八年級(jí)幾何難題專題講座十四講

1、目 錄本內(nèi)容適合八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽拔高使用。注重中考與競(jìng)賽的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)落實(shí)在中考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中可以根據(jù)學(xué)生的具體狀況和層次，由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復(fù)習(xí)可以提前上）。注：有(*) 標(biāo)注的為選做內(nèi)容。本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：第一講如何做幾何證明題第二講平行四邊形（一）第三講平行四邊形（二）第四講梯形第五講中位線及其應(yīng)用第六講一元二次方程的解法第七講一元二次方程的判別式第八

2、講 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系第九講 一元二次方程的應(yīng)用第十講專題復(fù)習(xí)一：因式分解、二次根式、分式第十一講專題復(fù)習(xí)二：代數(shù)式的恒等變形第十二講專題復(fù)習(xí)三：相似三角形第十三講結(jié)業(yè)考試（未裝訂在內(nèi)，另發(fā)）第十四講 試卷講評(píng)第一講：如何做幾何證明題【知識(shí)梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步

3、向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！纠}精講】【專題一】證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角

4、相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到?！纠?】已知：如圖所示，中，。 求證：DEDF【鞏固】如圖所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED【例2】已知：如圖所示，ABCD，ADBC，AECF。求證：EF【專題二】證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成

5、比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證?！纠?】如圖所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC【例4】已知：如圖所示，ABAC，。 求證：FDED【專題三】證明線段和的問(wèn)題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）【例5】如圖，四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B60°，ABBC，且DEC60°；求證：BCADAE【鞏固】已知：如圖，在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O

6、。 求證：ACAECD（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）【例6】 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF【專題四】證明幾何不等式：【例7】已知：如圖所示，在中，AD平分BAC，。 求證：【拓展】中，于D，求證：第二講：平行四邊形（一）【知識(shí)梳理】1、平行四邊形：平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：（1）平行四邊形對(duì)角相等；（2）平行四邊形對(duì)邊相等；（3）平行四邊形對(duì)角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：（1）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

7、（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（4）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、特殊平行四邊形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對(duì)角線相等。（4）矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（5）矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 二、菱形（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四條邊都相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.（4）菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以2（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（6）菱形判定定理2：對(duì)

8、角線互相垂直的平行四邊形是菱形。三、正方形（1）有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，四條邊相等 對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）判定：一組鄰邊相等的矩形是正方形 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：平行四邊形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： 在下列特征中，（1） 四條邊都相等（2） 對(duì)角線互相平分（3） 對(duì)角線相等（4） 對(duì)角線互相垂直（5） 四個(gè)角都是直角（6） 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（7） 對(duì)邊相等且平行（8） 鄰角互補(bǔ)【鞏固】1、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A.四個(gè)角相

9、等的四邊形是矩形 B.四條邊相等的四邊形是正方形 C.對(duì)角線相等的菱形是正方形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面結(jié)論中，正確的是（ ）A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、上，且，下列四種說(shuō)法： 四邊形是平行四邊形；如果，那么四邊形是矩形；如果平分，那么四邊形是菱形；如果且，那么四邊形是菱形.其中，正確的有 .（只

10、填寫序號(hào)）【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).求證：四邊形BFDE是平行四邊形.AEDCFB【鞏固】已知，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AFCE，DFBE，DFBE四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【例3】如圖，梯形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于點(diǎn)E求證：四邊形AECD是菱形【例4】如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊ADE（1）求CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形【鞏固】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD（1）試判斷四邊

11、形OCED的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AB6，BC8，求四邊形OCED的面積【例5】如圖所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形； （2）探究下列問(wèn)題：（只填滿足的條件，不需證明）當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在. 第三講：平行四邊形（二）【知識(shí)梳理】由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性

12、質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具?！纠}精講】【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為，且滿足，則這個(gè)四邊形是（ ）A.平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形， 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F. (1) 求證：DEBF EF(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由 (3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF

13、之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）【鞏固】如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，.（1）求的值；（2）延長(zhǎng)交正方形外角平分線（如圖132），試判斷的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1ADCBE圖2BCEDAFPF【例3】如圖，在矩形ABCD中，已知AD12，AB5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PEBD于E，PFAC于F，求PEPF的值?！纠?】如圖，在ABC中，BAC90°，ADBC，BE、AF分別是ABC、DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GFAC?！纠?】如圖所示，RtABC中，B

14、AC90°，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F。求證：AECF?！眷柟獭咳鐖D，在平行四邊形ABCD中，B，D的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、H。求證：AHCG。第四講：梯 形【知識(shí)梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。通過(guò)作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問(wèn)題的基本思路，常用的輔助線的作法是：1、 平移腰：過(guò)一頂點(diǎn)作一腰的平行線

15、；2、 平移對(duì)角線：過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；3、 過(guò)底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題精講】中位線概念： (1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 (2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半?！纠}精講】【例1】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB8，DC6，B45°，BC10，求梯形上底AD的長(zhǎng). 【例2】如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，

16、AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 【例3】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD，BD6cm. 求梯形ABCD的面積. 【例4】如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 【鞏固】1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng). 2、如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長(zhǎng). 3、如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的長(zhǎng). 【例5】已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD

17、的中點(diǎn)，且AEBE.求證：ADBCAB【鞏固】如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中點(diǎn)，且ADBCAB求證：DEAE?！纠?】如圖，在梯形ABCD 中，ADBC ， E、F 分別是AD 、BC 的中點(diǎn)，若BC90°.AD 7 ，BC 15 ，求EF 第五講：中位線及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定

18、理，常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮?！纠}精講】【例1】已知ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，AECD于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明BD=2EF?！眷柟獭恳阎贏BC中，B=2C，AD

19、BC于D，M為BC的中點(diǎn).求證：【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)則四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是_形當(dāng)AC和BD_時(shí)，四邊形EFGH是正方形?！眷柟獭咳鐖D，等腰梯形ABCD中，ADBC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！纠?】梯形ABCD中，ABCD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證：MN（ABCD）【鞏固】如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是對(duì)角線B

20、D、AC的中點(diǎn)。求證：EF【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF，問(wèn)：四邊形ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由?！纠?】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA、CD的延長(zhǎng)線交HG的延長(zhǎng)線于E、F。求證：BEH=CFH.【例5】如圖，ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB14，BC16，AC26，P為A的平分線AD上一點(diǎn)，且BPAD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)?！眷柟獭恳阎篈BC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。求證：PMPN第六講：一元二次方程的解法【知識(shí)梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解

21、一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA(chǔ)題）： （1）x2 2x=0 （2） x2 9=0 （3）(13x)21；（4）（t2）（t1）0 （5）x28x2（6）（7） （8） （9） （10） （11） （12）（13）x（x6）2 （14）（2x1）23（2x1） （15）（16） （17） （18）（19） （20）； 【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程（

22、提高題）：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）?！眷柟獭坑眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于的方程：（1）； （2）；（3）。 （4）?！就卣埂拷夥匠蹋?； 【例3】解方程：?！眷柟獭拷夥匠蹋海?）； （2）?！纠?】解關(guān)于的方程：?！眷柟獭拷怅P(guān)于的方程：?！纠?】已知方程與有公共根。（1）求的值；（2）求二方程的所有公共根和所有相異根?！眷柟獭渴欠翊嬖谀硞€(gè)實(shí)數(shù)，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。第七講：一元二次方程的判別式【知識(shí)梳理】一、一元二次方程根的情況：令。1、若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；2、若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；

23、3、若，則方程無(wú)實(shí)根（不代表沒(méi)有解）。二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過(guò)判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題?！纠}精講】【例1】已知方程；則當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【鞏固】1、已知關(guān)于的方程。求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；2、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍?！就卣埂筷P(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)的值?！纠?】已知關(guān)于的

24、方程。（1）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)?！眷柟獭?、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩根，則_。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為，已知，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)?！就卣埂恳阎獙?duì)于正數(shù)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：以長(zhǎng)的線段為邊能組成一個(gè)三角形?！纠?】設(shè)方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根?！眷柟獭恳阎P(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_?！纠?】設(shè)，證明在方程中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。第八講：一元二次方程根與

25、系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)方程的兩個(gè)根，則。韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）?！纠}精講】【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。（1）x22x10； （2）x29x100；解：_， 解：_，（3）2x29x50； （4）4x27x10；解：_， 解：_，（5）2x25x0； （6）x210解：_， 解：_，【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2+4x3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_； （2）x12x2+x1x22=_； （3）=_（4）（x1+x2）2=

26、_； （5）（x1x2）2=_； （6）x13+x23=_【例3】解答下列問(wèn)題：（1）設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，問(wèn)是否存在的情況？（2）已知：是關(guān)于的方程的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值?！眷柟獭?、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則_。2、已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)?！纠?】已知關(guān)于的方程：。（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根滿足，求的值及相應(yīng)的。【鞏固】已知關(guān)于的方程。（1）當(dāng)為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值?！纠?】CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則ABC的面積是多少？【

27、鞏固】已知ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5。（1）為何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）為何值時(shí)，ABC是等腰三角形，并求ABC的周長(zhǎng)。第九講：一元二次方程的應(yīng)用【知識(shí)梳理】方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次方程模型解決問(wèn)題。【例題精講】【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形

28、養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m。（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？（2）題中墻的長(zhǎng)度m對(duì)題目的解起著怎樣的作用？票價(jià)（元）人數(shù)（人）20151057000600050004000300020001000【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參

29、觀人數(shù)是多少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B，若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比?！纠?】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度

30、都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加?！眷柟獭?、在青島市開(kāi)展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為m，花園的面積為m2。（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；BCDA（2）滿足條件的花園面積

31、能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)的值；若不能，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問(wèn)河有多寬？4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)100米，在行軍途中，隊(duì)伍

32、正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？第十講：專題復(fù)習(xí)：因式分解、分式和根式【知識(shí)梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：； ； ； ；立方和（差）公式：； ；2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們

33、應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。二、分式：1、分式的意義形如（為整式），其中B中含有字母的式子叫分式。當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)（1） 分式的基本性質(zhì)： （其中M是不為零的整式）。（2） 分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。（3） 倒數(shù)的性質(zhì)：；若，則（，是整數(shù)）；。3、分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法則有：；（是正整數(shù)）。4、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式），拆項(xiàng)法（即分離變形），因

34、式分解法，分組通分法和換元法等。三、二次根式：1、當(dāng)時(shí)，稱為二次根式，顯然。2、二次根式具有如下性質(zhì)：（1）； （2）（3）； （4）。3、二次根式的運(yùn)算法則如下：（1）；（2）。4、設(shè)，且不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，?！纠}精講】【例1】分解因式：【鞏固】分解因式：1、； 2、；【例2】已知是一個(gè)三角形的三邊，則的值是（ ）A.恒正 B.恒負(fù) C.可正可負(fù) D.非負(fù)3、為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積？【例3】已知是實(shí)數(shù)，且，問(wèn)之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知，求的值為_(kāi)；2、多項(xiàng)式的一個(gè)因式是，試確定的值為_(kāi)；3、設(shè)，求的值。4、若，且設(shè)，則_5、已知，則_；6、已

35、知，且，則_7、當(dāng)變化時(shí)，分式的最小值為_(kāi)8、設(shè)，則_；9、已知實(shí)數(shù)滿足，則_；10、化簡(jiǎn)_；11、已知，則_12、設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_；13、設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中兩兩不同，則_；14、使等式成立的整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為_(kāi)；15、設(shè)正整數(shù)滿足，則這樣的的取值有_組；16、求和：17、已知，化簡(jiǎn)。18、若，計(jì)算的值。19、計(jì)算：20、設(shè)，它的小數(shù)部分為P，求的值。第十一講：專題復(fù)習(xí)：代數(shù)式的恒等變形【知識(shí)梳理】1、恒等式的意義兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒

36、等變形。恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。3、基本思路（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；（3）證明：，或，此時(shí)。4、基本方法在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】已知，求證：。思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊?！眷柟獭恳阎獮槿齻€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，求證：?！就卣埂咳?，求證：?！纠?】證明：。思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明?！眷柟獭?、求證。2、求證：?！就卣埂壳笞C：【

37、例3】已知，求證：思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式?！眷柟獭恳阎?，求證：?！就卣埂恳阎獙?shí)數(shù)滿足，求證：，其中是正整數(shù)?！纠?】已知，且，求證：?！眷柟獭?、已知，求證：2、設(shè)。求證：【拓展】設(shè)，且，求證：。【例5】已知正數(shù)滿足，求證：。思路點(diǎn)撥：本題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開(kāi)始進(jìn)行推理，一步一步地推到我們所要證明的結(jié)論，就是我們平時(shí)說(shuō)的“正面突破”。第十二講：專題復(fù)習(xí)：相似三角形【知識(shí)梳理】1、比例線段的有關(guān)概念：b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果bc，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。2、平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1l2l3。

38、推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。4、相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似5、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方3、常見(jiàn)三角形相似的基本圖形、基本條件和基本結(jié)論：（1）如圖1，當(dāng) 時(shí)，（2）如圖2，當(dāng) 時(shí)，。（3）如圖3，

39、當(dāng) 時(shí)，。（4）如圖4，如圖1，當(dāng)ABED時(shí)，則 。 （5）如圖5，當(dāng) 時(shí)，則 。圖4 圖5（6）如右圖，特殊圖形（雙垂直模型）BAC90° 【例題精講】【例1】如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，BD是中線，AEBD，交BC于點(diǎn)E，求證：BE=2EC。【鞏固】如圖，ABC是一個(gè)等腰三角形，其中AB=AC，若B的角平分線交AC于D且BC=BD+AD，設(shè)A=c°，求c的值。【例2】如圖，梯形ABCD中，ADBC（AD<BC），AC、BD交于點(diǎn)O，若，則AOD與BOC的周長(zhǎng)之比是_?！眷柟獭?、如圖，在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連

40、結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則（ ）A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:252、如圖，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，則AD:DB=_?！纠?】已知如圖，在ABC中，BAC=90°，ADBC，E為AC中點(diǎn)，求證：?！眷柟獭恳阎鐖D，AE為ABC的角平分線，D為AB上一點(diǎn)，并且ACD=B，CD交AE于F，求證：?！纠?】如圖1，在等腰ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，過(guò)D作AB、AC的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE+DF的長(zhǎng)是定值?！眷柟獭咳鐖D2，在等腰ABC中，AB=AC，點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)作AB、AC的垂

41、線，垂足分別為M、N，求證：的長(zhǎng)是定值?！纠?】如圖，在ABC中，D為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，P為AD上任意一點(diǎn)，連結(jié)PB、PC，求證：?！眷柟獭坑妹娣e法證明下述定理：（1）在ABC中，AD是BAC的平分線，求證：AB:AC=BD:DC。（2）（賽瓦定理）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC、AB上，連結(jié)AD、BE、CF交于點(diǎn)O，求證：。（3）（梅內(nèi)勞斯定理）如圖，一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，BA（或其延長(zhǎng)線）分別交于D，E，F(xiàn)。求證：?！就卣埂咳鐖D，在ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，G是AD（不包括A、D兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，BG、CG的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)F、E。（1）求

42、證：；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示，并求出它的最大值。目 錄本內(nèi)容適合八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽拔高使用。注重中考與競(jìng)賽的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)落實(shí)在與中考中難以上題，奧賽方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于80分鐘的容量，因此在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中可以根據(jù)學(xué)生的具體狀況由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容。由于相似三角形與其他知識(shí)的銜接較多，因此本講義補(bǔ)充了初三的相似三角形，可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行必要的講解。注：有(*) 標(biāo)注的為選做內(nèi)容。本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：第一講分式的運(yùn)算第二講分式的化

43、簡(jiǎn)求值第三講分式方程及其應(yīng)用第四講二次根式的運(yùn)算第五講二次根式的化簡(jiǎn)求值第六講相似三角形（基礎(chǔ)篇）第七講相似三角形（提高篇）第八講 平行四邊形（基礎(chǔ)篇）第九講 平行四邊形（提高篇）第十講梯形、中位線及其應(yīng)用第十一講結(jié)業(yè)考試（未裝訂在內(nèi)，另發(fā)）第十二講試卷講評(píng)第一講：分式的運(yùn)算【知識(shí)梳理】1、 分式的意義形如（為整式），其中B中含有字母的式子叫分式。當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、 分式的性質(zhì)（1） 分式的基本性質(zhì)： （其中M是不為零的整式）。（2） 分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。（3） 倒數(shù)的性質(zhì)：1、

44、；2、 若，則（，是整數(shù)）；3、 。3、 分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法則有： ； （是正整數(shù)）。4、 分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式），拆項(xiàng)法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等?！纠}精講】【例1】（1）當(dāng)_時(shí)，分式的值為零；（2）要使分式有意義，則的取值范圍是_。思路點(diǎn)撥：當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意義；當(dāng)分子為零，分母不為零時(shí)，分式的值為零?！眷柟獭?、若分式的值為0，則x的值為_(kāi)；2、若使分式?jīng)]有意義，則的值為_(kāi)；【拓展】當(dāng)取何值時(shí)，分式有意義？【例2】化簡(jiǎn)下列分式：（1） （2）（3）?！眷柟獭炕?jiǎn)：（1

45、）（2）；【例3】已知，試比較與的大??；【鞏固】比較兩數(shù)與的大小?！纠?】化簡(jiǎn)：?！眷柟獭炕?jiǎn)：第二講：分式的化簡(jiǎn)求值【知識(shí)梳理】1、先化簡(jiǎn)后求值是解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的基本策略，分式的化簡(jiǎn)求值通常分為有條件和無(wú)條件兩類。給出一定的條件并在此條件下求分式的值的問(wèn)題稱為有條件的分式化簡(jiǎn)求值，解這類問(wèn)題，既要瞄準(zhǔn)目標(biāo)，又要抓住條件，既要依據(jù)條件逼近目標(biāo)，又要能根據(jù)目標(biāo)變換條件。常常用到如下策略：（1）適當(dāng)引入?yún)?shù)；（2）拆項(xiàng)變形或拆分變形；（3）整體代入；（4）取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系等。2、基本思路（1） 由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2） 兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；（3

46、） 證明：，或，此時(shí)。3、基本方法在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】（1）已知，求_；（2）已知，則_；（3）若，則_；【例2】若，求x的值？【例3】已知，且，求的值？【鞏固】若，則的值是 _；【例4】已知：，求的值?！眷柟獭浚?）已知，則代數(shù)式的值為_(kāi)；（2）若，則_；【例5】已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，那么的值是多少？【例6】已知，求證：。思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊?！眷柟獭恳阎?，求的值?！纠?】已知，求的值?！纠?】已知，求證：。思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，

47、變形為同一個(gè)代數(shù)式?！眷柟獭恳阎?，求證：。第三講：分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2. 解分式方程的一般步驟：（1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。4. 較為復(fù)雜的分式方程

48、可以采用換元法、約分來(lái)簡(jiǎn)化?！纠}精講】【例1】解方程：（1） （2） 【例2】解方程：【例3】解方程：【例4】解方程【鞏固】解方程：【例5】解方程： 【拓展】解方程：【例6】m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【鞏固】若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 【例7】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過(guò)點(diǎn)P跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝，結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完，事后，乙同學(xué)說(shuō)：“我倆所用的全部時(shí)間的和為50秒，撿球過(guò)程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍”，根據(jù)圖文信息，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)獲勝？Pl30米【鞏固】輪