tS)(nS采樣采樣香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理連續(xù)時間平連續(xù)時間平穩(wěn)隨機(jī)過程穩(wěn)隨機(jī)過程離散時間平離散時間平穩(wěn)隨機(jī)

30、過程穩(wěn)隨機(jī)過程)(tX)(nX 采樣采樣自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))(cR)(mR)(S)(cSFTDFT51其中，其中，T T為采樣周期，為采樣周期， 為在為在 時對時對 的采樣。的采樣。),(ccnccntntnTsts)sin()()(cf2/1)(nTsnTt )(ts)(ts)(ts二二 平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理52其它0)()(cXXSScf21T )(tX)(tXNNnccNntntnTXmi ltX)sin()(. .)(二二 平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過程

31、的采樣定理53)(XR)()(XXSR)(XSnccXXnnnTRR)sin()()( a,)()(ajXXeSaRajXeS)()(aRXnccXXnnanTRaR)sin()()( ， anccXXnanaanTRR)()(sin()() (對 ， )(XR54NNnccntntnTXtX)sin()()()()()(limmTXtXtXEN，nccXXntntmTnTRmTtR)sin()()(=0nccXXnnanTRaR)sin()()(nccXXntntmTnTRmTtR)sin()()(ttmTa mTa N)()(tXtX)(mTX ，NNnccntntnTXtX)sin()(

32、)()(mTXN)()(tXtX)(tX55 0)()()(limtXtXtXEN(4) )()()(limtXtXtXENnccXXntnttnTRR)sin()()0(0(5)nccXXnanaanTRR)()(sin()() (nccXXntnttnTRR)sin()()0(00ta ta 02)()(limtXtXEN)()()()()()(limtXtXtXtXtXtXEN=0NNnccNntntnTXmi ltX)sin()(. .)(56nccXXnnnTRR)sin()()(nccXXnnanTRaR)sin()()(nccXXnanaanTRR)()(sin()() (0)(

33、)()(limtXtXtXEN(4)()()(limtXtXtXEN(5)02)()(limtXtXEN=0NNnccNntntnTXmiltX)sin()(. .)(57 若平穩(wěn)連續(xù)時間實(shí)隨機(jī)過程若平穩(wěn)連續(xù)時間實(shí)隨機(jī)過程X(t)X(t)，其自相關(guān)函，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為數(shù)和功率譜密度分別記為R Rc c( () )和和S Sc c( ( ) )，對，對X(t)X(t)采樣采樣后所得離散時間隨機(jī)過程后所得離散時間隨機(jī)過程X(n)=X(nT)X(n)=X(nT)，X(n)X(n)的自相的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為R(R(m m) )和和S(S( ) )，

34、則有，則有 )()(mTRmRc )2(1)(qncnSTS Tq三三 功率譜密度的采樣定理功率譜密度的采樣定理58證明證明: : (1) (1) 根據(jù)定義根據(jù)定義)(mR=)()(mnXnXE=)()(TmnXnTXE=)(mTRc由由)()(mTRmRc可見，可見，)(mR，即即樣可得樣可得)()(mTRmRc=)()(dPRcmmTP)()(dd)(S)(cSnTnT)2(2d=21ncTnST)2(1nqcnST)2(1Tq(2)(2)(cR進(jìn)行等間隔的采進(jìn)行等間隔的采對59連續(xù)時間平連續(xù)時間平穩(wěn)隨機(jī)過程穩(wěn)隨機(jī)過程離散時間平離散時間平穩(wěn)隨機(jī)過程穩(wěn)隨機(jī)過程)(tX)(nXNNnccNnt

35、ntnTXmi ltX)sin()(. .)(采樣)()(nTXnX自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))(cR)(mR)(S)(cSF TDFT)()(mTRmRc)2(1)(qncnSTSTq60結(jié)論：結(jié)論：（1 1）離散時間隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)）離散時間隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(m)R(m)正是對正是對連續(xù)過程自相關(guān)函數(shù)連續(xù)過程自相關(guān)函數(shù)R RC C ( ( ) )的采樣。的采樣。（2 2）S( ( ) )等于等于SC ( ( ) )及及SC ( ) ) 的所有各位移之和，的所有各位移之和，即即SC ( ) )以以2 2 q q為周期延拓，所以為

36、周期延拓，所以S S( ( ) )為周期函為周期函數(shù)。數(shù)。613.5 3.5 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度一、互譜密度一、互譜密度 考慮兩個平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程考慮兩個平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)， 它們它們的樣本函數(shù)分別為的樣本函數(shù)分別為x(t)x(t)和和y(t)y(t)，定義兩個截?cái)嗪x兩個截?cái)嗪瘮?shù)數(shù)x xT T(t)(t) 、y yT T(t)(t)為：為：TtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(62 因?yàn)橐驗(yàn)閤 xT T(t) (t) 、y yT T(t)(t)都滿足絕對可積的條件，所以都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變

37、換存在。在時間范圍它們的傅里葉變換存在。在時間范圍(-T(-T，T)T)內(nèi)，兩內(nèi)，兩個隨機(jī)過程的互功率個隨機(jī)過程的互功率Q QXYXY(T)(T)為為: :TTTTXYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21 由于由于x xT T(t)(t)、y yT T(t)(t)的傅里葉變換存在，故帕塞瓦的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即定理對它們也適用，即: :63dttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21* 注意到上式中，注意到上式中，x(t)x(t)

38、和和y(t)y(t)是任一樣本函數(shù)，因是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令T T得：得： 64)()(21lim)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYTdTTYTXEYXT2),(),(lim21* 定義互功率譜密度為：定義互功率譜密度為：),(),(21lim)(*TYTXETSYXTXYdSQXYXY)(21則則同理，有：同理，有：),(),(21lim)(*TXTYETSXYTYXdSQYXYX)(21YXXYQQ且且65二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)

39、函數(shù) 功率譜密度功率譜密度 F互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互譜密度互譜密度 F 定義：對于兩個實(shí)隨機(jī)過程定義：對于兩個實(shí)隨機(jī)過程X(t)X(t)、Y(t)Y(t)，其，其互譜密度互譜密度 與互相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù) 之間的之間的關(guān)系為關(guān)系為 )( XYS),( ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即即66若若X(t)X(t)、Y(t)Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)( (至少是廣義聯(lián)合平至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)穩(wěn)) )的實(shí)隨機(jī)

40、過程，它們的互譜密度與其互相的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。67三、互譜密度的性質(zhì)三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 證明：證明： deRSjXYXY)()(deRjYX)( （令令 ） deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS68性質(zhì)性質(zhì)2 2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS證明：證明： 由性質(zhì)由性質(zhì)1 1知知)()(XYXYSS( () )S S( () )S SY YX XY YX X同理可證同理可證)(Re)(ReYXYXSS)(Re)(ReYXYXSS)(R

41、e)(ReXYXYSS又又69性質(zhì)性質(zhì)3 3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS證明：類似性質(zhì)證明：類似性質(zhì)2 2證明。證明。性質(zhì)性質(zhì)4 4： 若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交，則有正交，則有 0)(YXS0)(XYS證明：證明：若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交，則正交，則 0),(),(2121ttRttRYXXY所所以以0)()(YXXYSS70性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)X(t)、Y(t)Y(t)分分別具有常數(shù)均值別具有常數(shù)均值m mX X和和m mY Y, ,則則 )(2)()(dYX

42、YXXYmmSS證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)閄(t)X(t)與與Y(t)Y(t)不相關(guān)，所以不相關(guān)，所以YXmmtYtXE )()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2dYXmm)(21 dd（ ）71性質(zhì)性質(zhì)6 6： )(),(XYXYSttRA)(),(YXYXSttRA注意：注意：互功率譜密度和功率譜密度不互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率同，它不再是頻率 的的正的、實(shí)的、正的、實(shí)的、偶函數(shù)。偶函數(shù)。72解：解： deRSjXYXY)()(039deej0)3(9dejj39jSSXYYX39)()(*例：設(shè)兩個隨機(jī)過程例：設(shè)兩個隨機(jī)過程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)函數(shù)R RXYXY(t)(t)為為: : 0009)(3eRXY求互譜密度求互譜密度 ， 。)( XYS)( YXS733.6 3.6 白噪聲白噪聲一、理想白噪聲一、理想白噪聲定義：若定義：若N(t)N(t)為一個具有為一個具有零均值零均值的的平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程，隨機(jī)過程，其功率譜密度均勻分布在其功率譜密度均勻分布在(-(-,),)的整個頻率的整個頻