4-2 向量組的線性相關(guān)性

1、1231100 ,2,2 .123aaa 例設(shè)向量組123aaa ,321線性相關(guān)所以向量組aaa因?yàn)橛?，即1230aaa123100:0 ,1 ,0 .001E eee 又例設(shè)向量組一、線性相關(guān)性的概念一、線性相關(guān)性的概念時(shí)，才有03210332211eee因?yàn)橹挥挟?dāng)所以向量組所以向量組 E E 線性無關(guān)線性無關(guān). .從而，我們可以得出結(jié)論：從而，我們可以得出結(jié)論： 向量組向量組 A A: : a a1 1 , a , a2 2 , , a, am m 線性相線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組02211mmaxaxax有非零解有非零解.0 ,: 2211

2、2121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意1211122 1. , kk0, kkk0.nnnn 若線性無關(guān) 則只有當(dāng)時(shí) 才有成立., 2. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性無無關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A 3. ,0 ,0,.向量組只包含一個(gè)向量時(shí) 若則說線性相關(guān) 若則說線性無關(guān).4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量 5.,.對于含有兩個(gè)向量的向量組 它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對應(yīng)

3、成比例。幾何意義是兩向量共線；三個(gè)向量相關(guān)的幾何意義是三向量共面定理定理 向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時(shí)）線性相關(guān)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向中至少有一個(gè)向量可由其余量可由其余 個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示m ,212 mm ,211 m12311050 ,2,2 .123aaa 前面的例向量組312aaa ,321線性相關(guān)所以向量組aaa因?yàn)橛?若方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí)，這個(gè)方程就是多余的，這時(shí)稱方程組（各個(gè)方程）是線性相關(guān)的；當(dāng)方程組中沒有多余方程，就稱該方程組（各個(gè)方程）線性無關(guān)（或線性獨(dú)立）。線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方

4、程組中的應(yīng)用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程組方程組線性相關(guān)就是齊次線性線性相關(guān)就是齊次線性向量組向量組結(jié)論結(jié)論.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理2 2例 向量組.111,011,001321aaa因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃?A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| 0, 所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理

5、2知，向量組知，向量組 a1 , a2 , a3是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.072,311,121321aaa031712211,321aaa例增例增1 討論向量組討論向量組解解 先求矩陣（先求矩陣（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩.由由 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.000330211知知 R (a1 , a2 , a3) = 2 3, 所以向量組所以向量組 a1 , a2 , a3 線性相關(guān)線性相關(guān).， 742520111321 .21321的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性，及及，試討論向量組試討論向量組 解解12312312 , 2 .對矩陣（，），施行初等行變換變成行階梯形矩陣 可同時(shí)看出矩陣

6、（，）及（，）的秩，利用定理即可得出結(jié)論已知已知例例5分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線性無關(guān)線性無關(guān)向量組向量組線性相關(guān)；線性相關(guān)；，向量組，向量組可見可見 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201123112223331123 , , .bbbb b b 已知向量組線性無關(guān)試證線性無關(guān)例例6 60 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即線性無關(guān)，故有

7、線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 1211 (1) , :, . , .mmmABBA 若向量組 ：線性相關(guān) 則向量組也線性相關(guān)反言之 若向量組線性無關(guān) 則向量組 也線性無關(guān)定理定理3 3證明：已知證明：已知12,mA 向量組 ：線性相關(guān) 則121122, 0mmmk kkkkk存在一組不全為零的數(shù)使因?yàn)橐驗(yàn)?1221 00mmmkkk所以，所以，11 :, mmB向量組線

8、性相關(guān)。證畢。1231233157 :,212054A aaa 例討論向量組和.5231,4253,5112,0231: 4321的線性相關(guān)性向量組aaaaB450212513321A450450450321000000450321解解 因?yàn)橐驗(yàn)?知知 R R( ( a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 ) = 2,) = 2, 所以向量組所以向量組 a a1 1 , a , a2 2 , a , a3 3 線性相關(guān)線性相關(guān). . 根據(jù)定理根據(jù)定理 3(1)3(1)可知，向量組可知，向量組 a1 , a2 , a3a1 , a2 , a3 , , a a4 4 也線性相關(guān)也

9、線性相關(guān). .）設(shè)）設(shè)（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性性相相關(guān)關(guān)也也線線則則向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)反反言言之之，若若向向量量組組關(guān)關(guān)也也線線性性無無：則則向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)：若若向向量量組組添添上上一一個(gè)個(gè)分分量量后后得得向向量量即即ABbbbBAbmmjj . 3 時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān)于向量個(gè)數(shù)于向量個(gè)數(shù)小小當(dāng)維數(shù)當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個(gè)個(gè)）（mnnm111,011,001例例 13 13 已知向量組已知向量組線性無關(guān)，線性無關(guān)，.,:,: (4) 121且表示式是唯一的且

10、表示式是唯一的線性表示線性表示必能由向量組必能由向量組向量向量則則線性相關(guān)線性相關(guān)組組而向量而向量線性無關(guān)線性無關(guān)設(shè)向量組設(shè)向量組AbbBAmm 123,111,011,001討論討論 的線性相關(guān)性。的線性相關(guān)性。由定理由定理 3(3)可知向量組可知向量組123,111,011,001線性相關(guān)線性相關(guān) 123向量111,011,001根據(jù)定理根據(jù)定理 3(4)3(4)可得可得, 能由向量組能由向量組線性表示，且表示方法唯一線性表示，且表示方法唯一 3 1:. . .定理 （）可推廣為 一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組，則該向量組線性相關(guān)特別地，含有零向量的向量組必線性相關(guān)反之，若一個(gè)向量組線性無

11、關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)說明說明 321,.定理 （ ）是對增加一個(gè)分量（即維數(shù)增加維）而言的，若增加多個(gè)分量 結(jié)論也成立. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)重點(diǎn)）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理兩個(gè)定理（難點(diǎn)難點(diǎn)）. , )3(0 )2( 0 )1(:兩兩式式不不一一定定同同時(shí)時(shí)成成立立或

12、或者者線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是，兩兩個(gè)個(gè)向向量量；線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個(gè)個(gè)向向量量；線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個(gè)個(gè)向向量量試試證證明明 kk 證明證明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性., 0, 0, 即可即可令令則則不妨設(shè)不妨設(shè)得得使使存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù)線性相關(guān)線性相關(guān)xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 線性相關(guān)線性相關(guān)知知由定義由定義則有則有不妨設(shè)不妨設(shè) kkm ,2101111 mmmmbbaa maa,1mbb,1若有不全為若有不全為0 0的數(shù)的數(shù)使使成立成立, ,則則線性相關(guān)線性相關(guān),

13、, 亦線性相關(guān)亦線性相關(guān). .8(2)、舉例說明下列命題是錯誤的舉例說明下列命題是錯誤的：01111 mmmmbbaa 解：已知有不全為零的數(shù)解：已知有不全為零的數(shù)使使m ,21上式可化為上式可化為0)()(111 mmmbaba 選取選取1122,mmaeaeae1122,mmbe bebemee,1maa,1mbb,1為單位向量，所以為單位向量，所以均線性無關(guān)均線性無關(guān)這樣，盡管前式成立。而由于其中和因此，上述命題是錯誤的。8(4)、舉例說明下列命題是錯誤的舉例說明下列命題是錯誤的：maa,1mbb,1m ,210, 01111 mmmmbbaa 若若 和和均線性相關(guān)均線性相關(guān), , 則有

14、不全為則有不全為0 0的數(shù)的數(shù), , 使使同時(shí)成立同時(shí)成立. .解：任意設(shè)12341200,.0034bb 則 21221121221143020 bbaa021 與題設(shè)矛盾。所以上述命題是錯誤的。與題設(shè)矛盾。所以上述命題是錯誤的。 144433322211,aabaabaabaab 4321,bbbb習(xí)題四習(xí)題四 9 9、設(shè)、設(shè)證明向量組證明向量組線性相關(guān)線性相關(guān). . ;證：由已知條件得112223334441,aba aba aba aba1123123412341 abbabbbabbbba于是1234 0bbbb從而1234 , b b b b所以，向量組線性相關(guān)1010設(shè)設(shè)rraaabaabab 2121211,且向量組且向量