2005-A2導(dǎo)數(shù)與微分.

1、設(shè)y = f (x)在X = X0處可導(dǎo), f (X0 _ AX)_ f (X0 )則 lim 0-=.x_.0X|im f 勺 h - f x。- hh >0(2)(3)f f X 若f (0)存在且f 0 = 0,則lim xt0 Xx - 0，貝y f 0)=(4)2“|x ,已知f X二 I-x2, XCO當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時(shí)，物體就不斷冷卻，若物體的溫度習(xí)題八導(dǎo)數(shù)概念1 是非題(1) f(X。)=f (Xo)l ；(2) 若y = f(X)在X = X。處連續(xù)，則f(X。)一定存在。2 填空題(1)T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為T = T t，則該物體在時(shí)刻t的冷卻速度應(yīng)表

2、示為 (5)在曲線y = eX上取橫坐標(biāo)x 0及x1兩點(diǎn)，作過這兩點(diǎn)的割線，則曲線y二ex上在點(diǎn) 處的平行于這條割線的切線是 。3 單項(xiàng)選擇題(1 )設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù) X, y f(x)滿足f (a x) f (a) si n( xs in x) ex -1,則下列結(jié)論不成立的是【】A. f (x)在x = a處連續(xù)；B. f (x)在x = a處可導(dǎo)；C. 曲線y二f (x)在x = a處有切線；D. f (x)在x = a處不可導(dǎo)。ff1、一 ff1 x、(2)設(shè)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件lim1，則曲線xt02xy二f x在(1 , f 1 )處的切線斜率為【】A. 2;B. -2;

3、 C. 1; D.-1。(3) 若f(x)在點(diǎn)X= Xq處可導(dǎo)，則f(X)在點(diǎn)X= X0處【】A.可導(dǎo)；B.不可導(dǎo)；C.連續(xù)未必可導(dǎo)；D.不連續(xù)。(4) 設(shè)f(x)二xn , Xn是過點(diǎn)(1, 1)的曲線y二Xn (n是正整數(shù))的切線在x軸上的截距，則lim f(Xn)=【】nA. 1 ；B. 0 ；C. e ；D. e 。14設(shè) y = 3 ，求 y x 及 y 1。x5設(shè) X 在 X 二 a處連續(xù)，f:X - aX，求a。6 .確定a、b的值，使f(x)=h2x ,ax b,x乞1在x = 1處可導(dǎo)。x 17求曲線y =x4 -3在點(diǎn)1,-2處的切線方程和法線方程。&證明函數(shù)f(X

4、)=*Jx0,x 0在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。x空0習(xí)題九函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 單項(xiàng)選擇題(1) 在函數(shù)f(x)和g(x)的定義域內(nèi)的一點(diǎn) x0處，下述說法正確的是【】A.若f (x)，g(x)均不可導(dǎo)，則f (x) g(x)也不可導(dǎo)；b.若f (x)可導(dǎo)，g(x)不可導(dǎo)，則f(x) g(x)必不可導(dǎo)；C. 若f (x)，g(x)均不可導(dǎo)，則必有 f(x) + g(x)不可導(dǎo)；D. 若f (x)可導(dǎo)，g(x)不可導(dǎo)，則f (x) + g(x)必不可導(dǎo)。(2) 直線I與x軸平行且與曲線 y二x - ex相切，則切點(diǎn)為【】A. 1,1 ； B. -1,1 ； C.

5、0,1 ; D. 0,-1。(3) 設(shè)F(x)二g(x) (x)， (x)在x =a處連續(xù)但是不可導(dǎo)，g (a)存在，則g(a) = 0是F(x)在x二a處可導(dǎo)的【】條件A.充要；B.必要非充分；C.充分非必要；D.非充分非必要。2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 /-(1) y = x cosx x ；(2)(3) y=x-1x-2x-3 ；(4) y = 3 x sin xaxex( a 0 , a = 1)(5) y 二 xlog2 x ln 2x(6)y = xe secx 。3設(shè) y=xlnx+*，求驚及dyoX=14 以初速度v0上拋的物體，其上升高度 s與時(shí)間t的關(guān)系為S= v0t - 2

6、gt2.求（1）該物體的速度 v t ；（2）該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻。5.證明：曲線xy =1上任一點(diǎn)處的切線與 x軸和y軸構(gòu)成的三角形面積為常 數(shù)。習(xí)題十 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1（1） y = cot；x(2)(3) y =1 n 1 - x ；(4) y = |n X 1 X2 ；(6)sin2xx2(7) arcs in x arccosx(8)y = sinCos2 tan3x 1；2兀(9)y =2sec x ( x = n二.，n 為正整數(shù));dy2.在下列各題中，設(shè) f(U)為可導(dǎo)函數(shù)，求(1) y 二 f sin2 x亠 sin f2 x(2

7、) y = f ex ef x(3) y = ff x "3.設(shè) f (1 - x) =xe"且 f (x)可導(dǎo)，求 f (x)。4.設(shè)f (u)為可導(dǎo)函數(shù)，且f (x 3 x5，求f(X 3)和f，(x)。5設(shè) f (x)和 g(x)可導(dǎo)，f2(x) g2(x) = 0，求函數(shù) y = Jf2(x) g2(x) 的導(dǎo)數(shù)。習(xí)題十一高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 填空題(1) y =10x，則 y n 0 = 。(2) y =sin2x，則 yn x 二。2. 單項(xiàng)選擇題1)設(shè)f (x)在:片亠內(nèi)為奇函數(shù)且在0,亠內(nèi)有f (x) 0 , f (x)0，

8、則f (x)在-二,0內(nèi)是【】A. f (x) : 0且 f (x) ： 0 ； B. f (x) ： 0 且 f (x) 0 ；C. f (x) 0且 f (x) ： 0 ； D. f (x) 0 且 f (x) 0。(2)設(shè)函數(shù)y = f x的導(dǎo)數(shù)f (x)與二階導(dǎo)數(shù)f "x)存在且均不為零， 其反函數(shù)為x二y，則 y =【】A丄”牛；C.也”豐。.f xIf xl2f XIf - x I33 計(jì)算下列各題(1)廠右，求y%)；(2) y = ex x2 - 1 ,求 y 24(3)y_ 1x2 - 3x 2求 y（n）;(4)y =sin2 x，求 y(n)。4 求下列曲線在指

9、定點(diǎn)處的切線方程和法線方程:a處;(1)星形線x 3y3=：a3 ( a 0)在點(diǎn)3t(2)丿X 21 +占在t =2處. 3t2八1+t25利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)(1) y = xsi nx 1 - exIn x（2）y 二 sinx6 .設(shè)y = y x由方程exy y3 -5x =0 所確定,試求-dydxx=0d2yd x2x=0dx7 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)卜=1 nsint/、(1)設(shè) 4二，0<tv”，求|y = tan(1)I2丿(2) 設(shè)f”(t)存在且不為零,，求空y =tf _ f dx2階導(dǎo)數(shù)，試ax + bx + c, x c 0 亠一&已知

10、函數(shù)f x，在點(diǎn)in(1 + x )x 蘭 0確定參數(shù)a,b, c的值。習(xí)題十二函數(shù)的微分 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.落在平靜水面上的石頭，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑的增大率總是6米/秒，問在2秒末擾動(dòng)水面面積的增大率為多少？2.填空題3(1)設(shè) y = x x 在 x°=2 處心x = O01，則 Ay= _ , dy =(2)設(shè)y = f x在x0處可微,(4) d則啊卄f ,均可微，則dy二dx。3.單項(xiàng)選擇題dx(1) 設(shè)y = fu是可微函數(shù)，u是x的可微函數(shù)，則 dy二【】a. f u udx b. f u dx c. f u du d. f u u du(2) 若f

11、 (x)可微，當(dāng)x 0時(shí)，在點(diǎn) x處的 y - dy是關(guān)于 x的【 】A .高階無(wú)窮?。籅 .等價(jià)無(wú)窮?。籆 .同階無(wú)窮??；D .低階無(wú)窮小(3) 當(dāng)卜x充分小，f (x) = 0時(shí)，函數(shù)y = f x的改變量 y與微分dy 的關(guān)系是【】a . y=dy b . y dy c . y dyd . y dy(4) y = f x可微，則dy【】A.與 x無(wú)關(guān)；B.為 x的線性函數(shù)；C .當(dāng) x= 0時(shí)是 x的高階無(wú)窮??；D .當(dāng) x_ 0時(shí)是 x的等價(jià)無(wú)窮小。4 求下列函數(shù)的微分(1) y = - 2 xx(2)y =xsin2x(3)1x2(4)y = arcta n-x2(1) d(2) d

12、(3) d(4) d(5) d(5 將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)，使等式成立:)=2dx ；)=3xdx；)=costdt ；)=sin xdx ；)dx ；1 + x(6) d() = edx ；(7) d()xdx ；(8)d ()6 計(jì)算3 102的近似值。工 sec2 3xdx ；填空題第二章自測(cè)題f (1 )_ f (1 _ h )1.設(shè)周期函數(shù)f (x)可導(dǎo)，且周期為 4, lim1，則曲202h線y = f (x)在點(diǎn)(5, f (5)處的切線斜率是 。f (x)在x0可導(dǎo)是f (x)在x0可微的 條件。若f (x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)且 f(X。)=5，則f (-X。)二1 cos2x

13、1 x2設(shè) y = x x，貝U dy = 2.3.4.設(shè)df x5.二.單項(xiàng)選擇題，則 f(x) =dx 。丄x x，則y j =【1c.寸- ln2;b . e；f (x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且2的正整數(shù)時(shí)， f n(x) 是【a . n!f x T 1;c. If x Fn ；3.設(shè) f (x) = 3x3【 】A. 0; B . 1;2.已知函數(shù)三.計(jì)算下列各題D.1 - In4 。2f (x) = If x 1，則當(dāng)n為大于】b . n f x f 1 ；d. n !f(x)I2n。x，則使f n (0)存在的最高階導(dǎo)數(shù)的n為x2C. 2;D .3。2 x1. f (x) = 1 x22

14、. y - lim In 1nY-x3，求 f (x)；ln/ nx 2，求 y (x)；3.設(shè)y=si n 2 If (x2 )】，其中f具有二階導(dǎo)數(shù),4.設(shè)yd2y=f x y，且f二階可導(dǎo)，求一策dx2x = t + 2t四. 設(shè)函數(shù)y = y(x)由參數(shù)方程J'確定，求曲線y = y(x)在x = 3y = n(1 +t)處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。五. f (x) = ex(x2 2x 2)，求 f (n)(x)。第二章 參考題設(shè) f (x)二 maX2, x2，求 f (x)2.3.已知y = . 1 x2，求y對(duì)于'.1 -x2的導(dǎo)數(shù)。設(shè)f (x)在x = 0的某

15、個(gè)鄰域U內(nèi)有意義，且-x,y U 0有:(1) f x y = fx f y 1 ； ( 2) f (0) = 1。證明在上述鄰域 內(nèi) f (x)二 14.設(shè)曲線方程為丿ly(2)求 y (1)。=tarcta nt 13, (1)求x=1處的切線與法線方程;=t3 6t -25.x + y + z= 0設(shè)函數(shù)y(x)、z(x)由方程組確定，求y (x), z (x)。xyz= 26.求對(duì)數(shù)螺線二e r在點(diǎn)匚二=e2e 2丿處的切線的直角坐標(biāo)方程。7.f2n，1嚴(yán)1丿,n是正整數(shù)。設(shè)f (a)存在，f (a) = 0，試求limnjsc參考答案習(xí)題八導(dǎo)數(shù)概念(1)(1)(4)(1)1_3x(a

16、)a =2,(2)-f (Xo)； dT dT ；D ； (2)43 .(5)B；13y =4x-6, y(1)(1)(2)(3)(4)(5)(6)2f (Xo)(2) f (0) ；(3) 0 ；(ln(e _ 1), e _ 1) ； y = (e _ 1)x _ In(e _ 1) e _ 1(3) C; (4) D17-44習(xí)題九D；(2) D;( 3) A5 32xcosx - x2sinx 5 x2 ；. x(1. x)223x -12x 11 ；2 11 W 3x xx sin x x cosx a e ln(ae)； 3log 2 x (In 2);ex secx(1 x xt

17、a n x).(1) Vo -gt ； (2)Vog1.2.3.4.5.6.7.1 .2.3.4.習(xí)題十1.( 1)$csc21 ；XX11 Xx(xln x -1)(3)(6)2xcos2x -2sin2x3JI2 2 ；2 1 - x (arccosx)(8)-3cosbos2(tan3x) lsin(2tan3x)sec23x ；(9)4sec2 xtanx.2 22. ( 1) f (sin x)sin 2x 2f (x) f (x)cos f (x)；)exf (ex) f (x)f (ex) ef(x)；(3) f (x)f f(x)f Yff(x)?；X 3. -xe;4. 5x

18、4； 5(x-3)45 f(x)(x)+g(x)g(x)*；f2(x) +g2(x)習(xí)題十(1)(In 10)n;(2) 2nsin 2x2.(1)3.(1)(2)(3)C;(2) d934 ；x 2ex(x2 48x 551)；(T)nni |11(1)nJ(x-2嚴(yán)(x-1)叫4.5.6.7.8.1 .2.3.4.5.(4)2叫)n 2x +(n°叮-(1)(2)(1)(2)2切線方程x y2 a = 0，法線方程x - y = 0 ；2切線方程4x3y-12 =0，法線方程3x-4y 6=0.1 1丄丄exI右* xsinx1 e +cotx 2 *2(1ex) 一ln sinx丄,cot x l n xxln x(sin x)2；(1)19虧.-e'sec? 1 e4 tant ；(2)1 ； ； C"習(xí)題十二144 二 m2 /