也談數(shù)學(xué)概念教學(xué)的學(xué)科本質(zhì)

1、也談數(shù)學(xué)概念教學(xué)的學(xué)科本質(zhì)對(duì)2008年無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)第27題的分析解讀和教學(xué)建議無(wú)錫市港下中學(xué) 程 軍筆者參加了2008無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)的閱卷工作。今年中考數(shù)學(xué)試題總體上延續(xù)去年的特色,穩(wěn)中求變,注重基礎(chǔ),關(guān)注每一位學(xué)生的成長(zhǎng)；考察能力，供不同層次的學(xué)生不同的需要，試卷有很強(qiáng)的區(qū)分度。本文就筆者參加的閱卷的第27題做深入的分析，并結(jié)合閱卷過(guò)程中所反饋的各種信息，談?wù)劷處熢谡n堂教學(xué)中的啟示和思考。本大題是卷面最后第2題，具有一定的選拔功能，得分率約0.32。1原題呈現(xiàn)和解讀【原題】如圖，已知點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC,使點(diǎn)B、C在第

2、一象限，且AOC=60°；以P（3，0）為圓心，PC為半徑作圓。設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒.求：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有使P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值。解讀這是一道動(dòng)態(tài)型的綜合題，考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用（主要是三角函數(shù)概念、菱形基本性質(zhì)、圓的切線特征、勾股定理等相關(guān)內(nèi)容）；考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解（三角函數(shù)概念重點(diǎn)正弦、余弦等）；考察學(xué)生對(duì)解題策略的優(yōu)化選擇；考察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻領(lǐng)悟（分類思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想等）。粗看試題，學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題有所接觸，并不陌生。但仔細(xì)審題，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易上當(dāng)，被“麻痹”思想“溫柔”一刀，損

3、失慘重。本來(lái)簡(jiǎn)單的第（1）題也因?qū)忣}不仔細(xì)而不得分，十分可惜！。第（2）題涉及到分類討論，對(duì)于每一種情況圖形位置發(fā)生較大變化，需要分別畫圖加以說(shuō)明，學(xué)生解答千差萬(wàn)別，求簡(jiǎn)，求真的數(shù)學(xué)本質(zhì)在這里體現(xiàn)得淋漓盡致，不同層次的學(xué)生在這里得到不同的發(fā)揮！2學(xué)生解答及回放2.1在閱卷過(guò)程中，出現(xiàn)了許多令教師深思的解答現(xiàn)象。現(xiàn)象一有相當(dāng)比例的考生審題不清，誤把動(dòng)點(diǎn)A（1，0）看成是從原點(diǎn)（0，0）開(kāi)始的，從而導(dǎo)致下面解答過(guò)與參考答案差1的尷尬結(jié)局，閱卷教師無(wú)不為之惋惜！現(xiàn)象二對(duì)第（2）題解答分三種情況討論，學(xué)生含糊其辭，不做畫草圖分析界定，甚至出現(xiàn)第1種情況與第2種情況結(jié)果對(duì)調(diào)的怪事！現(xiàn)象三很多考生選擇使用

4、勾股定理，表達(dá)式較繁，運(yùn)算量大，而不選用簡(jiǎn)潔的三角函數(shù)表達(dá)式求解舍簡(jiǎn)就繁！難以置信！2.2以下是考生有代表性的幾種解法對(duì)于第種情況有3種典型解法。法1如圖1（1）在RtOCP中，由COP=30°， OP=3，得PC=，且OC=，t+1=，t=-1.法2 如圖1（2）作CHOP，設(shè)OD=x，則在RtOCD中，COD=60°，OCD=30°CD=，OH=CD=，PH=3-，由PH=3，PC=，在RtPCH中，由勾股定理知：，即解得，x=，t+1=,t=-1.法3 如圖1（1）OC=t+1,在RtOCD中，COD=60°OD=，CD=，且在RtPCO中，OP=

5、3，PC=在RtOCD中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)，解得（不合題意，舍）對(duì)于第種情況，大致有2種典型解法。很多考生使用圖2（1）法1 過(guò)C作CHOP，在RtOCH中，COH=30°，CH=，OH=，PH=-3，且PC=PO，在RtPCH中，由勾股定理知，法2 部分學(xué)生用到圖2（2），過(guò)P 作PEOC，由OC=t+1，OE=，PE=，在RtOPE中，由勾股定理知，第種情況做出的學(xué)生寥寥無(wú)幾。3原因分析和反思從學(xué)生對(duì)第和第前兩種情況的解答來(lái)看，不能不讓我們感到吃驚！為什么學(xué)生會(huì)把動(dòng)點(diǎn)起始位置看錯(cuò)？為什么很多學(xué)生都一律使用勾股定理，以致給解題帶來(lái)很大的運(yùn)算量？為什么學(xué)生如此拒絕使用三角函數(shù)的定義

6、式？產(chǎn)生上述為什么，需要我們教師好好反思，反思平常教學(xué)中的教學(xué)理念、教學(xué)設(shè)計(jì)和諸多教學(xué)環(huán)節(jié)。反思1 審題教學(xué)環(huán)節(jié)都是教師惹的禍？在閱卷中，有相當(dāng)部分考生的解題思路清晰甚至連第（2）題3種情況都解答的很完美，就是把動(dòng)點(diǎn)A的起始位置看作是（0，0），功虧一簣！造成的原因是 多方面的。但，回想我們平時(shí)教學(xué)中，有沒(méi)有意識(shí)到審題這一環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生解題的重要性？我們是否以教師的審題代替學(xué)生審題？是否在審題環(huán)節(jié)中讓學(xué)生走過(guò)場(chǎng)？甚至出現(xiàn)讀一遍就做題的怪現(xiàn)象？學(xué)生的審題經(jīng)歷不能被剝奪！成人對(duì)題意的理解與學(xué)生是完全不一樣的。在今后的教學(xué)中，要重視審題，訓(xùn)練學(xué)生讀通題目、讀懂題意，解題要先慢后快，只有“讀題慢和細(xì)”，才

7、能贏得“解題快和準(zhǔn)”！反思2 概念教學(xué)環(huán)節(jié)教師你抓住了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)了嗎？為什么很多學(xué)生都使用勾股定理來(lái)解答問(wèn)題，而放著三角函數(shù)定義式這一簡(jiǎn)單工具不用？三角函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)中最基本，最重要的概念之一，越簡(jiǎn)單的東西往往越體現(xiàn)本質(zhì)。正弦和余弦等概念實(shí)質(zhì)反映了直角三角形中銳角與對(duì)應(yīng)邊比值之間的一種特殊函數(shù)關(guān)系！即A，A，從這上述定義可以看出，在直角三角形中只要已知一銳角（不管該角是否為特殊角）和一邊，就能利用三角函數(shù)求出其余元素。學(xué)生在學(xué)習(xí)此概念時(shí)應(yīng)深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)，教師結(jié)合例題教學(xué)也應(yīng)向我們的學(xué)生明確這一點(diǎn)。再看看試卷上的第（2），前兩種情況，很顯然都符合已知一邊一角這一情緒，理所當(dāng)然首先考慮用三

8、角函數(shù)定義式來(lái)求解！解答如下：（2）當(dāng)P與OC相切時(shí)，顯然有PCOC，OC=OPcos30°，1+t=3×，t=-1見(jiàn)圖1（1）（2）當(dāng)P與OA相切時(shí)，切點(diǎn)為O，PC=OP，過(guò)P作PEOC，則OE=OC，t+1=OPcos30°，t=見(jiàn)圖2（2） (2)解答略（這也是參考答案提供的解法，簡(jiǎn)潔扼要?。┡c上述學(xué)生的解法在時(shí)間上不可同日而語(yǔ)！那為什么很多考生偏偏不用它，而用勾股定理呢？這要從勾股定理的本質(zhì)談起。勾股定理實(shí)質(zhì)反映了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，與銳角大小毫無(wú)關(guān)系，它的形式比較好記，運(yùn)用起來(lái)比較容易、單一（只涉及到邊，一個(gè)維度），但列出的方程往往較復(fù)雜（二

9、次方程居多），解起來(lái)當(dāng)然費(fèi)時(shí)。對(duì)于1+t=3×和的運(yùn)算量，一試就知！學(xué)生之所以不愿或不會(huì)使用OC=OPcos30°，從根本上講是對(duì)余弦概念比較陌生，這里涉及到邊與和角（含有2個(gè)維度），余弦的本質(zhì)特征沒(méi)有完全認(rèn)同和接納?；蛟S在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們的學(xué)生已經(jīng)拒絕接受這一概念！反思3 數(shù)學(xué)思想方法的滲透是否真的虛無(wú)縹緲，可有可無(wú)？本綜合題主要考察了分類思想，數(shù)形結(jié)合思想等，在閱卷中，很多學(xué)生沒(méi)有很好理解P與菱形OABC所在直線相切，顯然要分幾種情況討論。另外，對(duì)于每一種情況，必須畫草圖加以輔助說(shuō)明，一方面通過(guò)草圖，列出相應(yīng)關(guān)系，由圖形到數(shù)量關(guān)系，形象直觀，有利于正確思考這是解題

10、需要；另一方面，這也是對(duì)九年義務(wù)教育的考生應(yīng)有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考核?；蛟S若干年后，學(xué)生對(duì)解題的具體步驟已經(jīng)淡忘，但對(duì)解決問(wèn)題的一般思想方法分類談?wù)撍枷?，畫草圖分析數(shù)形結(jié)合思想永遠(yuǎn)也不會(huì)忘記！因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是銘記在學(xué)生頭腦起永恒作用的精神和態(tài)度，近乎流淌在人的“血液”中，內(nèi)化為一種“文化元素”，學(xué)生受用一輩子！4對(duì)今后的教學(xué)建議中考是具有選拔性功能的綜合考試，數(shù)學(xué)在各科中又最具選拔性特征的學(xué)科。一方面是由于學(xué)科本身的特點(diǎn)決定的；另一方面也反映出數(shù)學(xué)在各門功課中的重要性。作數(shù)學(xué)教師應(yīng)該為從事這一門學(xué)科的教育教學(xué)而感到自豪！4.1 重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的扎實(shí)訓(xùn)練加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本概念，性質(zhì)、定理等內(nèi)容的教學(xué)?；A(chǔ)知識(shí)、基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)不變“主旋律”。注重審題等教學(xué)環(huán)節(jié)，“寧可多審三分題，不要搶答題一秒”， 讓學(xué)生扎實(shí)平穩(wěn)過(guò)“審題關(guān)”。切忌教師包辦代替，學(xué)生能做的事學(xué)生自己做！4.2重視過(guò)程教學(xué)，切實(shí)培養(yǎng)能力平時(shí)的重要概念、定理、法則等內(nèi)容要舍得花時(shí)間，充分讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，重視過(guò)程教學(xué)。也許當(dāng)時(shí)可能看不出成效，但三年下來(lái)，學(xué)生的思維品質(zhì)更加深刻、靈活、嚴(yán)謹(jǐn)；學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)越來(lái)越厚重；數(shù)學(xué)的理性精神和探究精神更加深入人心；當(dāng)然解決問(wèn)題的能力越來(lái)越強(qiáng)。厚積才能薄法！4.3重