工程力學電子教案（第三版)第6章 桿件的應(yīng)力和強度ppt課件

1、第6章 桿件的應(yīng)力與強度內(nèi)容提要內(nèi)容提要 本章在介紹材料拉壓時的力學性本章在介紹材料拉壓時的力學性能的基礎(chǔ)上，研究桿件在基本變形時的應(yīng)能的基礎(chǔ)上，研究桿件在基本變形時的應(yīng)力與強度計算；在介紹應(yīng)力狀態(tài)和強度理力與強度計算；在介紹應(yīng)力狀態(tài)和強度理論的基本概念以及主要結(jié)論的基礎(chǔ)上，研論的基本概念以及主要結(jié)論的基礎(chǔ)上，研究桿件在組合變形時的應(yīng)力與強度計算。究桿件在組合變形時的應(yīng)力與強度計算。 本章內(nèi)容是桿件強度計算的核心。本章內(nèi)容是桿件強度計算的核心。 第6章 桿件的應(yīng)力與強度本章內(nèi)容本章內(nèi)容 6-8 6-8 連接件的剪切與擠壓強度連接件的剪切與擠壓強度 6-1 6-1 材料拉材料拉( (壓壓) )時

2、的力學性能時的力學性能6-2 6-2 桿件拉桿件拉( (壓壓) )時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度6-3 6-3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度6-4 6-4 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度6-5 6-5 應(yīng)力狀態(tài)和強度理論應(yīng)力狀態(tài)和強度理論6-6 6-6 桿件在拉桿件在拉( (壓壓) )與彎曲組合變形時的與彎曲組合變形時的 應(yīng)力與強度應(yīng)力與強度6-7 6-7 桿件在彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時的應(yīng)桿件在彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時的應(yīng) 力與強度力與強度小結(jié)小結(jié) 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 材料的力學性能是指材料在外力作用下其材料的力學性能是指材料在外力作用下其強度

3、和變形等方面表現(xiàn)出來的性質(zhì)，它是構(gòu)強度和變形等方面表現(xiàn)出來的性質(zhì)，它是構(gòu)件強度計算及材料選用的重要依據(jù)。材料的件強度計算及材料選用的重要依據(jù)。材料的力學性能可由試驗來測定。力學性能可由試驗來測定。 本節(jié)以工程中廣泛使用的低碳鋼本節(jié)以工程中廣泛使用的低碳鋼(含碳含碳量量0.25)和鑄鐵兩類材料為例，引見和鑄鐵兩類材料為例，引見材料在常溫、靜載材料在常溫、靜載(是指從零緩慢地增加是指從零緩慢地增加到標定值的載荷到標定值的載荷)下拉下拉(壓壓)時的力學性能。時的力學性能。 61l 低碳鋼在拉伸時的力學性能低碳鋼在拉伸時的力學性能1. 拉伸試樣拉伸試樣 為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，必為了便于比較不

4、同材料的試驗結(jié)果，必須將試驗材料按照國家標準制成標準試樣。須將試驗材料按照國家標準制成標準試樣。 金屬材料常用的拉伸試樣如圖金屬材料常用的拉伸試樣如圖61所示，所示，中部工作段的直徑為中部工作段的直徑為d0，工作段的長度為，工作段的長度為l0，稱為標距，且稱為標距，且l0=10 d0或或l0=5 d0。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖61 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能2. 拉伸曲線拉伸曲線 將試樣裝在試驗機上，緩慢平穩(wěn)地加載將試樣裝在試驗機上，緩慢平穩(wěn)地加載直至拉斷。對應(yīng)著每一個拉力直至拉斷。對應(yīng)著每一個拉力F，試樣標距，試樣標距l(xiāng)0有一伸長量有一

5、伸長量l。表示。表示F和和l關(guān)系的曲線，關(guān)系的曲線，稱為拉伸曲線或稱為拉伸曲線或Fl曲線。曲線。圖圖62a為為Q235鋼的鋼的Fl曲線。曲線。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能3. 應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線 為了消除試樣尺寸的影響，將縱坐標為了消除試樣尺寸的影響，將縱坐標F和和橫坐標橫坐標l分別除以試樣橫截面的原始面積分別除以試樣橫截面的原始面積A0和標距的原始長度和標距的原始長度l參見式參見式(64)和式和式(71)，得到材料拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲，得到材料拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線或線或曲線曲線(圖圖62b)。61 材料拉

6、材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能4. 低碳鋼拉伸的四個階段低碳鋼拉伸的四個階段 (1)彈性階段彈性階段 這一階段可分為斜直線這一階段可分為斜直線OA和和微彎曲線微彎曲線AA兩段。兩段。斜直線斜直線OA段表明段表明與與呈線性關(guān)系，即呈線性關(guān)系，即=E，材料服從胡克定律，斜直線，材料服從胡克定律，斜直線OA的斜率就是的斜率就是p表示。表示。Q235鋼的比例極限鋼的比例極限材料的彈性模量材料的彈性模量E。斜直線。斜直線OA的最高點的最高點A對應(yīng)的對應(yīng)的應(yīng)力是應(yīng)力與應(yīng)變保持線性關(guān)系的最大應(yīng)力，應(yīng)力是應(yīng)力與應(yīng)變保持線性關(guān)系的最大應(yīng)力，稱為

7、比例極限，用稱為比例極限，用約為約為200 MPa。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能超過比例極限后，從超過比例極限后，從A A點到點到AA點，點，與與關(guān)系不再是直線，但變形仍然是彈性的。關(guān)系不再是直線，但變形仍然是彈性的。AA點點e表示。表示。對應(yīng)的應(yīng)力是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力，對應(yīng)的應(yīng)力是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力，稱為彈性極限，用稱為彈性極限，用p與與e雖含義不同，但數(shù)值接近，雖含義不同，但數(shù)值接近，工程上對此二者不作嚴格區(qū)分。工程上對此二者不作嚴格區(qū)分。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性

8、能(2)(2)屈服階段屈服階段 在在曲線上接近水平線的曲線上接近水平線的小鋸齒形線段小鋸齒形線段(BC段段)。 這一段中應(yīng)力在很小范圍內(nèi)波動，而應(yīng)變有這一段中應(yīng)力在很小范圍內(nèi)波動，而應(yīng)變有非常明顯的增加，這種現(xiàn)象稱為屈服或流動。非常明顯的增加，這種現(xiàn)象稱為屈服或流動。 屈服階段中曲線首次下降后的最低應(yīng)力稱為屈服階段中曲線首次下降后的最低應(yīng)力稱為屈服極限，用屈服極限，用s表示。表示。Q235鋼的屈服極限約鋼的屈服極限約為為235 MPa。 材料屈服時，光滑試樣表面會出現(xiàn)與軸線材料屈服時，光滑試樣表面會出現(xiàn)與軸線約成約成45的條紋的條紋(圖圖63)。這是由于材料內(nèi)部晶。這是由于材料內(nèi)部晶格間相對滑

9、移形成的，稱為滑移線。格間相對滑移形成的，稱為滑移線。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 材料屈服時產(chǎn)生顯著的塑性變形，這是構(gòu)材料屈服時產(chǎn)生顯著的塑性變形，這是構(gòu)件正常工作所不允許的，因此屈服極限件正常工作所不允許的，因此屈服極限s是衡是衡量材料強度的重要指標。量材料強度的重要指標。圖圖62 圖圖63 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能(3)強化階段強化階段 CE段稱為強化階段。段稱為強化階段。 屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象 稱為材料的強化

10、。該階段產(chǎn)生的絕大部分變形是稱為材料的強化。該階段產(chǎn)生的絕大部分變形是塑性變形。塑性變形。 強化階段的最高點強化階段的最高點E E對應(yīng)的應(yīng)力是材料所能對應(yīng)的應(yīng)力是材料所能承受的最大應(yīng)力，稱為強度極限或抗拉強度，用承受的最大應(yīng)力，稱為強度極限或抗拉強度，用b表示。表示。Q235Q235鋼的強度極限約為鋼的強度極限約為400 MPa400 MPa。強度極限是衡量材料強度的另一重要指標。強度極限是衡量材料強度的另一重要指標。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能(4) 頸縮階段頸縮階段 EF段稱為強化階段。段稱為強化階段。 應(yīng)力

11、達到強度極限后，在試樣的某一局部范應(yīng)力達到強度極限后，在試樣的某一局部范圍內(nèi)，橫向尺寸將急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象圍內(nèi)，橫向尺寸將急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象(圖圖64)。此時所需的拉力也迅速減小，最后試。此時所需的拉力也迅速減小，最后試樣在頸縮段被拉斷，斷面呈杯口狀。樣在頸縮段被拉斷，斷面呈杯口狀。圖圖6461 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 全屏播放全屏播放單擊圖片播放影片單擊圖片播放影片 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性

12、能 試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試樣標試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試樣標距長度由原來的距長度由原來的l0變?yōu)樽優(yōu)閘1。試樣的相對塑性變。試樣的相對塑性變形用百分比表示為形用百分比表示為 100001lll （61） 稱為延伸率。試樣的塑性變形稱為延伸率。試樣的塑性變形(l1l0)越大，越大，也越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的指標。也越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的指標。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能工程中將延伸率工程中將延伸率5的材料稱為塑性材料，的材料稱為塑性材料，=2030，是典型的塑性材料。，是

13、典型的塑性材料。5的材料稱為脆性材料，如鑄鐵的的材料稱為脆性材料，如鑄鐵的=0.50.6，是典型的脆性材料。，是典型的脆性材料。 如如Q235鋼的鋼的而把而把 設(shè)試樣的原始橫截面面積為設(shè)試樣的原始橫截面面積為A0，拉斷后斷口處，拉斷后斷口處的最小橫截面面積為的最小橫截面面積為A1，用百分比表示的比值，用百分比表示的比值 100010AAA （62） 稱為斷面收縮率。稱為斷面收縮率。Q235鋼的鋼的=6070。斷面收縮率也是衡量材料塑性的指標。斷面收縮率也是衡量材料塑性的指標。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 如將試樣拉伸到強化階段中某一點如將試樣拉伸到強化階段中某一點D (

14、圖圖62b)，然后逐漸卸去拉力，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系將沿著大致然后逐漸卸去拉力，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系將沿著大致與斜直線與斜直線OA平行的直線平行的直線DO回到回到O點。這一規(guī)點。這一規(guī)律稱為卸載規(guī)律。律稱為卸載規(guī)律。 圖圖62b中中OG表示卸載后消失了的彈性應(yīng)變，表示卸載后消失了的彈性應(yīng)變，而而OO表示保留下來的塑性應(yīng)變。表示保留下來的塑性應(yīng)變。 若卸載后，在短期內(nèi)重新加載，則應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)粜遁d后，在短期內(nèi)重新加載，則應(yīng)力和應(yīng)變大致沿卸載時的斜直線大致沿卸載時的斜直線OD上升，到上升，到D點后，仍點后，仍沿原曲線沿原曲線DEF變化。變化。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 可見重新加載

15、時，直到可見重新加載時，直到D點之前材料的變形點之前材料的變形是彈性的，過是彈性的，過D點后才開始出現(xiàn)塑性變形。所以點后才開始出現(xiàn)塑性變形。所以這種預(yù)拉過的試樣，其比例極限得到了提高，這種預(yù)拉過的試樣，其比例極限得到了提高，但塑性變形和延伸率降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。但塑性變形和延伸率降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。 在工程中常利用冷作硬化來提高某些構(gòu)件在工程中常利用冷作硬化來提高某些構(gòu)件(如鋼筋、鋼纜繩等如鋼筋、鋼纜繩等)在彈性階段的承載能力。在彈性階段的承載能力。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖62 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能612 其他塑性材料

16、在拉伸時的力學性能其他塑性材料在拉伸時的力學性能圖圖6 65 5給出了幾種塑性材料的給出了幾種塑性材料的曲線?？梢钥闯?，除了曲線?？梢钥闯?，除了16 Mn16 Mn鋼與低碳鋼的鋼與低碳鋼的曲線比較相似外，一些材料曲線比較相似外，一些材料( (如鋁合金如鋁合金) )沒有明顯的沒有明顯的屈服階段，但它們的彈性階段、強化階段和頸縮階屈服階段，但它們的彈性階段、強化階段和頸縮階段則都比較明顯；另外一些材料段則都比較明顯；另外一些材料( (如如MnVMnV鋼鋼) )則只則只有彈性階段和強化階段而沒有屈服階段和頸縮階段。有彈性階段和強化階段而沒有屈服階段和頸縮階段。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時

17、的力學性能圖圖65 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，工程中對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，工程中規(guī)定以產(chǎn)生規(guī)定以產(chǎn)生0.20.2塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值作為名義屈塑性應(yīng)變時的應(yīng)力值作為名義屈服極限，用服極限，用2 . 0表示表示( (圖圖6 66)6)。圖圖66 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能6l3 鑄鐵在拉伸時的力學性能鑄鐵在拉伸時的力學性能圖圖6 67 7是灰鑄鐵拉伸時的是灰鑄鐵拉伸時的明顯的直線部分，在拉應(yīng)力較低明顯的直線部分，在拉應(yīng)力較低約約120120180 MPa180 MPa）時就沿橫截面被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象

18、。拉斷時就沿橫截面被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象。拉斷前應(yīng)變很小，延伸率也很小，約為前應(yīng)變很小，延伸率也很小，約為0.40.40.50.5，是典型的脆性材料。是典型的脆性材料。曲線。它沒有曲線。它沒有 鑄鐵拉斷時的應(yīng)力為強度極限。因為沒有屈服鑄鐵拉斷時的應(yīng)力為強度極限。因為沒有屈服景象，強度極限景象，強度極限b是衡量其強度的唯一指標。是衡量其強度的唯一指標。由于鑄鐵等脆性材料拉伸時的強度極限很低，因此由于鑄鐵等脆性材料拉伸時的強度極限很低，因此不宜用于制作受拉構(gòu)件。不宜用于制作受拉構(gòu)件。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖67 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能

19、全屏播放全屏播放單擊圖片播放影片單擊圖片播放影片 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能6l4 材料在壓縮時的力學性能材料在壓縮時的力學性能 金屬材料的壓縮試樣常制成短的圓柱體，圓柱金屬材料的壓縮試樣常制成短的圓柱體，圓柱的高度約為直徑的的高度約為直徑的1.53倍。倍。 圖圖6 68 8是低碳鋼壓縮時的是低碳鋼壓縮時的低碳鋼等塑性材料壓縮時的彈性模量低碳鋼等塑性材料壓縮時的彈性模量E E和屈服極限和屈服極限s s都與拉伸時基本相同。都

20、與拉伸時基本相同。曲線。試驗表明，曲線。試驗表明， 屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣抗壓能力也繼續(xù)提高，故測不出不斷增大，試樣抗壓能力也繼續(xù)提高，故測不出壓縮時的強度極限。壓縮時的強度極限。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖68 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 全屏播放全屏播放單擊圖片播放影片單擊圖片播放影片 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能鑄鐵壓縮時的鑄鐵壓縮時的但壓縮時的強度極限比拉伸時的要高但壓縮時的強度極限比拉伸時的要高45倍，且破倍，且破壞前有較大的塑性變形。鑄鐵壓縮試

21、樣的破壞斷面壞前有較大的塑性變形。鑄鐵壓縮試樣的破壞斷面較為光滑，斷面與軸線大約成較為光滑，斷面與軸線大約成4555角。其角。其他脆性材料，如混凝土、石料等，抗壓強度他脆性材料，如混凝土、石料等，抗壓強度c也也b。因此，脆性材料宜用來。因此，脆性材料宜用來 曲線曲線(圖圖69)類似于拉伸，類似于拉伸，遠高于抗拉強度遠高于抗拉強度制作承壓構(gòu)件。制作承壓構(gòu)件。61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能圖圖6961 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 全屏播放全屏播放單擊圖片播放影片單擊圖片播放影片 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能615 極限應(yīng)力、許用應(yīng)力和安全

22、因數(shù)極限應(yīng)力、許用應(yīng)力和安全因數(shù)2 .0根據(jù)以上分析，塑性材料的應(yīng)力達到屈服極限根據(jù)以上分析，塑性材料的應(yīng)力達到屈服極限s或名義屈服極限或名義屈服極限塑性變形；脆性材料的應(yīng)力達到強度極限塑性變形；脆性材料的應(yīng)力達到強度極限b或或就會發(fā)生破壞。這兩種情況都會使材料喪失正常的就會發(fā)生破壞。這兩種情況都會使材料喪失正常的時，就會出現(xiàn)顯著的時，就會出現(xiàn)顯著的c時，時，工作能力，這種現(xiàn)象稱為強度失效。工作能力，這種現(xiàn)象稱為強度失效。002 . 00上述引起材料失效的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力，用上述引起材料失效的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力，用表示。對于塑性材料，表示。對于塑性材料，=s或或；對于脆性材料，；對于脆性材料，=

23、b或或61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能0 為了保證桿件有足夠的強度，應(yīng)使桿件的為了保證桿件有足夠的強度，應(yīng)使桿件的工作應(yīng)力小于材料的極限應(yīng)力。此外，桿件工作應(yīng)力小于材料的極限應(yīng)力。此外，桿件應(yīng)留有必要的強度儲備。在強度計算中，應(yīng)留有必要的強度儲備。在強度計算中，把極限應(yīng)力把極限應(yīng)力除以大于除以大于1 1的因數(shù)的因數(shù)n n，作為，作為表示。表示。設(shè)計時的最高值，稱為許用應(yīng)力，用設(shè)計時的最高值，稱為許用應(yīng)力，用 即即 n0=（63） 式中，式中，n稱為安全因數(shù)。稱為安全因數(shù)。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能 確定安全因數(shù)是一個復(fù)雜的問題。一般來說，確定安全因數(shù)

24、是一個復(fù)雜的問題。一般來說，應(yīng)考慮材料的均勻性；載荷估計的準確性；計算應(yīng)考慮材料的均勻性；載荷估計的準確性；計算簡圖和計算方法的精確性；桿件在結(jié)構(gòu)中的重要簡圖和計算方法的精確性；桿件在結(jié)構(gòu)中的重要性以及桿件的工作條件等。性以及桿件的工作條件等。 安全因數(shù)的選取直接關(guān)系到安全性和經(jīng)濟性。安全因數(shù)的選取直接關(guān)系到安全性和經(jīng)濟性。若安全因數(shù)偏大，則桿件偏于安全，造成材料浪若安全因數(shù)偏大，則桿件偏于安全，造成材料浪費；反之，則桿件工作時危險。費；反之，則桿件工作時危險。 在工程設(shè)計中，安全因數(shù)可從有關(guān)規(guī)范或手冊在工程設(shè)計中，安全因數(shù)可從有關(guān)規(guī)范或手冊中查到。在常溫靜載下，對于塑性材料，一般取中查到。在

25、常溫靜載下，對于塑性材料，一般取ns=1.41.7；對于脆性材料，一般取；對于脆性材料，一般取nb=2.53.0。 61 材料拉材料拉(壓壓)時的力學性能時的力學性能62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度62l 拉壓桿橫截面上的應(yīng)力拉壓桿橫截面上的應(yīng)力 因為拉因為拉( (壓壓) )桿橫截面上的軸力沿截面的法向，桿橫截面上的軸力沿截面的法向，所以橫截面上只有正應(yīng)力所以橫截面上只有正應(yīng)力。要計算正應(yīng)力要計算正應(yīng)力的變形入手。在圖的變形入手。在圖6 6l0al0a所示拉桿的側(cè)面任意畫兩所示拉桿的側(cè)面任意畫兩條垂直于桿軸的橫向線條垂直于桿軸的橫向線abab和和cdcd。拉伸后可觀察到。

26、拉伸后可觀察到它們分別平移到了它們分別平移到了abab和和cdcd的位置，但仍的位置，但仍為直線，且仍垂直于桿軸為直線，且仍垂直于桿軸( (圖圖6 6l0b)l0b)。為此，從觀察拉為此，從觀察拉(壓壓)桿桿 根據(jù)這一現(xiàn)象，可假設(shè)變形前原為平面的橫截根據(jù)這一現(xiàn)象，可假設(shè)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且垂直于桿軸。這就是平面，變形后仍保持為平面且垂直于桿軸。這就是平面假設(shè)。面假設(shè)。圖圖610 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 根據(jù)平面假設(shè)，在拉伸時，桿的相鄰兩橫截根據(jù)平面假設(shè)，在拉伸時，桿的相鄰兩橫截面就象剛性平面一樣，相對平移了一個距離。面就象剛性平面一樣，相

27、對平移了一個距離。設(shè)想桿由無數(shù)縱向纖維組成，則每根纖維的變形設(shè)想桿由無數(shù)縱向纖維組成，則每根纖維的變形一樣，因而所受的內(nèi)力相等，從而可知：橫截面一樣，因而所受的內(nèi)力相等，從而可知：橫截面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力均勻分布均勻分布(圖圖6l0c)。 圖圖610 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 設(shè)桿的橫截面面積為設(shè)桿的橫截面面積為A，因為軸力，因為軸力FN是橫截面是橫截面上分布內(nèi)力的合力，于是有上分布內(nèi)力的合力，于是有 FN=A 或或 AFN=（64） 這就是軸向拉伸時橫截面上正應(yīng)力的計算這就是軸向拉伸時橫截面上正應(yīng)力的計算公式。它同樣適用于軸向壓縮的等截面直桿。公式。它同樣適用

28、于軸向壓縮的等截面直桿。對于變截面桿，除在截面突變處附近以外，對于變截面桿，除在截面突變處附近以外，此公式也適用。此公式也適用。 正應(yīng)力的符號與軸力的符號規(guī)定相同，即拉正應(yīng)力的符號與軸力的符號規(guī)定相同，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度圖圖610 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度622 拉拉(壓壓)桿的強度條件桿的強度條件 max 為了保證拉為了保證拉( (壓壓) )桿的正常工作，必須使桿內(nèi)的桿的正常工作，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力 。對于等直桿，有對于等

29、直桿，有maxAFmaxN= （65） 上式稱為拉上式稱為拉(壓壓)桿的強度條件。桿的強度條件。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 根據(jù)強度條件，可以解決以下三種類型的根據(jù)強度條件，可以解決以下三種類型的強度計算問題：強度計算問題： (1)強度校核強度校核 已知桿的材料、尺寸和承受的已知桿的材料、尺寸和承受的載荷載荷(即已知即已知、A和和FNmax)，要求校核桿的，要求校核桿的強度是否足夠。此時只須檢查式強度是否足夠。此時只須檢查式(65)是否成立。是否成立。 (2) (2)設(shè)計截面設(shè)計截面 已知桿的材料、承受的載荷已知桿的材料、承受的載荷( (即已知即已知 和和FNma

30、x)FNmax)，要求確定橫截面面積，要求確定橫截面面積或尺寸。為此，將式或尺寸。為此，將式(65)改寫為改寫為 A maxNF（a） 由此確定橫截面面積。再根據(jù)橫截面形狀，由此確定橫截面面積。再根據(jù)橫截面形狀，確定橫截面尺寸。確定橫截面尺寸。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 當采用工程中規(guī)定的標準截面如型鋼）當采用工程中規(guī)定的標準截面如型鋼）時，可能會遇到為了滿足強度條件而須選用過時，可能會遇到為了滿足強度條件而須選用過大截面的情況。為經(jīng)濟起見，此時可以考慮選大截面的情況。為經(jīng)濟起見，此時可以考慮選用小一號的截面，但由此而引起的桿的最大正用小一號的截面，但由此而引起的

31、桿的最大正應(yīng)力超過許用應(yīng)力的百分數(shù)一般限制在應(yīng)力超過許用應(yīng)力的百分數(shù)一般限制在5%以內(nèi)，以內(nèi)，即即 max100%5% （b） (3) (3)確定許用載荷確定許用載荷 已知桿的材料和尺寸已知桿的材料和尺寸( (即已知即已知 和和A )A )，要求確定桿所能承受的，要求確定桿所能承受的最大載荷。為此，將式最大載荷。為此，將式(65)改寫為改寫為 先算出最大軸力，再由載荷與軸力的關(guān)系，確定先算出最大軸力，再由載荷與軸力的關(guān)系，確定桿的許用載荷。桿的許用載荷。 FNmaxA （c） 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 例例6 6l l 圖圖6 611a11a為三角形托架，桿為三角

32、形托架，桿ABAB為直為直徑徑d=20 mmd=20 mm的圓形鋼桿，材料為的圓形鋼桿，材料為Q235Q235鋼，許用應(yīng)鋼，許用應(yīng)力力 =160 MPa=160 MPa，載荷，載荷F=45 kNF=45 kN。試校核桿。試校核桿ABAB的的強度。強度。圖圖611 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度解解 (1)計算桿計算桿AB的軸力的軸力 取結(jié)點取結(jié)點B為研究對象為研究對象(圖圖611b)，列出平衡方程，列出平衡方程Fx=0， FN2cos45FN1=0 Fy=0， FN2sin45F=0聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得FN1=F=45kN 圖圖611 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的

33、應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度(2)強度校核強度校核 桿橫截面上的應(yīng)力為桿橫截面上的應(yīng)力為262321Nm102041N104541dF= =143.2106 Pa=143.2 MPa=160 MPa因此桿因此桿AB的強度足夠。的強度足夠。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 例例62 上例中，若桿上例中，若桿AB由兩根等邊角鋼組成由兩根等邊角鋼組成(圖圖611c)，其他條件不變，試選擇等邊角鋼的，其他條件不變，試選擇等邊角鋼的型號。型號。 圖圖611 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度解解 (1)計算桿計算桿AB的軸力的軸力 由上例已算得桿由上例已算得桿AB

34、的軸力為的軸力為FN1=45 kN (2)設(shè)計截面設(shè)計截面 桿桿AB的橫截面面積為的橫截面面積為 A A Pa10160N1045631NF=0.281310-3 m2=281.3 mm2 查型鋼規(guī)格表，可選查型鋼規(guī)格表，可選L253的等邊角鋼，的等邊角鋼，其橫截面面積為其橫截面面積為1.432 cm2=143.2 mm2。采用。采用兩根這樣的角鋼，其總橫截面面積為兩根這樣的角鋼，其總橫截面面積為2143.2 mm2=286.4 mm2281.3 mm2，可滿足要求?？蓾M足要求。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 例例6 63 3 圖圖6 611a11a所示三角形托架中，

35、所示三角形托架中，若桿若桿ABAB為橫截面面積為橫截面面積A=480 mm2A=480 mm2的鋼桿，許用的鋼桿，許用應(yīng)力應(yīng)力 1=160 MPa 1=160 MPa ；桿；桿BCBC為橫截面為橫截面2=10 MPa 。求許用載荷。求許用載荷F。面積面積A=10000 mm2的木桿，許用壓應(yīng)力的木桿，許用壓應(yīng)力 圖圖611 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度解解 (1)求兩桿軸力與載荷求兩桿軸力與載荷F的關(guān)系的關(guān)系 在例在例61中，由結(jié)點中，由結(jié)點B的平衡方程，可得的平衡方程，可得 FN1=F FN1=F拉），拉），F(xiàn)N2=FN2=2F(壓壓)圖圖611 62 桿件拉桿件拉

36、(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度(2)求滿足桿求滿足桿AB強度條件的許用載荷強度條件的許用載荷 桿桿AB的許用軸力為的許用軸力為 FN1=F A1 FN1=F A111因此許用載荷為因此許用載荷為 F A11=48010-6 m2160106 Pa=76800 N=76.8 kN (3)求滿足桿求滿足桿BC強度條件的許用載荷強度條件的許用載荷 桿桿BC的許用軸力為的許用軸力為2 FN2= FN2=F A22262 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度因此許用載荷為因此許用載荷為 222A2Pa1010m1010000626 F F= =70710 N=70.71 kN為了保證兩

37、桿都能安全地工作，許用載荷為為了保證兩桿都能安全地工作，許用載荷為 F=70.71 kN 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度623 應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念 試驗結(jié)果和理論分析表明：對于橫截面有突試驗結(jié)果和理論分析表明：對于橫截面有突變的桿件，例如，開有圓孔的板條變的桿件，例如，開有圓孔的板條(圖圖612a)，當其受拉時，在突變點圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，當其受拉時，在突變點圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力將急劇增加應(yīng)力將急劇增加(圖圖612b)，但在離開圓孔稍遠，但在離開圓孔稍遠處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻(圖圖612c)。這種因桿件外形突然變化，而

38、引起局部應(yīng)力急這種因桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度圖圖612 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度的比值，稱為應(yīng)力集中因數(shù)，的比值，稱為應(yīng)力集中因數(shù)，maxm發(fā)生應(yīng)力集中的橫截面上的最大應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力集中的橫截面上的最大應(yīng)力與該截面上平均應(yīng)力與該截面上平均應(yīng)力表示，即表示，即用用mmax（66） 反映了應(yīng)力集中的程度，是一個大于反映了應(yīng)力集中的程度，是一個大于1的因數(shù)。的因數(shù)。截面尺寸改變越急劇，應(yīng)力集中的程度就越嚴重。截面尺寸改變越急劇，應(yīng)力集中的程度就越嚴重。

39、對于工程中各種典型的應(yīng)力集中情況，如開孔、對于工程中各種典型的應(yīng)力集中情況，如開孔、淺槽、螺紋等，其應(yīng)力集中因數(shù)淺槽、螺紋等，其應(yīng)力集中因數(shù)的值可從有關(guān)的值可從有關(guān)手冊中查到。手冊中查到。 查出應(yīng)力集中因數(shù)后，利用式查出應(yīng)力集中因數(shù)后，利用式(66)即可求得即可求得最大應(yīng)力最大應(yīng)力max，然后進行強度計算。，然后進行強度計算。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度 應(yīng)該指出，在靜載荷情況下，塑性材料及應(yīng)該指出，在靜載荷情況下，塑性材料及組織不均勻的脆性材料可以不考慮應(yīng)力集中的影響，組織不均勻的脆性材料可以不考慮應(yīng)力集中的影響，而組織均勻的脆性材料則必須加以考慮。而組織均勻的脆

40、性材料則必須加以考慮。 但在周期性變化的載荷或沖擊載荷作用下，但在周期性變化的載荷或沖擊載荷作用下，無論是塑性材料，還是脆性材料，應(yīng)力集中的影響無論是塑性材料，還是脆性材料，應(yīng)力集中的影響都必須加以考慮。都必須加以考慮。 應(yīng)力集中對桿件的工作是不利的。因此，在應(yīng)力集中對桿件的工作是不利的。因此，在設(shè)計時應(yīng)盡可能使桿的截面尺寸不發(fā)生突變，并使設(shè)計時應(yīng)盡可能使桿的截面尺寸不發(fā)生突變，并使桿的外形平緩光滑，盡可能避免帶尖角的孔、槽桿的外形平緩光滑，盡可能避免帶尖角的孔、槽和劃痕等，以降低應(yīng)力集中的影響。和劃痕等，以降低應(yīng)力集中的影響。 62 桿件拉桿件拉(壓壓)時的應(yīng)力與強度時的應(yīng)力與強度63 圓軸

41、扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度63l 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力 圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面上存在著切應(yīng)力。這是圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面上存在著切應(yīng)力。這是因為只有橫截面上的切向微內(nèi)力因為只有橫截面上的切向微內(nèi)力才能合成為扭矩才能合成為扭矩T(圖圖613)。dA對圓心對圓心O的力矩，的力矩，圖圖613 取一等直圓軸，在圓軸表面畫圓周線和縱向線取一等直圓軸，在圓軸表面畫圓周線和縱向線(圖圖614a)，在扭轉(zhuǎn)外力偶，在扭轉(zhuǎn)外力偶Me作用下，可以觀察到：作用下，可以觀察到：各圓周線繞軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，但大小、各圓周線繞軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，但大小、形狀和相鄰圓周線間

42、的距離不變；各縱向線都傾斜形狀和相鄰圓周線間的距離不變；各縱向線都傾斜了一個微小的角度了一個微小的角度。變形前表面上的方格，。變形前表面上的方格，變形后錯動成菱形。變形后錯動成菱形。 從上述觀察到的現(xiàn)象，可得到圓軸扭轉(zhuǎn)時的平從上述觀察到的現(xiàn)象，可得到圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)：即圓軸變形前原為平面的橫截面，變形后面假設(shè)：即圓軸變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。仍保持為平面。 根據(jù)平面假設(shè)，圓軸扭轉(zhuǎn)時，相鄰兩橫截面就根據(jù)平面假設(shè)，圓軸扭轉(zhuǎn)時，相鄰兩橫截面就像剛性平面一樣，繞軸線相對轉(zhuǎn)動了一個角度。像剛性平面一樣，繞軸線相對轉(zhuǎn)動了一個角度。63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圖圖

43、614 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應(yīng)力大小的計圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處切應(yīng)力大小的計算公式為推導(dǎo)從略）算公式為推導(dǎo)從略） pIT（67） 式中：式中：T為橫截面上的扭矩，以絕對值代入；為橫截面上的扭矩，以絕對值代入；為為橫截面上欲求應(yīng)力的點處到圓心的距離；橫截面上欲求應(yīng)力的點處到圓心的距離；Ip為橫為橫截面對圓心的極慣性矩。截面對圓心的極慣性矩。 由式由式67可知，橫截面上任一點處的切應(yīng)可知，橫截面上任一點處的切應(yīng)力的大小力的大小與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離成正比。至于成正比。至于切應(yīng)力的方向則與半徑垂直，并與扭矩的轉(zhuǎn)向一致切應(yīng)力

44、的方向則與半徑垂直，并與扭矩的轉(zhuǎn)向一致（圖（圖614b）。）。 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圖圖614 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 極慣性矩極慣性矩Ip是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量，常用單位為幾何量，常用單位為m4或或mm4。對于直徑為對于直徑為d的圓形截面：的圓形截面：324pdI（68） 對于內(nèi)、外徑分別為對于內(nèi)、外徑分別為d、D的圓環(huán)形截面：的圓環(huán)形截面：44p132DI Dd () （69） 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度由式由式(67)可知，在橫截面邊緣上各點，即可知，在橫截面邊緣上各

45、點，即=R=R處切應(yīng)力最大，其值為處切應(yīng)力最大，其值為（610） pppmax/WTRITITR 式中，式中，Wp=Ip/R稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，常用單位稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，常用單位為為m3或或mm3。圖圖614 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 對于圓形截面和圓環(huán)形截面，扭轉(zhuǎn)截面系對于圓形截面和圓環(huán)形截面，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為數(shù)分別為163pdW（611） 以及以及43p116DW Dd () （612） 應(yīng)該指出，式應(yīng)該指出，式67）、（）、（610只適只適用于圓軸，對小錐度圓桿也可近似使用。用于圓軸，對小錐度圓桿也可近似使用。 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度

46、632 圓軸的強度計算圓軸的強度計算對于等直圓軸，最大切應(yīng)力對于等直圓軸，最大切應(yīng)力max發(fā)生在最大發(fā)生在最大max 不超過材料的許用切不超過材料的許用切，即強度條件為，即強度條件為扭矩扭矩Tmax所在截面的邊緣上各點處。為了保證圓所在截面的邊緣上各點處。為了保證圓軸能安全工作，要求軸能安全工作，要求應(yīng)力應(yīng)力 pmaxWTmax= （613） 例例64 某機器傳動軸由空心鋼管制成，某機器傳動軸由空心鋼管制成，鋼管外徑鋼管外徑D=90 mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=85 mm，材料的許，材料的許用切應(yīng)力用切應(yīng)力=60 MPa，軸傳遞的功率，軸傳遞的功率P=16 kN，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=100 rmin。試校核該

47、軸的扭轉(zhuǎn)強度。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度。 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度解解 (1) 計算外力偶矩和扭矩計算外力偶矩和扭矩 軸橫截面上的扭矩軸橫截面上的扭矩T等于外力偶矩等于外力偶矩Me ，即，即nPmin/ r100kW16T=Me=9549=9549=9549=1527.8 Nm=1527.8 Nm(2) 校核軸的扭轉(zhuǎn)強度校核軸的扭轉(zhuǎn)強度 軸內(nèi)最大切應(yīng)力為軸內(nèi)最大切應(yīng)力為439343mm90mm851m109016mN8 .1527116DTmax= =52.2106 Pa=52.2 MPa=60 MPa 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 例例65 若上例

48、中的傳動軸采用實心軸，其他若上例中的傳動軸采用實心軸，其他條件保持不變，現(xiàn)要求它與原來的空心軸強度相同，條件保持不變，現(xiàn)要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直徑，并比較空心軸與實心軸的重量。試確定其直徑，并比較空心軸與實心軸的重量。解解 (1) 確定實心軸的直徑確定實心軸的直徑D1 因為要求與例因為要求與例64中的空心軸強度相同，故實心中的空心軸強度相同，故實心軸的最大切應(yīng)力也應(yīng)為軸的最大切應(yīng)力也應(yīng)為52.2 MPa，即，即313116mN8 .152716DDTmax=52.2106 Pa于是于是Pa102 .5216mN8 .1527631D=5.3010-2 m=53 mm 63 圓軸

49、扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度(2)比較空心軸與實心軸的重量比較空心軸與實心軸的重量 上例中空心軸的橫截面面積為上例中空心軸的橫截面面積為4m1085904262222dDA空空=6.8710-4 m2實心軸的橫截面面積為實心軸的橫截面面積為 A A實實= =4m1053426221D=22.110-4 m2 在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比，即重量之比等于橫截面面積之比，即2424實空m101 .22m1087. 6AA=0.31 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 由上可知，在載荷相同的情況下，

50、強度相等由上可知，在載荷相同的情況下，強度相等的空心軸的重量僅為實心軸的的空心軸的重量僅為實心軸的31，其在減輕重量、，其在減輕重量、節(jié)約材料上是非常明顯的。節(jié)約材料上是非常明顯的。 這可以用圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布這可以用圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律來解釋。對于實心圓截面規(guī)律來解釋。對于實心圓截面(圖圖614b)，當其，當其邊緣的切應(yīng)力達到最大值時，圓心附近的切應(yīng)力很邊緣的切應(yīng)力達到最大值時，圓心附近的切應(yīng)力很小，材料沒有被充分利用。若把圓心附近材料向邊小，材料沒有被充分利用。若把圓心附近材料向邊緣移置，使其成為空心圓截面緣移置，使其成為空心圓截面(圖圖615)，就會增，就會增大

51、大Ip和和Wp，從而提高軸的扭轉(zhuǎn)強度。，從而提高軸的扭轉(zhuǎn)強度。 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圖圖614 圖圖615 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度633 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 設(shè)矩形網(wǎng)格圖設(shè)矩形網(wǎng)格圖614a沿軸向長為沿軸向長為dx，沿圓周向長為沿圓周向長為dy，以它作為一個面，再沿半徑方，以它作為一個面，再沿半徑方向取長為向取長為dz，截出一個微小正六面體，稱為單元，截出一個微小正六面體，稱為單元體圖體圖616）。）。單元體的左右兩側(cè)面是橫截面，其上有切應(yīng)力單元體的左右兩側(cè)面是橫截面，其上有切應(yīng)力，且數(shù)值相等，但方向相反。為保持單元體的，且數(shù)

52、值相等，但方向相反。為保持單元體的。應(yīng)用平衡關(guān)系不難證明：。應(yīng)用平衡關(guān)系不難證明：平衡，上下面上也必然存在大小相等，但方向相反平衡，上下面上也必然存在大小相等，但方向相反的切應(yīng)力的切應(yīng)力= (614)63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度（a）圖圖614圖圖616（b） 式式6-14闡明，在單元體相互垂直的兩個闡明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必然成平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，方向則共同指向或背離該對出現(xiàn)，且大小相等，方向則共同指向或背離該兩面的交線。這就是切應(yīng)力互等

53、定理。兩面的交線。這就是切應(yīng)力互等定理。 圖圖616所示單元體的兩對表面上只有切應(yīng)力，所示單元體的兩對表面上只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力，另一對表面上沒有任何應(yīng)力，這種沒有正應(yīng)力，另一對表面上沒有任何應(yīng)力，這種應(yīng)力情況稱為純剪切狀態(tài)。應(yīng)力情況稱為純剪切狀態(tài)。 應(yīng)用切應(yīng)力互等定理，可得到圓軸扭轉(zhuǎn)時與應(yīng)用切應(yīng)力互等定理，可得到圓軸扭轉(zhuǎn)時與橫截面垂直的徑向截面上的切應(yīng)力分布情況橫截面垂直的徑向截面上的切應(yīng)力分布情況(圖圖617)。 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度 圖圖616圖圖617 63 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度641

54、 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力 在一般情況下，梁的橫截面上作用有剪力在一般情況下，梁的橫截面上作用有剪力與彎矩。剪力與彎矩是橫截面上分布內(nèi)力的合成與彎矩。剪力與彎矩是橫截面上分布內(nèi)力的合成結(jié)果，在橫截面上只有切向微內(nèi)力結(jié)果，在橫截面上只有切向微內(nèi)力dA才能合成才能合成dA才能合成才能合成為剪力為剪力FSFS。；只有法向微內(nèi)力。；只有法向微內(nèi)力為彎矩為彎矩M(M(圖圖6 618)18)。因此，梁橫截面上一般存在著切應(yīng)力因此，梁橫截面上一般存在著切應(yīng)力 和正應(yīng)力和正應(yīng)力，它們分別與剪力，它們分別與剪力FS和彎矩和彎矩M有關(guān)。有關(guān)。 圖圖618 64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度

55、1. 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 若梁在彎曲時，橫截面上只有彎矩而無剪力，若梁在彎曲時，橫截面上只有彎矩而無剪力，這種情況稱為純彎曲。這種情況稱為純彎曲。 取一具有縱向?qū)ΨQ面的梁，例如矩形截面梁，取一具有縱向?qū)ΨQ面的梁，例如矩形截面梁，在其側(cè)面畫兩條相鄰的橫向線在其側(cè)面畫兩條相鄰的橫向線mm和和nn(代表兩個代表兩個橫截面橫截面)，再在兩橫向線間靠近梁頂面和底面處畫，再在兩橫向線間靠近梁頂面和底面處畫兩條縱向線兩條縱向線aa和和bb(代表兩條縱向纖維代表兩條縱向纖維)，如圖，如圖619a所示。在梁的兩端施加外力偶所示。在梁的兩端施加外力偶Me，使梁，使梁發(fā)生純彎曲。此

56、時可觀察到下列現(xiàn)象：發(fā)生純彎曲。此時可觀察到下列現(xiàn)象：mm和和nn仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度；仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度；aa和和bb變?yōu)榛【€，且變?yōu)榛【€，且aa縮短，縮短，bb伸長；伸長；mm和和nn分別與分別與aa和和bb仍保持正交仍保持正交(圖圖619b)。64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度 由上可作如下假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，由上可作如下假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍為平面，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。變形后仍為平面，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。 圖圖619 64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度 根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時，相鄰兩橫截面就根據(jù)平面

57、假設(shè)，梁彎曲時，相鄰兩橫截面就象剛性平面一樣，繞各自截面內(nèi)某一軸相對轉(zhuǎn)動象剛性平面一樣，繞各自截面內(nèi)某一軸相對轉(zhuǎn)動了一個角度。了一個角度。 若設(shè)想梁由無數(shù)縱向纖維所組成，則梁變形后，若設(shè)想梁由無數(shù)縱向纖維所組成，則梁變形后，靠近頂面的纖維縮短，靠近底面的纖維伸長。由靠近頂面的纖維縮短，靠近底面的纖維伸長。由于變形是連續(xù)的，因而中間必定有一層纖維既不于變形是連續(xù)的，因而中間必定有一層纖維既不伸長也不縮短，這一層稱為中性層。伸長也不縮短，這一層稱為中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性軸。梁彎曲時中性層與橫截面的交線稱為中性軸。梁彎曲時橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動。可以證明，中性軸通過橫橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動。

58、可以證明，中性軸通過橫截面的形心并垂直于橫截面的豎向?qū)ΨQ軸截面的形心并垂直于橫截面的豎向?qū)ΨQ軸（圖（圖620）。）。64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度圖圖620 64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度可以證明，梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式為可以證明，梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式為zIMy(615) 式中：式中：M為橫截面上的彎矩；為橫截面上的彎矩；y為橫截面上待求為橫截面上待求應(yīng)力點至中性軸的距離；應(yīng)力點至中性軸的距離；Iz為橫截面對中性軸的慣為橫截面對中性軸的慣性矩，它是只與截面形狀尺寸有關(guān)的幾何量，常性矩，它是只與截面形狀尺寸有關(guān)的幾何量，常用單位為用單位為m4或或mm4。

59、 在使用式在使用式(615)計算正應(yīng)力時，通常以計算正應(yīng)力時，通常以M、y的的絕對值代入，求得絕對值代入，求得 的大小，再根據(jù)彎曲變形判斷的大小，再根據(jù)彎曲變形判斷應(yīng)力的正拉或負壓）。即以中性層為界，應(yīng)力的正拉或負壓）。即以中性層為界，梁的凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，凹入邊的應(yīng)力為梁的凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力。壓應(yīng)力。 64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度 由式由式(615)可知，梁橫截面上某點處的正應(yīng)可知，梁橫截面上某點處的正應(yīng)力力與該點到中性軸的距離與該點到中性軸的距離y成正比，當成正比，當y=0時，時， =0，即中性軸上各點處的正應(yīng)力為零。中，即中性軸上各點處的正應(yīng)

60、力為零。中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓。離中性軸最性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓。離中性軸最遠的上、下邊緣遠的上、下邊緣y=ymax處正應(yīng)力最大，一邊為處正應(yīng)力最大，一邊為最大拉應(yīng)力最大拉應(yīng)力tmax，另一邊為最大壓應(yīng)力，另一邊為最大壓應(yīng)力cmax圖圖621）。最大應(yīng)力值為）。最大應(yīng)力值為 zIMymaxzWMmax= (616) 式中，式中，Wz=Izymax稱為彎曲截面系數(shù)，稱為彎曲截面系數(shù)，它只與截面形狀尺寸有關(guān)，是衡量截面抗彎能力它只與截面形狀尺寸有關(guān)，是衡量截面抗彎能力的一個幾何量，常用單位為的一個幾何量，常用單位為m3或或mm3。64 梁彎曲時的應(yīng)力與強度梁彎曲時的應(yīng)力與強度圖圖