高一數(shù)學（241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義）

1、2.4 2.4 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 2.4.1 2.4.1 平面向量數(shù)量積的平面向量數(shù)量積的 物理背景及其含義物理背景及其含義 問題提出問題提出t57301p2 1. 1.向量的模和夾角分別是什么概念？向量的模和夾角分別是什么概念？當兩個向量的夾角分別為當兩個向量的夾角分別為0 0，9090，180180時，這兩個向量的位置關系如何？時，這兩個向量的位置關系如何？ 2. 2.任意兩個向量都可以進行加、減運任意兩個向量都可以進行加、減運算，同時兩個向量的和與差仍是一個向算，同時兩個向量的和與差仍是一個向量，并且向量的加法運算滿足交換律和量，并且向量的加法運算滿足交換律和結合律結合律

2、. .由于任意兩個實數(shù)可以進行乘法由于任意兩個實數(shù)可以進行乘法運算，我們自然會提出，任意兩個向量運算，我們自然會提出，任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢？對此，我是否也可以進行乘法運算呢？對此，我們從理論上進行相應分析們從理論上進行相應分析. . 探究（一）探究（一）:平面向量數(shù)量積的背景與含義平面向量數(shù)量積的背景與含義 WFscos 思考思考2 2：功是一個標量，它由力和位移兩功是一個標量，它由力和位移兩個向量所確定，數(shù)學上，我們把個向量所確定，數(shù)學上，我們把“功功”稱為向量稱為向量F F與與s s “數(shù)量積數(shù)量積”. .一般地，對一般地，對于非零向量于非零向量a與與b的數(shù)量積是指什么？的

3、數(shù)量積是指什么？ 思考思考1 1：如圖，一個物體在力如圖，一個物體在力F F的作用下的作用下產生位移產生位移s s，且力，且力F F與位移與位移s s的夾角為的夾角為，那么力那么力F F所做的功所做的功W W是多少？是多少？ sF思考思考3 3：對于兩個非零向量對于兩個非零向量a與與b，設其夾，設其夾角為角為，把，把a| |bcoscos叫做叫做a與與b的的數(shù)量積（或內積），記作數(shù)量積（或內積），記作ab，即，即 ab= =a| |b bcoscos. .那么那么ab的運算結的運算結果是向量還是數(shù)量？果是向量還是數(shù)量？ 思考思考4 4：特別地，零向量與任一向量的數(shù)特別地，零向量與任一向量的數(shù)量

4、積是多少？量積是多少？ 0a=0=0思考思考5 5：對于兩個非零向量對于兩個非零向量a與與b，其數(shù)量，其數(shù)量積積ab何時為正數(shù)？何時為負數(shù)？何時為何時為正數(shù)？何時為負數(shù)？何時為零？零？ 當當0 09090時，時，ab0 0；當當9090180180時，時，ab0 0；當當9090時，時，ab0.0.ab= =a| |b bcoscos思考思考6 6：對于兩個非零向對于兩個非零向量量a與與b，設其夾角為，設其夾角為，那么那么acoscos的幾何的幾何意義如何？意義如何？ab bO OA AB BA A1 1思考思考7 7：對于兩個非零向量對于兩個非零向量a與與b，設其夾，設其夾角為角為，acos

5、cos叫做向量叫做向量a在在b方向方向上的投影上的投影. .那么該投影一定是正數(shù)嗎？向那么該投影一定是正數(shù)嗎？向量量b在在a方向上的投影是什么？方向上的投影是什么？ 不一定；不一定；bcos.| |a|cos|cos思考思考8 8：根據投影的概念，數(shù)量積根據投影的概念，數(shù)量積ab=a| |bcos的幾何意義如何？的幾何意義如何？ 數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的模與的模與b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘積，或等于的乘積，或等于b的模與的模與a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘積的乘積，探究（二）：探究（二）：平面向量數(shù)量積的運算性質平面向量數(shù)量積的運算性質 思考思考1 1：設設

6、a與與b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，則則ab等于多少？等于多少？反之成立嗎？反之成立嗎？ ab ab0思考思考2 2：當當a與與b同向時，同向時，ab等于什么？等于什么？當當a與與b反向時，反向時，ab等于什么？特別地，等于什么？特別地，aa等于什么？等于什么？ 當當a與與b同向時，同向時，abab；當當a與與b反向時，反向時，abab；aaa2a2或或a .aa思考思考3 3：ab與與ab的大小關的大小關系如何？為什么？系如何？為什么？ abab 思考思考4 4：ab與與ba是什么是什么關系？為什么？關系？為什么？ abba 思考思考5 5：對于實數(shù)對于實數(shù)，(a)b有意義嗎？有意

7、義嗎？它可以轉化為哪些運算？它可以轉化為哪些運算？ (a)b(ab)a(b)思考思考6：對于向量對于向量a，b，c，(ab)c有意有意義嗎？它與義嗎？它與acbc相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？A1B1ABOC Cabcab12思考思考7：對于非零向量對于非零向量a，b，c，(ab)c有意義嗎？有意義嗎？(ab)c與與a(bc)相等嗎？為相等嗎？為什么？什么？ (ab)ca(bc)思考思考8：對于非零向量對于非零向量a，b，c，若，若abac，那么，那么 bc嗎？嗎？ 思考思考9：對于向量對于向量a，b，等式，等式(ab)2 a22abb2和和(ab)(ab)a2b2是是否成立？為什么？否成立

8、？為什么？ 思考思考1010：對于向量對于向量a，b，如何求它們的，如何求它們的夾角夾角？ cos| | | |a babq=理論遷移理論遷移例例1 1 已知已知a5，b4，a與與b的的夾角為夾角為120120，求，求ab. 1010 例例2 2 已知已知a6 6，b4 4，a與與b的的夾角為夾角為6060，求，求( (a2b)(a3b). . 72 72 例例3 3 已知已知a3 3，b4 4，且，且a與與b不共線不共線. .求當求當k k為何值時，向量為何值時，向量akb與與 ak kb互相垂直？互相垂直？ 34小結作業(yè)小結作業(yè)1.1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算，向量的數(shù)量積是一種向

9、量的乘法運算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運算性質，但與向量的線還有一系列的運算性質，但與向量的線性運算不同的是，數(shù)量積的運算結果是性運算不同的是，數(shù)量積的運算結果是數(shù)量而不是向量數(shù)量而不是向量. . 2.2.實數(shù)的運算性質與向量的運算性質不實數(shù)的運算性質與向量的運算性質不完全一致，應用時不要似是而非完全一致，應用時不要似是而非. . 3. 3. 利用利用a 可以求向量的模，可以求向量的模，在字符運算中是一種常用方法在字符運算中是一種常用方法. . aa4.4.利用向量的數(shù)量積可以解決有關平行、利用向量的數(shù)量