3-2向量組的線性關系ppt課件

1、第二節(jié)二、線性相關與線性無關的概念二、線性相關與線性無關的概念向量間的 線性關系三、向量組線性相關性的判別三、向量組線性相關性的判別一、線性組合與線性表示一、線性組合與線性表示 第三章 1一、線性組合與線性表示一、線性組合與線性表示12,mk kk為組合系數(shù). 稱 設有設有n維向量組維向量組.,21m如果存在一組數(shù)12,mk kk則稱1122mmkkk是向量組的線性組合;,21m定義定義1 1m,2線性表示。線性表示。,1稱可由1122mmkkk若向量可以由向量組12,m 的線性即存在一組數(shù)12,mk kk使得組合來表示，2,1211,1322觀察三個向量之間的關系， 有2132,3143設由

2、三維向量我們稱312是和的線性組合。組成的向量組，也稱312可由和線性表示。線性表示。例例1.1.311,0 21,1 32觀察三個向量之間的關系， 有2125152210 ,0i 觀察四個向量之間的關系， 有kji32 例例. .32101 ,0j 00 ,1k 例例. .4Tnaaa,21任一n 維向量都可由n維單位向量組,001ne 1100e ,201 , 0e ,+線性表示，2a2e即1a1e+nanenaaa21na00001a002a1100a 201 0a 001na 510 ,0i 01 ,0j 00 .1k 而三維基本單位向量中任何一個向量， 都不能由其他兩個向量線性表示。

3、n維基本單位向量,0011e,0102e.100ne,它們之間彼此是線性無關(相互獨立)的。中任何一個向量， 也不能由其他向量線性表示。6設Tnbbb,21Tniiiiaaa,21mi, 2 , 1 mmxxx2211即12nbbb=122222naaxa112111naaxa+12mmmnmaaxa+nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （1）7Axbnmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 m211122mmxxxb)(21m12mxxxmmxxx2211Axb1

4、11212122212nnmmmnaaaaaaaaa12mxxx12nbbb8定理定理1 1 ,21m設是為 n維列向量組，可由mA,21m,21線性表示( )R AR AAx有解其中因為mO00021中每個向量都可由向量組本身中每個向量都可由向量組本身m,21(2)(2)向量組向量組miiii00100111線性表示，線性表示，mi, 2 , 1(1)(1)零向量可由任一組向量線性表示。零向量可由任一組向量線性表示。9例例2.知11021 21201 321502514321,問是否可由線性表示？如能線性表示解解: :123,A 40111-50251-202211 321332211xxx

5、設有數(shù)就寫出表達式.3,21,xxx使10123 112202-15205-11104A123 10020102001-10000 3ARAR有唯一解122321xxx3212211練習練習.知110122342531409 5441321,問是否可由線性表示？ 如能線性表示解解: :123,A 19524-02-144405131- 321332211xxx設有數(shù)就寫出表達式.123,x , xx ,使1214132,rrrr242311,rrrr1,3121rrr19524-02-144405131- 321同解方程組為1223231xxxx令kx 3122xk, 得kx12k 為任一常數(shù)

6、.321122kkk11111101110111051310000000011105131000000001110220113例例3. 判斷判斷11034是否為向量組11215, 22111, 的線性組合？解解: : 設設1122xx, 對矩陣211115011312421124011001000 123R, 122R, 線性表示。，不可由2114假設假設11134線性表示。，由則21211115111312421102011000000221R221R21215,1211,1322觀察三個向量之間的關系， 有2132,3143設由三維向量又可以寫成1232組成的向量組，引例引例16二、線性相

7、關與線性無關的概念二、線性相關與線性無關的概念如果存在一組不全為0的數(shù)設12,m 為m 個n 維向量組，mxxx,21，使mmxxx2211 成立，m,21則稱向量組 線性相關。線性相關。否則稱m,21mxxx,21則對任意不全為0的數(shù)mmxxx2211，都有m,21線性無關，021mxxx即當且僅當時，式才成立 。線性無線性無。關關而線性相關時，除了組合系數(shù)全等于0使等式 成立外還能找到不全為0的數(shù)使等式。 成立假設定義定義1 117根據(jù)向量的線性運算，只能得：30030 101,20 210,10 321000例如例如那么123, 線性無關。18112 ,0 212 ,3 324 .0 1

8、2320( 1) 線性相關。321,例例4. 4. 知知即1232,0,1.xxx 判別123, 是否線性相關。解解: : 因為因為當向量組只含一個向量時，為線性無關向量組.當為線性相關向量組;當特別特別19當向量組含兩個非零向量時，設12,;Tna aa12,Tnb bb線性相關與對應分量成正比與即與的對應分量成比例.證明證明: :21xkx 線性相關，則存在不全為零的數(shù)12xlx 或與iikba iilab 或例例5.5.12,x x使得12xx假設10,x 20,x 20112 ,0 2123 例如例如21,對應分量不成比例，21,線性無關。125 ,6 26151821,對應分量成比例

9、，21,線性相關。幾何上說向量21,共線。21例例6. 求證含有零向量的向量組必線性相關,則此向量組必定線性相關。證明證明: :設向量組mk,21中，.k取數(shù), 01121mkkxxxxx. 0kx1122kkmmxxxx必有22mr,21r,21線性相關線性相關.即如果部分組線性相關， 則整體組也線性相關。定理定理2.證明證明: :r,21線性相關因為則存在一組不全為0的數(shù)12,rx xx使rrxxx2211成立，因此有1122100rrrmxxx其中0 , 0 ,21rxxx不全為零。mr,21線性相關。部分相關，整體相關！部分相關，整體相關！2312,r 12,rm 線性無關線性無關.即

10、：如果整體組線性無關， 則部分組也線性無關。定理定理3.利用定理2，用反證法。定理2 和定理3說明了全體向量組和部分向量組之間的關系。整體無關，部分無關！整體無關，部分無關！24mi, 2 , 1121,iiiririaaaa12,iiiriaaami, 2 , 1m,21假設線性無關，m,21那么線性無關。即：原來無關，延長無關！即：原來無關，延長無關！ 原來相關，縮短相關！原來相關，縮短相關！假設線性相關，m ,21那么m,21線性相關。知25證明：證明：假設m,21線性相關，12,mx xx則存在一組不全為00000, 1212, 12221221 , 1121111mrrmmmmrrr

11、raaaaxaaaaxaaaax的數(shù)使得00021222122121111rmmmmrraaaxaaaxaaax那么因而m,21必線性相關。261、用數(shù)字表示的向量組的線性相關性的判別、用數(shù)字表示的向量組的線性相關性的判別知11021 21201 3215042514解解: : 設有數(shù),43,21xxxx使得例例7. 判別下列向量組的線性相關性判別下列向量組的線性相關性11223344xxxx三、三、 向量組線性相關性的判別向量組線性相關性的判別下面分別用數(shù)字表示的具體向量組的線性相關性和對字母表示的抽象向量組的線性相關性進行判別。27即11021x 21201x 32150 x4205010

12、40 x 0224321xxxx有052431xxx052432xxx04421xxxA40111-50251-202211 A00001-10020102001 得同解方程組0241 xx0242 xx043 xx28得同解方程組412xx422xx43xx 令kx 4（k 為任意實數(shù)）,21kx,22kx.3kx 11223344xxxx由得123422此向量組線性相關。A00001-10020102001 方程組有非零解，方程組有非零解，(A)34R( (未知數(shù)個數(shù)未知數(shù)個數(shù)n ),n ),此向量組線性相關。此向量組線性相關。29小結小結首先設有數(shù),21mxxx使得歸結為判別齊次線性方程

13、組是否有非零解的問題。1122( )mmxxx用數(shù)字表示的向量組的線性相關性的判別方法，第二步將112111naaa122222naaa12mmmnmaaa代入)(得齊次線性方程組。30方程組有非零解，有11 112 2121 122 221 12 2000m mm mnnnm ma xa xa xa xa xa xa xa xa xm,21則稱向量組 線性相關。線性相關。方程組只有零解，m,21則稱向量組 線性無關。線性無關。下面介紹利用矩陣的秩來判別向量組的線性相關性的方法。 這是判別向量組線性相關性的主要方法。第三步根據(jù)方程組的解來判別線性相關還是線性無關：31定理定理4AX有非零解m,

14、21線性相關線性相關 mA 秩秩（無關）（無關）（只有零解） mA （秩此定理是證明向量組線性相關性的基本方法。此定理是證明向量組線性相關性的基本方法。1122mmxxxAX推論推論2設n 維向量組中含有m個向量,當mn 時，此向量組必定線性相關。推論推論1當m=n時，即向量個數(shù)=分量個數(shù)時,線性相關線性相關（線性無關）（線性無關）向量組構成行列式的值為零，即. 0A).0(A32判斷32111，10222，85203，21714，的線性相關性.例例8.解解: :033015406240102128131502722110214A 321 330330154062401021011015403

15、120102128131502722110214A 321 33007700011010210000110001101021線性相關.,4321 34,R Am34例例9. 判斷下列向量組的線性相關性判斷下列向量組的線性相關性3021. 110152221433解解: :321,A203110452321123011001000線性無關.321, 3R Am,355243. 2130522210534321A52353102305435231240015600110000 34R Am,解解: :53334線性相關.1234, 362、對字母表示的抽象向量組的線性相關性的判別、對字母表示的抽象

16、向量組的線性相關性的判別利用相關性的定義和反證法判別。判別方法：1122121200mmmmkkkkkk假設，經(jīng)過恒等變形（同乘或者重組） ，則， ，線性無關。37方程組只有零解，1230,xxx試證向量組整理得即證明證明: :例例10.10.設向量組 線性無關，321,211,322,133321,也線性無關。332211xxx)()()(133322211xxx332221131)()()(xxxxxx 因為向量組 線性無關，所以必有321,031 xx021 xx032 xx從而321,101110011A 1101101012設存在數(shù)123,x x x使得線性無關。38例例11.11.

17、證明證明: :1312122331()22xxxxxx112,知證明321,線性無關，線性相關。11222333112()2xxx設存在數(shù)知只要321,線性無關，321,xxx1102110021A 22333112,2110210120210使得即321,xxx故向量組線性相關。不全為零，112233xxx131223102020 xxxxxx39定理定理5 5其中至少有一個向量是其余m1個向量的線性組合。m,21線性相關證明證明: :必要性：m,21線性相關，不全為0的數(shù)則存在一組mxxx,21使1122mmxxx不妨設0kx，那么mkmkkkkkkkkkxxxxxxxxxx-111122

18、11+=kmkk,1121即是的線性組合.40組合，即存在不全為0的數(shù)miixxxxx,1121使線性相關.m,21miixxxxx,(,1121+ -1)-不全為0，由于那么m,21中至少有一個向量是其余向量的線性組合，不妨設i是其余向量的線性mmiiiiixxxxx111 -1 -22111122-1-111(-1)iiiiimmxxxxx充分性：因充分性：因41向量可由m,21線性表示，這說明,21m線性相關；而向量組,2e,1ene中任一向量都不能被其他向量線性表示,其線性無關。一個向量組中有沒有某個向量可由其余向量線性表示， 這是向量組的一種屬性，稱為向量組的線性相關性。線性相關性。42線性無關，mA,:21,21m線性相關，那么可由A線性表示且表法唯一。證明證明: :因為,21m線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)xxxxm,211122mmxxxx使成立。由于線性無關，m,210 x必定，定理定理6mmxxxxxx2211故43121122mmmxxxkkkxxx故表示唯一。mmkkk2211又設是另一種表示形式。兩式相減xxkii知m,21線性無關，0 xxkii), 2 , 1(mi必有mmxxxxxx221144321,已知向量組線性相關，432,線性無關