B04--選修2-22.2直接證明與間接證明(3課時(shí))

1、第一課時(shí)2.2.1綜合法和分析法（一）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解 分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1 11.已知“若a1,aRh，且耳+a?=1，則一+4”試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.a?111（答案：右&1, a?.a - R，且&1 a? . an=1，貝y.n）a1a2an1112.已知a,b,cR , a b c =1，求證：9.a b c先完成證明T討論：證明過程有什么特點(diǎn)？二、

2、講授新課：1.教學(xué)例題：1出示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正數(shù)，求證：a（b2+ c2）+ b（c2+ a2）+ c（a2+ b2） 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來解決？（基本不等式）T板演證明過程（注意等號(hào)的處理）T討論：證明形式的特點(diǎn)2提出綜合法：禾 U 用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 .（7 （ Hbm r-l U ：認(rèn) 1 一仏框圖表示：要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?3練習(xí)：已知 a, b, c 是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證b+c_a+a+c_b +a+b_c沁.abc4出示例 2:在厶 ABC 中，三個(gè)內(nèi)角 A、B、

3、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c,且 A、B、C 成等差數(shù) 列，a、b、c 成等比數(shù)列.求證：ABC 等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？T 板演證明過程T討論：證明過程的特點(diǎn).T小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）2.練習(xí)：A, B為銳角，且ta nA ta n B . 3 tan Atan B = . 3,求證：A B = 60（提示：算tan （A B）114已知a b c,求證：.ab bc ac3.小結(jié)：綜合法是從已知的 P 出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q,Q，直到最后的結(jié)論是 Q.運(yùn) 用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三

4、角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題 三、鞏固練習(xí):1.求證：對(duì)于任意角0,cos4v -sin4V -C0S2二.（教材 P100練習(xí) 1 題）（兩人板演T訂正T小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程）2.ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證:3.作業(yè)：教材 P102A 組 2、3 題.113a b b c a b c第二課時(shí) 2.2.1綜合法和分析法（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解 分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

5、1.提問：基本不等式的形式？勺亠 b._2.討論：如何證明基本不等式ab （a 0,b 0）.2（討論T板演T分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）二、 講授新課：1.教學(xué)例題：1出示例 1 :求證 3 . 5 八.2亠6.討論：能用綜合法證明嗎？T如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？T板演證明過程（注意格式）T再討論：能用綜合法證明嗎？T比較：兩種證法2提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止框圖表示：要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1 13練習(xí)：設(shè) x 0, y 0,

6、證明不等式：（x2y2）2（x3y3）3.先討論方法T分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.4出示例 2：見教材 P97. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）5出示例 3:見教材 P99. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）2.練習(xí)：證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設(shè)截面周長(zhǎng)為 I，則周長(zhǎng)為 I 的圓的半徑為 丄，截面積為二（丄）2，周長(zhǎng)為 I 的正方2兀2兀形邊長(zhǎng)為-，截面積為（-）2，問題只需證：二（丄）2 （丄）2.442兀43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論 Q 思考，一步步探

7、求得到 Q 所需要的已知P,P2,直到所有 的已知 P都成立；比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分 析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”（分析），從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）三、 鞏固練習(xí)：1.設(shè) a, b, c 是的 ABC 三邊，S 是三角形的面積，求證：c2-a2 4ab 4.3s.略證：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC - 4ab _2.3absinC,即證：2cosCX2j3si nC，即：J3si n C+cosC蘭2，即證：sin（。+上）

8、蘭1（成立）62.作業(yè)：教材 P100練習(xí) 2、3 題.第三課時(shí)2.2.2 反證法教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法一一反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問題；了解反證法的思考過程 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2 枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）2.提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過在同一直線上的三點(diǎn) A、B、C 不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)OO 過A、B、C 三點(diǎn)，則 0 在 AB 的中垂線 I 上，0

9、 又在 BC 的中垂線 m 上, 即 0 是 I 與 m的交點(diǎn)。但TA、B、C 共線， I / m（矛盾）過在同一直線上的三點(diǎn) A、B、C 不能作圓.二、講授新課：1.教學(xué)反證法概念及步驟： 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果 ab0,那么.a . ,b 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè) 錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立 證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立T從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾T矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、 定理、事實(shí)矛盾等）方法實(shí)質(zhì)： 反證法是利用

10、互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn)行證明的， 即由一個(gè)命題與其逆否 命題同真假，通過證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí)注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí) 2.教學(xué)例題：1出示例 1:求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分分析：如何否定結(jié)論？T如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？T得到怎樣的矛盾？與教材不同的證法：反設(shè) AB、CD 被 P 平分， P 不是圓心，連結(jié) 0P,則由垂徑定理：OP_AB, OP_CD，則過 P 有兩條直線與 0P 垂直（矛盾），不被 P 平分.2出示例 2：求證 3 是無理數(shù).（同上分析T板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）證：假設(shè).3 是有理數(shù)，則不妨設(shè)3 =m/n （m,n 為互質(zhì)正整數(shù)），從而：（m/ n）2=3 , m2=3n2，可見 m 是 3 的倍數(shù).設(shè) m=3p （p 是正整數(shù)），貝 U 3n2=m2=9p2，可見 n 也是 3 的倍數(shù).這樣，m, n 就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.J3=m/n 不可能，矗是無理數(shù).3練習(xí)：如果a為無理數(shù)，求證a是無理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a = p/q.由a （p