全等三角形幾種類型(總結(jié))

1、全等三角形與角平分線全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形全等多邊形： 能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等如下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形五邊形這里符號(hào)“”表示全等，讀作“全等于”全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長(zhǎng)面積均相等全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)

2、頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角全等符號(hào)為“”全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(S

3、SS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等判定三角形全等的基本思路：全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式： 平移全等型 對(duì)稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對(duì)等角) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)

4、角所對(duì)的邊也相等 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3 ，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線 三角形中線的相關(guān)定理： 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊

5、的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊中線中位線相關(guān)問題(涉及中點(diǎn)的問題)見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長(zhǎng)中線以及中位線定理(以后還要學(xué)習(xí)中線長(zhǎng)公式)，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)【例1】 在、上各取一點(diǎn)、，使，連接、相交于再連結(jié)、，若，則圖中全等三角形共有哪幾對(duì)？并簡(jiǎn)單說明理由【鞏固】如圖所示，在上，與相交于圖中有幾對(duì)全等三角形？

6、請(qǐng)一一找出來，并簡(jiǎn)述全等的理由板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用【例2】 (2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試)如圖，求證：【例3】 (2008年宜賓市)已知：如圖，求證： 【鞏固】如圖，、相交于點(diǎn)，且，求證：【例4】 (哈爾濱市2008 年初中升學(xué)考試)已知：如圖，、四點(diǎn)在同一條直線上，求證：【例5】 已知，如圖，求證：【例6】 、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，且求證：【鞏固】、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，求證：【例7】 在凸五邊形中，為中點(diǎn)求證：板塊三、截長(zhǎng)補(bǔ)短類【例1】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【鞏固】如圖，點(diǎn)為

7、正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【例2】 如圖，ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75°，BMC=45°，則AB的長(zhǎng)為 ( )A. B. C. D. 【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例4】 如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)【例5】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE板塊四、與角平分線有關(guān)的全等問題【例1】 如圖，已知的周長(zhǎng)是，分別平分

8、和，于，且，求的面積ADOCB【例2】 在中，為邊上的點(diǎn)，已知，求證：【例3】 已知中，、分別是及平分線求證：【例4】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【例5】 如圖，已知是上的一點(diǎn)，又，求證：【例6】 (“希望杯”競(jìng)賽試題)長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=7，BAD的角平分線交BC于點(diǎn)E，EFED交AB于F，則EF=_【例7】 如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【鞏固】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交 于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線【鞏固】在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證：【例8】 如圖，在中，的平分線交與求證：【例9】 如圖所示，在中

9、，為的中點(diǎn)，是的平分線，若且交的延長(zhǎng)線于，求證【鞏固】如圖所示，是中的外角平分線，于，是的中點(diǎn)，求證 且【鞏固】如圖所示，在中，平分，于，求證【例10】 如圖，中，、分別為兩底角的外角平分線，于，于求證：【鞏固】已知：和分別是的和的外角平分線，求證： ； 【例11】 在中，、分別是三角形的外角、的角平分線，垂足分別是、求證：，【鞏固】在中，、分別是三角形的內(nèi)角、的角平分線，垂足分別是、求證：，【鞏固】(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形中，平分，過作，并且，則等于多少？【例12】 如圖，平分，平分，點(diǎn)在上 探討線段、和之間的等量關(guān)系 探討線段與之間的位置關(guān)系版塊一、倍長(zhǎng)中線【例1】 已知：中，是

10、中線求證：【鞏固】(2002年通化市中考題)在中，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【例2】 如圖，中，是中線求證：【例3】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求證：【例4】 已知ABC，B=C，D，E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE【例5】 已知為的中線，的平分線分別交于、交于求證：【例6】 在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且以線段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？【鞏固】如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，垂直于，如果，求證【例7】 (年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽·初二組)在中，

11、是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足若，則線段的長(zhǎng)度為_版塊二、中位線的應(yīng)用【例8】 是的中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于求證：【例9】 如圖所示，在中，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證【鞏固】已知ABC中，AB=AC，BD為AB的延長(zhǎng)線，且BD=AB，CE為ABC的AB邊上的中線求證CD=2CE【例10】 已知：ABCD是凸四邊形，且AC<BD E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點(diǎn) 求證：GMN>GNM【例11】 在中，以為底作等腰直角，是的中點(diǎn)，求證：且【例12】 如圖，在五邊形中，為的中點(diǎn)求證：【例13】 (“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)如圖所示，是內(nèi)的一點(diǎn)，過作于，于，為的中點(diǎn)，求證【例14】 (全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題) 如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)、到點(diǎn)、，使過、分別作直線、的垂線，相交于點(diǎn)，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、求證：(1) ；(2) 家庭作業(yè)【習(xí)題1】如圖，已知，求證：【習(xí)題2】點(diǎn)M，N在等邊三角形ABC的AB邊