高等數(shù)學(xué)(同濟版)D10_3三重積分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(z

2、yxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在 上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后

3、一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz

4、微元線密度記作yxddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作xyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxz

5、Dzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié): 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbay

6、xzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為三個坐標例例1. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz例例2. 計算三重積分,d

7、dd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:常數(shù)坐標面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為zvdddd因

8、此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2axyzO其中 為例例3. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2圍成半圓柱體.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OOxyz例例4.

9、計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中 由拋物面42zvdddd原式 =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系,zOMzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目錄 上頁 下頁

10、返回 結(jié)束 rddrdd如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例5. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)

11、22(515R40dsin20d4Rr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面對稱, 并與xOy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系

12、柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個平面圍成 ,:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè), 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示:

13、 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè) 由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P162 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); *10 (2) ; 11 (1), *(4)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“三次積分”較好.1zxy11O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :4528 1122yzx2211xzx11xxx d1211zxxd2211yyzxd112222221,1,1yxzxzy 由所圍, 故可