全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案A卷word版本

1、2015 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（A卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一試說明：1.評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)冶填空題只設(shè)。分和香分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題該分為一個檔次，不要增加其他中間檔次一、填空題：本大題共8小題，每小題份分，滿分64分 1設(shè)為不相等的實數(shù)，若二次函數(shù)滿足，則 答案：4.解：由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性，可得，即，所以2若實數(shù)滿足，則的值為 答案：2. 解：由條件知，反復(fù)利用

2、此結(jié)論，并注意到，得3已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿足，則 答案：2015 + 1007i解：由己知得，對一切正整數(shù)n，有,于是4在矩形中，線段上的動點與延長線上的動點滿足條件，則的最小值為 答案解：不妨設(shè) A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) 設(shè) P 的坐標(biāo)為（, l) （其中），則由得Q的坐標(biāo)為（2，-)，故,因此，當(dāng)時，5在正方體中隨機取三條棱，它們兩兩異面的概率為 答案：解：設(shè)正方體為ABCD-EFGH，它共有12條棱，從中任意取出3條棱的方法共有=220種下面考慮使3條棱兩兩異面的取法數(shù)由于正方體的棱共確定3個互不平行的方向（即 AB、AD、AE的方向），具

3、有相同方向的4條棱兩兩共面，因此取出的3條棱必屬于3個不同的方向可先取定AB方向的棱，這有4種取法不妨設(shè)取的棱就是AB，則AD方向只能取棱EH或棱FG，共2種可能當(dāng)AD方向取棱是EH或FG時，AE方向取棱分別只能是CG或DH由上可知，3條棱兩兩異面的取法數(shù)為4×2=8，故所求概率為6在平面直角坐標(biāo)系中，點集所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為 答案：24解：設(shè)先考慮在第一象限中的部分，此時有,故這些點對應(yīng)于圖中的OCD及其內(nèi)部由對稱性知，對應(yīng)的區(qū)域是圖中以原點O 為中心的菱形ABCD及其內(nèi)部同理，設(shè)，則對應(yīng)的區(qū)域是圖中以O(shè)為中心的菱形EFGH及其內(nèi)部由點集的定義知，所對應(yīng)的平面區(qū)域是被、中恰好一

4、個所覆蓋的部分，因此本題所要求的即為圖中陰影區(qū)域的面積S由于直線CD的方程為，直線GH的方程為，故它們的交點P的坐標(biāo)為由對稱性知，7設(shè)為正實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則的取值范圍為 答案：解：知，而，故題目條件等價于：存在整數(shù)，使得 當(dāng)時，區(qū)間的長度不小于，故必存在滿足式當(dāng)時，注意到，故僅需考慮如下幾種情況： (i) ，此時且無解；(ii) ，此時;(iii) ，此時,得綜合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦滿足條件，可知8對四位數(shù)，若則稱為類數(shù)，若，則稱為類數(shù)，則類數(shù)總量與類數(shù)總量之差等于 答案：285解：分別記P類數(shù)、Q類數(shù)的全體為A、B，再將個位數(shù)為零的P類數(shù)全體記為，個位數(shù)不等于零的

5、尸類數(shù)全體記為對任一四位數(shù)，將其對應(yīng)到四位數(shù)，注意到，故 反之，每個唯一對應(yīng)于從中的元素這建立了與B之間的一一對應(yīng)，因此有下面計算對任一四位數(shù), 可取0, 1，9，對其中每個，由及知，和分別有種取法，從而因此，三、解答題9（本題滿分16分）若實數(shù)滿足，求的最小值解：將分別記為，則由條件知，故8分因此，結(jié)合平均值不等式可得，12分當(dāng)，即時，的最小值為（此時相應(yīng)的值為，符合要求） 由于，故的最小值16分10（本題滿分20分）設(shè)為四個有理數(shù)，使得：，求的值解：由條件可知，是6個互不相同的數(shù)，且其中沒有兩個為相反數(shù)，由此知，的絕對值互不相等，不妨設(shè)，則中最小的與次小的兩個數(shù)分別是及，最大與次大的兩個數(shù)

6、分別是及，從而必須有 10 分于是故，15分結(jié)合，只可能由此易知，或者檢驗知這兩組解均滿足問題的條件故 20 分11（本題滿分20分）設(shè)分別為橢圓的左右焦點，設(shè)不經(jīng)過焦點的直線與橢圓交于兩個不同的點，焦點到直線的距離為，如果的斜率依次成等差數(shù)列，求的取值范圍解：由條件知，點、的坐標(biāo)分別為（-1, 0）和（l, 0) 設(shè)直線l的方程為，點A、B的坐標(biāo)分別為和，則滿足方程，即由于點A、B不重合，且直線l的斜率存在，故是方程的兩個不同實根，因此有的判別式，即由直線的斜率依次成等差數(shù)列知，又，所以，化簡并整理得，假如，則直線l的方程為，即 z 經(jīng)過點（-1, 0)，不符合條件因此必有，故由方程及韋達(dá)定

7、理知，即 由、知，化簡得，這等價于反之，當(dāng)滿足及時，l必不經(jīng)過點（否則將導(dǎo)致，與矛盾）, 而此時滿足，故l與橢圓有兩個不同的交點A、B，同時也保證了、的斜率存在（否則中的某一個為- l，結(jié)合知，與方程有兩個不同的實根矛盾）10分點（l , 0）到直線l: 的距離為注意到，令，則，上式可改寫為考慮到函數(shù)在上上單調(diào)遞減，故由得，即20 分加試1（本題滿分40分）設(shè)是實數(shù)，證明：可以選取，使得 證法一：我們證明：，即對，取，對，取符合要求（這里，表示實數(shù)的整數(shù)部分） 10分事實上，的左邊為（柯西不等式）30分（利用）（利用）所以 得證，從而本題得證證法二：首先，由于問題中的對稱性，可設(shè)此外，若將中的

8、負(fù)數(shù)均改變符號，則問題中的不等式左邊的不減，而右邊的不變，并且這一手續(xù)不影響的選取，因此我們可進一步設(shè) 10分引理：設(shè)，則事實上，由于，故當(dāng)是偶數(shù)時，當(dāng)是奇數(shù)時，引理得證 30 分回到原題，由柯西不等式及上面引理可知，這就證明了結(jié)論 40分證法三：加強命題：設(shè)（）是實數(shù)，證明：可以選取，使得 .證明 不妨設(shè)，以下分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況證明.當(dāng)為奇數(shù)時，取，于是有 （應(yīng)用柯西不等式）. 另外，由于，易證有，因此，由式即得到，故為奇數(shù)時，原命題成立，而且由證明過程可知，當(dāng)且僅當(dāng)，且時取等號.當(dāng)為偶數(shù)時，取，于是有（應(yīng)用柯西不等式）.， 故為偶數(shù)時，原命題也成立，而且由證明過程可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等

9、號，若不全為零，則取不到等號. 綜上，聯(lián)賽加試題一的加強命題獲證.2（本題滿分40分）設(shè)其中是個互不相同的有限集合，滿足對任意的，均有，若，證明：存在，使得屬于中的至少個集合證明：不妨設(shè)設(shè)在中與不相交的集合有個，重新記為，設(shè)包含的集合有個，重新記為由已知條件，即，這樣我們得到一個映射 顯然是單映射，于是， 10 分設(shè)在中除去，后，在剩下的個集合中，設(shè)包含的集合有個（），由于剩下的個集合中每個集合與從的交非空，即包含某個，從而 20 分不妨設(shè)，則由上式知，即在剩下的個集合中，包含 的集合至少有個又由于，故都包含，因此包含的集合個數(shù)至少為（利用）（利用) 40 分3（本題滿分50分）如圖，內(nèi)接于圓

10、，為弧上一點，點在上，使得平分，過三點的圓與邊交于，連接交圓于，連接，延長交于，證明：證法一：設(shè)CF與圓Q交于點L（異于C)，連接PB、PC、 BL、KL注意此時C、D、L、K、E、P六點均在圓上，結(jié)合A、 B、P、C四點共圓，可知FEB=DEP=180°-DCP=ABP=FBP，因此FBEFPB，故FB2=FE·FP10分又由圓冪定理知，F(xiàn)E·FP= FL·FC，所以FB2=FL·FC從而FBLFCB因此, FLB=FBC=APC=KPC=FLK, 即B、K、L 三點共線 30 分再根據(jù)FBLFCB得， FCB=FBL=ABC, 即ABC=2

11、FCB證法二：設(shè)CF與圓交于點L（異于C)對圓內(nèi)接廣義六邊形DCLKPE應(yīng)用帕斯卡定理可知， DC與KP的交點A、CL與PE的交點F、LK與ED的交點了共線，因此B是AF與ED的交點，即B=B所以B、K、L共線10分根據(jù)A、B、P、C四點共圓及L、K、P、C四點共圓，得ABC=APC=FLK=FCB+LBC,又由BK平分ABC知，F(xiàn)BL=ABC，從而ABC=2FCB4（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)：對任意正整數(shù)都有不整除解：對正整數(shù)，設(shè)表示正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解中素因子2的方冪，則熟知， 這里表示正整數(shù)在二進制表示下的數(shù)碼之和由于不整除，等價于，即，進而由知，本題等價于求所有正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)成立 10分我們證明，所有符合條件的為一方面，由于對任意正整數(shù)成立，故符合條件 20 分另一方面，若不是2的方冪，設(shè)是大于1的奇數(shù)下面構(gòu)造一個正整數(shù)，使得