高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第一章 習(xí)題課ppt課件

1、 一、主一、主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容二、典二、典 型型 例例 題題習(xí)習(xí) 題題 課課2/22一極限的概念一極限的概念二延續(xù)的概念二延續(xù)的概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容3/22左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準(zhǔn)那么存在的準(zhǔn)那么無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)獨(dú)一性獨(dú)一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(li

2、mxf4/22無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大5/22定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.定

3、理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)6/22定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則

4、為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 23 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)7/224 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.延續(xù)函數(shù)代入法求極限延續(xù)函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.f.利用無窮小交換求極限；利用無窮小交換求極限；g.利用兩個(gè)重要極限求極限利用兩個(gè)重要極限求極限;h.利用夾逼準(zhǔn)那么求極限利用夾逼

5、準(zhǔn)那么求極限.8/22左右延續(xù)左右延續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上延續(xù)上延續(xù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性延續(xù)點(diǎn)定義延續(xù)點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延續(xù)的延續(xù)的充要條件充要條件延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性 振蕩延續(xù)點(diǎn)振蕩延續(xù)點(diǎn) 無窮延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn) 可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類9/22二、典型例題二、典型例題例例1 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214x

6、xx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即10/22的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閯t則的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)槿羧?(),1,0()(xefxf例例2 2解解 )1,0( fD10 xe)0,( x故故)0,(11/22例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nx

7、xn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)12/22例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf )()(1limxgxf)().()(1)(1 limxgxfxfxf 存存在在若若,)().(lim(Axgxf )().(lim)(1)(1limxgxfxfxf .Ae 13/22310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2

8、0 21.21e 原原式式31sin1sintansintansin10sin1sintan1limxxxxxxxxxxx ）（14/22例例5 5.)11(lim2nnnn 求求解解 nnnn)11(lim2122lim nnn1lim12222)11(lim nnnnnnnn1e .e nnnn122)11( 15/22例例6 6解解處處連連續(xù)續(xù)，在在已已知知0,020)1()(1 xxxaxxfx.的值的值求求a)(lim0 xfx xxax10)1(lim aaxxax 10)1(limae 2)0( f又又由右連續(xù)定義知由右連續(xù)定義知2 ae.2ln a16/22例例7 7).()2

9、1(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 17/22則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上

10、綜上,1 , 021, 0 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()21(成成立立使使 ff 18/22例例8 8)0, 0, 0.()3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解”型”型“ 1xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 原原式式 xcbaxxxx33lim0 xcbaxxxx3111lim0 )1lim1lim1lim(31000 xcxbxaxxxxxx )lnln(ln31cba 3ln abc 3lnabce 原原式式3abc 19/22例例9 9.)(sinlimtan2xxx 求求解解”型”型“ 1.)1sin1(lim)1(sintan1sin12 xx

11、xxx）（原式原式 )1(sintanlim2 xxx )1(coscotlim0 ttt)2(sincoslim20tttt 0 0e 原式原式.1 tx 2 令令20/22.,432lim.23的的值值求求若若kxkxxx 分分 析析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k21/22. .的的值值、求求若若推推廣廣：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 39)(li

12、m23又又039 a故故.6 a3lim23 xaxxbx36lim23 xxxx3)2)(3(lim3 xxxx)2(lim3 xx5 22/22.,011lim.2的值的值、求求若若babaxxxx 分分 析析01)1()()1(lim11lim22 xbxbaxabaxxxxx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng),001 baa 11ba23/22.1的值、求若推廣：babaxxxx,1lim2分 析bxxaxaaxxxxx 11)1()1(lim11lim22當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng),101 baa 21ba24/22測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題BD25/22BCC26/22DDB27/22二二、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的定定

13、義義域域：;arctan)12sin(1xxy 、2、12)9lg()(2 xxx DD28/22五五、 求求極極限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；29/225 5、當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx . .六六、 設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù) 1, 1)1(1,sin)(xxaxaxxf試試確確定定a的的值值使使)(xf在在1 x連連續(xù)續(xù) . .七七、 討討論論函函數(shù)數(shù)xxxxf2sin11arctan)( 的的連連

14、續(xù)續(xù)性性，并并判判斷斷其其間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型 . .30/22八八、 證證明明奇奇次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根 . .31/22一、一、1 1、B B； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、C C； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、C C； 8 8、B B； 9 9、D D； 10 10、D D；二、二、1 1、);,( 2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(, 0, 1, 22 xxxgcba. .四、四、 1, )1(0, 01, 1)(1xxxxxxf. .五、五、1 1、2 2

15、； 2 2、41； 3 3、2e； 4 4、1 1； 5 5、xxsin； 6 6、22. .檢驗(yàn)題答案檢驗(yàn)題答案32/22六六、 ka22 ), 2 , 1 , 0( k七七、0 x可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), , 1 x跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), , ), 2, 1(2 nnx無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), , x為為其其它它實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí))(xf連連續(xù)續(xù). .33/22. .的的值值求求若若例例kxkxxx,432lim.123 分 析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k34/22. .的的值值、求求若若推推廣廣：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 3 39 9)(lim23又又0 a3 39 9故故.6 a3lim2