六年級(jí)奧數(shù)1比和比例教師版

1、第二講 比和比例教學(xué)目標(biāo)：1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；4、單位“1”變化的比例問題5、方程解比例應(yīng)用題知識(shí)點(diǎn)撥：比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容.通過本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：一、比和比例的性質(zhì)性質(zhì)1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì)2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性質(zhì)3：若a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性

2、質(zhì)4：若a: b=c：d，則a×d = b×c；(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積)正比例：如果a÷b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比二、主要比例轉(zhuǎn)化實(shí)例 ； ； ； ； (其中)； ； ； ， ； 的等于的，則是的，是的三、按比例分配與和差關(guān)系按比例分配例如：將個(gè)物體按照的比例分配給甲、乙兩個(gè)人，那么實(shí)際上甲、乙兩個(gè)人各自分配到的物體數(shù)量與的比分別為和，所以甲分配到個(gè)，乙分配到個(gè).已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個(gè)類別數(shù)量的問題例如：兩個(gè)類別、，元素的數(shù)量比為(這里)，數(shù)量差為，那么的元素?cái)?shù)量為，的元素?cái)?shù)量為

3、，所以解題的關(guān)鍵是求出與或的比值四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“l(fā)”。題中如果有幾個(gè)不同的單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，達(dá)到解決問題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：1. 題中有幾種數(shù)量相比較時(shí)，要選擇與各個(gè)已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“1”。2. 若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。3. 應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時(shí)要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更

4、好、更巧的解法。4. 題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5. 賦值解比例問題例題精講：模塊一、比例轉(zhuǎn)化【例 1】 已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求.【解析】 由甲等于乙、丙兩數(shù)和的，得到甲等于三個(gè)數(shù)和的，同樣的乙等于甲、丙兩數(shù)和的，同樣的丙等于甲、乙兩個(gè)數(shù)和的 ，所以【例 2】 已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？【解析】 甲的一半、乙的倍、丙的這三個(gè)數(shù)的比為，所以甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為即，化簡(jiǎn)為.【例 3】

5、如下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的求圓、圓、圓的面積之比【解析】 設(shè)與的共同部分的面積為，與的共同部分的面積為，則根據(jù)題意有，于是得到，這條式子可化簡(jiǎn)為，所以.最后得到.【例 4】 某俱樂部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比【解析】 以總?cè)藬?shù)為1，則甲組男會(huì)員人數(shù)為，女會(huì)員為，乙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；丙組男會(huì)員為，女會(huì)員為；所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比為【鞏固】 一項(xiàng)公路的修建工

6、程被平均分成兩份承包給甲、乙個(gè)工程隊(duì)建設(shè)，兩個(gè)工程隊(duì)建設(shè)了相同多的一段時(shí)間后，分別剩下、的任務(wù)沒有完成，已知兩個(gè)工程隊(duì)的工作效率(建設(shè)速度)之比，求這兩個(gè)工程隊(duì)原先承包的修建公路長(zhǎng)度之比.【解析】 (法一)甲工程隊(duì)以倍乙工程隊(duì)建設(shè)速度，僅完成了的承包任務(wù)，而乙工程隊(duì)完成了，所以甲工程隊(duì)承包任務(wù)的等于乙工程隊(duì)承包任務(wù)的，所以甲工程隊(duì)的承包的任務(wù)是乙工程隊(duì)承包任務(wù)的，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為(法二)兩個(gè)工程隊(duì)完成的工程任務(wù)(修建公路長(zhǎng)度)之比等于工作效率之比，等于，而他們分別完成了各自任務(wù)的和，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為【例 5】 某團(tuán)體有名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是，會(huì)員

7、分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為、，那么丙組有多少名男會(huì)員？【解析】 會(huì)員總?cè)藬?shù)人，男女比例為，則可知男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為人，乙、丙人數(shù)之和為人，可設(shè)丙組人數(shù)為人，則乙組人數(shù)為人，又已知甲組男、女會(huì)員比為，則甲組男、女會(huì)員人數(shù)分別為人、人，又已知乙、丙兩組男、女會(huì)員比例，則可得：，解得即丙組會(huì)員人數(shù)為人，又已知男、女比例，可得丙組男會(huì)員人數(shù)為人【例 6】 (2007年華杯賽總決賽)、三項(xiàng)工程的工作量之比為，由甲、乙、丙三隊(duì)分別承擔(dān)三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作

8、量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？【解析】 根據(jù)題意，如果把工程的工作量看作，則工程的工作量就是，工程的工作量就是 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的工作效率分別為、.經(jīng)過天，則： 將代入，得，將代入，得，將代入，得代入，得甲、乙、丙三隊(duì)的工作效率的連比是【鞏固】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)已知：甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等；甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為；甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的；甲校獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的；甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等

9、獎(jiǎng)人數(shù)的倍那么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？【解析】 由、可知甲、乙兩校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的比為，不妨設(shè)甲校有60人獲獎(jiǎng)，則乙校有50人獲獎(jiǎng)由知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有人；由知甲校獲二等獎(jiǎng)的有人；由知甲校獲一等獎(jiǎng)的有人，那么乙校獲一等獎(jiǎng)的也有12人，從而所求百分?jǐn)?shù)為【例 7】 某校畢業(yè)生共有9個(gè)班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè)班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男生總數(shù)多1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1一班男生

10、比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個(gè)班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)之和所以，男、女生人數(shù)之比是模塊二、按比例分配與和差關(guān)系（一）量倍對(duì)應(yīng)【例 8】 一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為，求一共有多少個(gè)蘋果？【解析】 一共有個(gè)蘋果.【鞏固】 小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為，三人一共藏書本，求

11、他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量.【解析】 根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的、，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為本，小志擁有的藏書數(shù)量為本，小剛擁有的藏書數(shù)量為本.【鞏固】 在抗洪救災(zāi)區(qū)活動(dòng)中，甲、乙、丙三人一共捐了80元已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：(元)，乙、丙所捐資的和為元所以，甲捐了(元)，乙捐了(元)，丙捐了(元)【鞏固】 有個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的與二班分到的相等，求兩個(gè)班各分到多少皮球？【解析】 根

12、據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比，所以一班分到皮球個(gè)，二班分到皮球個(gè)【例 9】 一班和二班的人數(shù)之比是，如果將一班的名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)榍笤瓉韮砂嗟娜藬?shù)【解析】 原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為，所以一班原來的人數(shù)為人，二班原來的人數(shù)為人.【例 10】 幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，那么大班有女生多少名？【解析】 由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法假設(shè)18名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù)，即男生應(yīng)有30人，實(shí)際上男生

13、有32人，相差2個(gè)人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)，以3個(gè)中班女生換3個(gè)大班女生，每換一組可增加1個(gè)男生，所以需要換2組；所以，大班女生有(名)【鞏固】 參加植樹的同學(xué)共有人，已知六年級(jí)與五年級(jí)人數(shù)的比是，六年級(jí)比四年級(jí)多人，三個(gè)年級(jí)參加植樹的各有多少人?【解析】 假設(shè)四年級(jí)和六年級(jí)人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學(xué)共有人，四、五、六三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比為，知道三個(gè)量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個(gè)年級(jí)參加植樹的人數(shù)六年級(jí)：人；五年級(jí)：人；四年級(jí)：人【鞏固】 圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用715元問圓珠筆的單價(jià)是每支多少元?【解析】 設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4，那么鉛筆的價(jià)格為

14、3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為20×4+21×3=143，則單位“1”的價(jià)格為71.5÷143=0.5元所以圓珠筆的單價(jià)是O.5×4=2(元)【例 11】 甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【解析】 兩只螞蟻在距點(diǎn)厘米的點(diǎn)相遇，說明乙比甲一共多走了(厘米)又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的倍，相同時(shí)間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2：16：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為(厘米)【例 12】 甲乙兩車分別從 A， B兩地出發(fā)，相向

15、而行出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度減少20，乙的速度增加20，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米問：A，B兩地相距多少千米？【解析】 甲、乙原來的速度比是54，相遇后的速度比是：5×（120）4×（120）44856相遇時(shí)，甲、乙分別走了全程的和。設(shè)全程x千米，剩下的部分甲行的長(zhǎng)度和乙行的長(zhǎng)度之比為5：6，其中相遇后甲行駛了全長(zhǎng)的4/9，所以乙行駛了全長(zhǎng)的，所以乙一共行了全長(zhǎng)，還剩1-，沒有走所以A、B全長(zhǎng)為450千米.【例 13】 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求

16、師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是，工作時(shí)間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅和徒弟一共加工了個(gè)零件【鞏固】 師徒二人共加工零件個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用分鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是，而工作時(shí)間相同，則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅比徒弟多加工零件個(gè)【例 14】 、三個(gè)水桶的總?cè)莘e是公升，如果、兩桶裝滿水，桶是空的；若將桶水的全部和桶水的，或?qū)⑼八娜亢屯八牡谷胪?，桶都恰好裝滿求、三個(gè)水桶容積各是多少公升？ 【解析】 根據(jù)題

17、意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水為桶水的所以、三個(gè)水桶的容積之比是又、三個(gè)水桶的總?cè)莘e是公升，所以桶的容積是公升，桶的容積是公升，桶的容積是公升【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校四五六年級(jí)共有615名學(xué)生，已知六年級(jí)學(xué)生的，等于五年級(jí)學(xué)生的，等于四年級(jí)學(xué)生的。這三個(gè)年級(jí)各有多少名學(xué)生學(xué)生？【解析】 將六年級(jí)學(xué)生的，等于五年級(jí)學(xué)生的，等于四年級(jí)學(xué)生的，看作一個(gè)單位，那么六年級(jí)學(xué)生人數(shù)等于2個(gè)單位，五年級(jí)學(xué)生等于2.5個(gè)單位，四年級(jí)學(xué)生等于學(xué)生，所以六年級(jí)、五年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比為，所以六年級(jí)學(xué)生人數(shù)為=180人，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)為人，

18、四年級(jí)學(xué)生人數(shù)為人【例 15】 一塊長(zhǎng)方形鐵板，寬是長(zhǎng)的從寬邊截去厘米，長(zhǎng)邊截去以后，得到一塊正方形鐵板問原來長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)是多少厘米?【解析】 如果只將長(zhǎng)邊截去，寬、長(zhǎng)之比為，所以寬邊的長(zhǎng)度為厘米，所以原來鐵板的長(zhǎng)為厘米【鞏固】 一個(gè)正方形的一邊減少，另一邊增加米，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長(zhǎng)是多少米?【解析】 要保證面積不變，一邊減少，即是原來的，另一邊要變成原來的，即增加，所以原正方形的邊長(zhǎng)為(米).【例 16】 一把小刀售價(jià)元如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)樾∶髟瓉碛卸嗌馘X？【解析

19、】 由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的，小明的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的，所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為，而小明買刀后小明、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為，所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為，所以小刀的售價(jià)等于小明原來錢數(shù)的，所以小明的錢數(shù)為元。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為，小明的錢數(shù)為（元）【鞏固】 甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為，后來甲又得到180元，乙又得到30元，這時(shí)甲、乙錢數(shù)之比為，求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？【解析】 兩人原有錢數(shù)之比為，如果甲得到180元，乙得到150元，那么兩人的錢數(shù)之比仍為，現(xiàn)在甲得到180元，乙只得到30元，相當(dāng)于少得到了120元，現(xiàn)在兩人錢數(shù)之比為，

20、可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加180元和150元之后，錢數(shù)之比為，然后乙的錢數(shù)減少120元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?，所?20元相當(dāng)于4份，1份為30元，后來兩人的錢數(shù)之和為元，所以原來兩人的總錢數(shù)之和為元【例 17】 一項(xiàng)機(jī)械加工作業(yè)，用4臺(tái)型機(jī)床，5天可以完成；用4臺(tái)型機(jī)床和2臺(tái)型機(jī)床3天可以完成；用3臺(tái)型機(jī)床和9臺(tái)型機(jī)床，2天可以完成，若3種機(jī)床各取一臺(tái)工作5天后，剩下、型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要_ 天可以完成作業(yè)【解析】 由于用4臺(tái)型機(jī)床5天可以完成；用4臺(tái)型機(jī)床和2臺(tái)型機(jī)床3天可以完成，所以2臺(tái)型機(jī)床3天完成的量等于4臺(tái)型機(jī)床2天完成的量，則、兩種機(jī)床每天完成的量的比為，即型機(jī)床每天完成的量

21、為3，型機(jī)床每天完成的量為4，該項(xiàng)作業(yè)總量為，那么型機(jī)床每天完成的量為，3種機(jī)床各取一臺(tái)工作5天后，剩下的工作量為，、型機(jī)床還需繼續(xù)工作天【例 18】 動(dòng)物園門票大人元，小孩元六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了，兒童增加了，共增加了人，但門票收入與前一天相同六一兒童節(jié)這天共有多少人入園？【解析】 前一天大人與小孩的人數(shù)比為，六一那天增加的大人與增加的小孩人數(shù)比為， 大人增加的人數(shù)為人，小孩增加的人數(shù)為人，大人的總數(shù)為人，小孩的總?cè)藬?shù)為人，總?cè)藬?shù)為人【例 19】 某水果批發(fā)市場(chǎng)存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是，第一天售出蘋果的，售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是；第二天售出蘋果

22、噸，桃子噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的，問原有蘋果和桃子各有多少噸？【解析】 法一：設(shè)原來蘋果有噸，則原來桃子有噸，得：，解得所以原有蘋果37噸，原有桃子(噸)法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是，把原來的蘋果的噸數(shù)看作1，則原來桃子的噸數(shù)為2，第一天后剩下的蘋果是，剩下的桃子是，所以此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比是現(xiàn)在再售出蘋果18噸，桃子12噸，所剩的蘋果與桃子的重量比是這就相當(dāng)于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是，先售出桃子12噸，蘋果噸，此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比還是，再售出噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?，所以這相當(dāng)于份，最后剩下的桃子有噸，那么第一天后剩下的桃子有噸，

23、原有桃子噸，原有蘋果噸（二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)【例 20】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和寬的比是，寬與高的比是表面積為，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.【解析】 由條件長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比，則長(zhǎng)方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為，這三個(gè)面的面積和等于長(zhǎng)方體表面積的二分之一，所以，長(zhǎng)方體的上面的面積為，前面的面積為，左面的面積為，而，所以即是長(zhǎng)、寬、高的乘積，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為【鞏固】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是，寬與高的比是已知這個(gè)長(zhǎng)方體的全部棱長(zhǎng)之和是厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【解析】 由條件寬與高的比為，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比為即，由于長(zhǎng)方體的所有棱中，長(zhǎng)、寬、高各有條，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為厘米

24、，寬為厘米，高為厘米，所以這個(gè)長(zhǎng)方形的體積為立方厘米.【例 21】 （2009年第七屆“希望杯”二試六年級(jí)）某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大型車元，中型車元，小型車元一天，通過該收費(fèi)站的大型車和中型車數(shù)量之比是，中型車與小型車之比是，小型車的通行費(fèi)總數(shù)比大型車多元（1）這天通過收費(fèi)站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（2）這天的收費(fèi)總數(shù)是多少元？【解析】 大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將中的與中的統(tǒng)一成，就可以得到大型車、中型車、小型車的連比由和，得到以輛大型車、輛中型車、輛小型車為一組因?yàn)槊拷M中收取小型車的通行費(fèi)比大型車多(元)，所以這天通過的車輛共有(組)所以

25、這天通過大型車有(輛)，中型車有(輛)，小型車有(輛)（2）這天收取的總費(fèi)用為：元【例 22】 枚壹分硬幣摞在一起與枚貳分硬幣摞在一起一樣高，枚壹分硬幣摞在一起與枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個(gè)圓柱體，并且三個(gè)圓柱體一樣高，共用了枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？【解析】 由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為，壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為，所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為，即，因此壹分硬幣的數(shù)量為枚，貳分硬幣的數(shù)量為枚，伍分硬幣的數(shù)量為枚，這些硬幣一共有分，即幣值為元【例 23】 某工地用種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，

26、運(yùn)送土方的路程之比為，三種車的輛數(shù)之比為工程開始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務(wù)那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】 由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為，速度之比為，所以它們運(yùn)送次所需的時(shí)間之比為，相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為：在前天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為由于三種卡車載重量之比為，所以三種卡車的總載重量之比為那么三種卡車在前天內(nèi)的工作量之比為：在后天，由于甲車全部投入使用，所以在后天里的工作量之比為所以在這天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：【例 24】 將一堆糖果全部分

27、給甲、乙、丙三個(gè)小朋友原計(jì)劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為實(shí)際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為，其中有一位小朋友比原計(jì)劃多得了塊糖果那么這位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他實(shí)際所得的糖果數(shù)為 塊【解析】 方法一：原計(jì)劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的，；實(shí)際甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的，只有丙占總數(shù)的比例是增加的，所以這位小朋友是丙.糖果總數(shù)為(塊)，丙實(shí)際所得的糖果數(shù)為(塊)方法二：化通比為： 甲 乙 丙 總數(shù)為 原計(jì)分配為 5 ： 4 : 3 12份 實(shí)際分配為 7 ： 6 ： 5 18份 化通比為 15 ： 12 ： 9 36份 14 ： 12 ： 10 36份

28、對(duì)比分析甲1514，乙1212，丙910，發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙所以15÷（109）×10150（塊）【鞏固】 今年兒子的年齡是父親年齡的，年后，兒子的年齡是父親年齡的今年兒子多少歲？【解析】 方法一：今年兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的，年后兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的，所以年相當(dāng)于父子年齡差的，年齡差為歲.今年兒子歲.方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的，所以兒子：父親1：4；年后，兒子的年齡是父親年齡的，所以兒子：父親5：11。因?yàn)樵谀挲g問題中年齡差不變所以列表分析為：兒子 父親 年齡差1 ： 4 35 ： 11 6 根據(jù)不變量化通比為 2 ： 8 6 5 ： 11 6 對(duì)比分

29、析為：15÷（52）×210（歲）【例 25】 一個(gè)周長(zhǎng)是厘米的大長(zhǎng)方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個(gè)小長(zhǎng)方形在圖中小長(zhǎng)方形面積的比是，而在圖中相應(yīng)的比例是，.又知長(zhǎng)方形的寬減去的寬所得到的差與的長(zhǎng)減去的長(zhǎng)所得到差之比為求大長(zhǎng)方形的面積（1） 【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以?設(shè)長(zhǎng)方形的寬為,長(zhǎng)為,得：得又，所以，所以長(zhǎng)方形面積【例 26】 北京中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)男女運(yùn)動(dòng)員比例為，組委會(huì)決定增加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，這樣男女運(yùn)動(dòng)員比例變?yōu)椋缓髞碛譀Q定增加男子象棋項(xiàng)目，男女比例變?yōu)?已知男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多人，則總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為多少？【解析】 將運(yùn)動(dòng)會(huì)最初的運(yùn)動(dòng)員人

30、數(shù)設(shè)為“”，那么男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為，女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為，而增加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)不變，仍然是，所以這時(shí)女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為，增加男子象棋項(xiàng)目，女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)保持不變，仍然是，所以男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)增加為女子藝術(shù)體操項(xiàng)目人數(shù)為，男子象棋項(xiàng)目的人數(shù)為，男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多，原來總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為人，男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員有人，女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員有人，所以現(xiàn)在的總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為人【鞏固】 袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)椋辉俜湃肴舾芍话浊蚝?，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)橐阎湃氲募t球比白球少只那么原來袋子里共有 只球【解析】 根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把改寫成，改寫

31、成第二次操作相對(duì)于第一次操作紅球數(shù)量不變，把改寫成，這時(shí)我們可以看出，經(jīng)過兩次操作后，紅球共增加了份，白球增加了份原來紅球有個(gè)，白球有個(gè)兩種球共個(gè)【例 27】 有若干個(gè)突擊隊(duì)參加某工地會(huì)戰(zhàn)，已知每個(gè)突擊隊(duì)人數(shù)相同，而且每個(gè)隊(duì)的女隊(duì)員的人數(shù)是該隊(duì)的男隊(duì)員的，以后上級(jí)從第一突擊隊(duì)調(diào)走了該隊(duì)的一半隊(duì)員，而且全是男隊(duì)員，于是工地上的全體女隊(duì)員的人數(shù)是剩下的全體男隊(duì)員的，問開始共有多少支突擊隊(duì)參加會(huì)戰(zhàn)？【解析】 由于每個(gè)隊(duì)的女隊(duì)員的人數(shù)是該隊(duì)的男隊(duì)員的，所以原來全體女隊(duì)員的人數(shù)是全體男隊(duì)員的，即原來女隊(duì)員的人數(shù)占所有隊(duì)員人數(shù)的，調(diào)走第一突擊隊(duì)的一半隊(duì)員后，女隊(duì)員的人數(shù)占剩下的隊(duì)員總數(shù)的，由于調(diào)走的全是男

32、隊(duì)員，女隊(duì)員的人數(shù)沒有變化，所以調(diào)走后的隊(duì)員總數(shù)與調(diào)走前的隊(duì)員總數(shù)之比為，即調(diào)走的隊(duì)員人數(shù)占原來隊(duì)員總?cè)藬?shù)的，而調(diào)走的隊(duì)員為第一突擊隊(duì)的一半，且每個(gè)突擊隊(duì)人數(shù)相同，故開始共有4支突擊隊(duì)參加會(huì)戰(zhàn)（三）利用等量關(guān)系列方程解比例【例 28】 某學(xué)校入學(xué)考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是 結(jié)果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是 問報(bào)考的共有多少人？【解析】 (法1)錄取的學(xué)生中男生有人，女生有(人)，先將未錄取的人數(shù)之比變成，又有(人)，所以每份人數(shù)是(人)，那么未錄取的男生有(人)，未錄取的女生有(人)所以報(bào)考總?cè)藬?shù)是 (人)(法2)設(shè)未被錄取的男生人數(shù)為人，那

33、么未被錄取的女生人數(shù)為人，由于錄取的學(xué)生中男生有人，女生有(人)，則，解得所以未被錄取的男生有12人，女生有16人報(bào)考總?cè)藬?shù)是 (人)【例 29】 有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重千克，乙塊重千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為_【解析】 設(shè)切下的部分重量為千克，則甲切下的千克與乙剩下的千克混合由于得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應(yīng)與原來的兩塊新合金的含銅率相同，而這一大塊合金是由千克甲塊合金

34、與千克乙塊合金混合而成的，所以千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率與千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含銅率不同，所以這兩種混合中甲、乙兩種合金的重量比相同，即，所以：，解得課后練習(xí)：練習(xí)1. 右圖是一個(gè)園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的是草地；圓的是竹林；竹林比草地多占地450平方米 問：水池占多少平方米? 【解析】 正方形的是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是3份；圓的是竹林，水池占1份，竹林的面積是6份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3份。3份的面積是450平方米，可見1份面積是450÷3=150（平方米），即水池面積是150平方米。練習(xí)2. 乙兩個(gè)班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的等于乙班種的棵數(shù)的，