FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)ppt課件

1、2022-2-32022-2-3 無限長單位沖激響應(yīng)無限長單位沖激響應(yīng)IIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以用模擬濾濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果來實(shí)現(xiàn)，且可用較少的階數(shù)達(dá)到所要求的波器設(shè)計(jì)的結(jié)果來實(shí)現(xiàn)，且可用較少的階數(shù)達(dá)到所要求的幅度特性，實(shí)時所需的運(yùn)算次數(shù)及存儲單元都比較少，十幅度特性，實(shí)時所需的運(yùn)算次數(shù)及存儲單元都比較少，十分適用于對相位要求不嚴(yán)格的場合。分適用于對相位要求不嚴(yán)格的場合。 但圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求信道具有線性相位特性，而但圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求信道具有線性相位特性，而有限長沖激響應(yīng)有限長沖激響應(yīng)FIR濾波器很容易做成嚴(yán)格的線性相位濾波器很容易做成嚴(yán)格的線性相位特性，且特性

2、，且h(n)是有限長的，可用是有限長的，可用FFT算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號，算法來實(shí)現(xiàn)過濾信號，從而大大提高效率。從而大大提高效率。 主要不足之處：其較好的性能是以較高的階數(shù)為代價換來主要不足之處：其較好的性能是以較高的階數(shù)為代價換來的。（的。（IIR的設(shè)計(jì)中各種變換對的設(shè)計(jì)中各種變換對FIR濾波器不適用。）濾波器不適用。）2022-2-3 實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)際應(yīng)用中的FIR總是具有線性相位特性的，對非線性的總是具有線性相位特性的，對非線性的FIR濾波器，一般用濾波器，一般用IIR濾波器實(shí)現(xiàn)階數(shù)少，運(yùn)算次數(shù)少，濾波器實(shí)現(xiàn)階數(shù)少，運(yùn)算次數(shù)少，存儲單元少等）。存儲單元少等）。 一、線性相位一、線性相位FIR

3、濾波器條件濾波器條件 FIR濾波器的頻率響應(yīng)：濾波器的頻率響應(yīng)：)(10| )(|)()( jjNnjnjeeHenheH要使要使q(w)=argH(ej)滿足線性相位，要從恒時延考慮。滿足線性相位，要從恒時延考慮。（ h(n)為實(shí)序列）為實(shí)序列）2022-2-3 )()(p群延時為群延時為 d)(d)(g 所謂恒延時濾波就是要求所謂恒延時濾波就是要求tp(w)或或tg(w)是不隨是不隨w變化的常量。變化的常量。2、相位條件推導(dǎo)、相位條件推導(dǎo) 有兩類準(zhǔn)確的線性相位，分別滿足要求：有兩類準(zhǔn)確的線性相位，分別滿足要求： q(w)=tw，（同時滿足恒相延時與恒群延時），（同時滿足恒相延時與恒群延時）

4、 q(w)=btw，（只滿足恒群延時），（只滿足恒群延時）1、恒時延濾波、恒時延濾波定義：濾波器的相延時為定義：濾波器的相延時為2022-2-3 1010sincos)()()(NnNnjnjnjnnhenheH故有故有 0 1010cos)(sin)(arctan)(argNnNnjnnhnnheH cossincos)(sin)()tan(1010NnNnnnhnnh )(、q(w)=tw 圖像是經(jīng)過原點(diǎn)的一條斜線。圖像是經(jīng)過原點(diǎn)的一條斜線。2022-2-3 1010sincos)(cossin)(NnNnnnhnnh 0)(sin)(10 Nnnnh式式7.1是使是使FIR濾波器具有濾波

5、器具有q(w)=tw線性相位的必要且充分條件。線性相位的必要且充分條件?？梢宰C明，要使上式成立，必須滿足可以證明，要使上式成立，必須滿足 10 )1()(2/ )1(NnnNhnhN式式7.12022-2-3h(n)以以(N-1)/2為軸呈偶對稱為軸呈偶對稱nN-10(N-1)/2h(n)N為偶數(shù)為偶數(shù)N為奇數(shù)為奇數(shù)nN-10(N-1)/2h(n)h(n)=h(N-1-n)稱為偶對稱序列。稱為偶對稱序列。要求要求h(n)序列以序列以n=(N-1)/2為偶對稱中心，時間延時為偶對稱中心，時間延時t=(N-1)/2個抽樣周期。（無論個抽樣周期。（無論N為奇數(shù)或偶數(shù)都應(yīng)滿足為奇數(shù)或偶數(shù)都應(yīng)滿足h(n

6、)以以n=(N-1)/2軸為偶對稱中心。）軸為偶對稱中心。）2022-2-3 0)(sin)(10 Nnnnh式式7.2是使是使FIR濾波器具有濾波器具有q(w)=btw（ b=p/2線性相位線性相位的必要且充分條件。的必要且充分條件。 可以證明，要使上式成立，必須滿足可以證明，要使上式成立，必須滿足式式7.2 10 )1()(/2 2/ )1(NnnNhnhN/2-/2、q(w)=btw 圖像為不過原點(diǎn)的一條斜線圖像為不過原點(diǎn)的一條斜線按方法做同樣推導(dǎo)，得按方法做同樣推導(dǎo)，得0()2022-2-3要求要求h(n)序列以序列以n=(N-1)/2為奇對稱中心，時延為奇對稱中心，時延t=(N-1)

7、/2個個抽樣周期。抽樣周期。當(dāng)當(dāng)n=(N-1)/2時代入式時代入式7.2h(n)以以(N-1)/2為軸呈奇對稱為軸呈奇對稱0)21()211()21( NhNNhNhh(n)=h(N-1-n)稱為奇對稱序列。稱為奇對稱序列。N為偶數(shù)為偶數(shù)nN-10(N-1)/2h(n)N為奇數(shù)為奇數(shù)nN-10(N-1)/2h(n)2022-2-3 10)()(NnnznhzH 1121211210)()21()(NNnnNNnnznhzNhznh直接畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有直接畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有N次乘法與次乘法與N-1次加法次加法總體來說，當(dāng)總體來說，當(dāng)FIR濾波器的沖激響應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)h(n)為偶對稱或奇對稱時，為偶

8、對稱或奇對稱時，此濾波器的相位特性是線性的，且群時延恒定此濾波器的相位特性是線性的，且群時延恒定=(N-1)/2。二、線性相位二、線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其頻率響應(yīng)(由于由于h(n)有奇對稱、偶對稱以及有奇對稱、偶對稱以及N為奇數(shù)、偶數(shù)區(qū)別，故為奇數(shù)、偶數(shù)區(qū)別，故分為分為4種情況討論。種情況討論。) 1、偶對稱，、偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) h(n)=h(N-1-n)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將其分解將其分解2022-2-3 1121)(NNnnznh令令n=N-1-m 1210)1()1(NmmNzmNh將將m換成換成n 1210)1()1(NnnNznNh那那

9、么么 1210)1(211210)1()21()()(NnnNNNnnznNhzNhznhzH211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH由于由于h(n)=h(N-1-n)經(jīng)化簡后的經(jīng)化簡后的H(z)共有共有N次加法，次加法，(N+1)/2次乘法。次乘法。（可減少約一半乘法器）（可減少約一半乘法器）2022-2-3圖圖7.3 線性相位線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型）濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型）h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)y(n)x(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1)21N(h h(0)h(1)h(2)23N(h )25N(h 2

10、11210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖2022-2-3211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH)21()(1210)21(2121 NhzznhzNnnNnNN將將z=ej 代入，并利用歐拉公式代入，并利用歐拉公式)21()21cos(2)()(121021 NhnNnheeHNnNjj令令m=(N-1)/2-n，那么，那么)21(cos2)21()(21121 NhmmNheeHNmNjj提出因子提出因子21Nz 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)2022-2-3)21(cos2)21()(21121 NhnnNheeHNnNjj

11、其中其中 0 )21(20 )21()(nnNhnNhna)()()( jjeHeH與與比較比較幅度函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù)相位函數(shù) 210cos)()(NnnnaH 21)(N將將m換成換成n 21021cos)()(NnNjjnnaeeH2022-2-320H(w)( 20-(N-1)可看出當(dāng)可看出當(dāng)h(n)為偶對稱、為偶對稱、N為奇數(shù)時：為奇數(shù)時：由于由于cos(nw)對于對于w=0、p、2p皆為偶對稱，皆為偶對稱，所以所以H(w)對對w=0、p、2p，也呈偶對稱。，也呈偶對稱。2022-2-3 10)()(NnnznhzH 12120)()(NNnnNnnznhznh直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有直

12、接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有N次乘法與次乘法與N次加法次加法 120)1()1(NmmNzmNh將將m換成換成n 120)1()1(NnnNznNh又由于又由于h(n)=h(N-1-n) 120)1()()(NnnNnzznhzH經(jīng)變化后經(jīng)變化后H(z)共有共有N次加法，次加法，N/2次乘法可減少一半乘法器）次乘法可減少一半乘法器）2、偶對稱，、偶對稱，N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(n)=h(N-1-n)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)令令n=N-1-m2022-2-3圖圖7.4 線性相位線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1

13、z-1h(2)z-1z-1z-1z-1)12N(h )22N(h 120)1()()(NnnNnzznhzH2022-2-3 120)1()()(NnnNnzznhzH提出因子提出因子21 Nz頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 2121)21cos()()(NnNjjnnbeeH并將并將z=ej 代入，并利用歐拉公式，代入，并利用歐拉公式，以及進(jìn)行變量代換，得以及進(jìn)行變量代換，得)2(2)(nNhnb )()()( jjeHeH與與比較比較幅度函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù)相位函數(shù) 21)21cos()()(NnnnbH 21)(N2022-2-3留意：這種濾波器不能用于高通與帶阻，留意：這種濾波器不能用于高通與帶阻，

14、因?yàn)橐驗(yàn)镠(p)=0 ，而以上二者在，而以上二者在w=p處不為處不為0。)( 20-(N-1)20H(w)可看出當(dāng)可看出當(dāng)h(n)為偶對稱、為偶對稱、N為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，H(w)的特點(diǎn)如下：的特點(diǎn)如下：當(dāng)當(dāng)w=p時，時，cos(n-1/2)p=0，故，故H(p)=0即即H(z)在在z=-1處有一零點(diǎn)。處有一零點(diǎn)。由于由于cos(n-1/2)w對對w=p奇對稱，對奇對稱，對w=0、2p偶對稱，偶對稱，所以所以H(w)對對w=p呈奇對稱，對呈奇對稱，對w=0、2p呈偶對稱呈偶對稱2022-2-3211210)1()21()()( NNnnNnzNhzznhzH此時此時0)21( Nh 1210)

15、1()()(NnnNnzznhzH3、奇對稱，、奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) h(n)=h(N-1-n)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 化簡方法同偶對稱，化簡方法同偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)2022-2-3圖圖7.5 線性相位線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)h(n)為奇對稱，為奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) 1210)1()()(NnnNnzznhzH-1-1-1-1x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1z-1h(2)z-1z-1z-1z-1z-1)23N(h )25N(h -12022-2-3 1210)1()()(NnnNnzznhzH進(jìn)行化簡進(jìn)行化簡提出因子提出因子21 Nzjjej )2s

16、in()2cos(2頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 211)212(sin)()(NnNjjnnceeH)21(2)(nNhnc 幅度函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù)相位函數(shù) 210sin)()(NnnncH 212)(N留意：留意：2022-2-3留意：這種濾波器同樣不能用于高通與帶阻濾波器。留意：這種濾波器同樣不能用于高通與帶阻濾波器。)( 20 )23N(/220H(w)可看出當(dāng)可看出當(dāng)h(n)為奇對稱、為奇對稱、N為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，H(w)的特點(diǎn)如下：的特點(diǎn)如下： sin(nw)在在 w=0，p，2p處都為處都為0，因此，因此H(w)在在 w=0，p ，2p處也都為處也都為0，即，即H(z)在在z=1處有零點(diǎn)

17、。處有零點(diǎn)。 sin(nw)在在 w=0、 p、2p處都呈奇對稱，故處都呈奇對稱，故H(w)對對w=0、p 、2p也呈奇對稱。也呈奇對稱。2022-2-3 120)1()()(NnnNnzznhzH圖圖7.6 線性相位線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)h(n)為奇對稱，為奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)x(n)y(n)z-1h(0)z-1z-1h(1)z-1z-1h(2)z-1z-1z-1z-1)12N(h )22N(h -1-1-1-1-14、奇對稱，、奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) h(n)=h(N-1-n)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)化簡方法同偶對稱，化簡方法同偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)2022-2-3 21)2

18、12()21sin()()(NnNjjnndeeH)2(2)(nNhnd 幅度函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù)相位函數(shù) 21)21sin()()(NnnndH 212)(N可看出當(dāng)可看出當(dāng)h(n)為奇對稱、為奇對稱、N為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，H()的特點(diǎn)如下：的特點(diǎn)如下： sin(n-1/2)w在在 w=0，2p處為處為0，故，故H(w)在在 w=0，2p處也處也為為0，即，即H(z)在在z=1處有零點(diǎn)。處有零點(diǎn)。頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)2022-2-3任何一種線性相位任何一種線性相位FIR濾波器的群時延恒定。濾波器的群時延恒定。)( 20 )23N(/22p 0H(w)21)()( Ndd sin(n-1/2)w在

19、在w=0、2p處呈奇對稱，在處呈奇對稱，在w=p呈偶對稱呈偶對稱故故H(w)在在 w=0、2p 處呈奇對稱，在處呈奇對稱，在w=p呈偶對稱。呈偶對稱。2022-2-3那么那么 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH令令m=N-1-n，那么，那么 10)1()()(NmmNzmhzH 10)1()()(NmmNzmhzzH三、線性相位三、線性相位FIR濾波器的零極點(diǎn)分布濾波器的零極點(diǎn)分布 在第五章介紹過，在第五章介紹過，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)在在z=0處有處有N-1階極點(diǎn)，在有限階極點(diǎn)，在有限z平面上有平面上有N-1個零點(diǎn)，那么如果濾波器是個零點(diǎn)，那么如果濾波器

20、是線性相位的，則此線性相位的，則此N-1個零點(diǎn)的分布是有規(guī)律的。個零點(diǎn)的分布是有規(guī)律的。 一個線性相位一個線性相位FIR濾波器有濾波器有h(n)=h(N-1-n)(1)1( zHzN2022-2-3)()(1)1( zHzzHN)()()1(1zHzzHN 或或 若若z=zi 是是H(z)的零點(diǎn)，即的零點(diǎn)，即 H(zi)=0，那么，那么 H(zi-1)=0即即z=1/zi=zi-1也一定是也一定是H(z)的零點(diǎn)，的零點(diǎn)， 由于由于h(n)是實(shí)序列，所以是實(shí)序列，所以H(z)零點(diǎn)必然以共軛對形零點(diǎn)必然以共軛對形式存在，即式存在，即 zi*與與(zi*)-1 也是也是H(z)的零點(diǎn)的零點(diǎn)結(jié)論：線性

21、相位結(jié)論：線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對。濾波器的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對。因而得到因而得到2022-2-3ijiierz 零點(diǎn)零點(diǎn) zi 既不在實(shí)軸上，也不在既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，如圖單位圓上，如圖ri1，wi0jIm(z)z平面平面Re(z)10zizi*zi-1(zi*)-1)(1)1)(1)(1()(111111 zzzzzzzzzHiiiii這四個零點(diǎn)是兩組互為倒數(shù)的共軛對。這四個零點(diǎn)是兩組互為倒數(shù)的共軛對。因而他們的基本因子為：因而他們的基本因子為：ijiierz ijiierz ijiierz 1)(1ijiierz 11分以下幾種情況分以下幾種情況 設(shè)零

22、點(diǎn)設(shè)零點(diǎn)2022-2-343211)( zazbzazzHiiiirra cos)1(22iiirrb cos412其中其中上式可用線性相位上式可用線性相位FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) (N=5)(1)1)(1)(1()(111111 zzzzzzzzzHiiiii或化成兩個實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式把共軛對因子相乘）或化成兩個實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式把共軛對因子相乘）用線性相位用線性相位FIR濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)化簡后為化簡后為xi(n)z-1z-1abyi(n)z-1z-1a2022-2-3jIm(z)z平面平面Re(z)10zizi*ijiez ijiez ij1ie

23、)z( ij1iez 這時零點(diǎn)的共軛值就是它的倒數(shù)。這時零點(diǎn)的共軛值就是它的倒數(shù)。因而他們的基本因子為：因而他們的基本因子為：)1)(1()(11 zzzzzHiii21cos21 zzi用線性相位用線性相位FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) (N=3) 零點(diǎn)零點(diǎn)zi在單位圓上，但不在實(shí)軸上在單位圓上，但不在實(shí)軸上如圖如圖ri1，wi0 xi(n)z-1z-1-2coswiyi(n)2022-2-3iirz iirz i1ir1)z( i1ir1z 這時零點(diǎn)為實(shí)數(shù)，共軛值就是本身。這時零點(diǎn)為實(shí)數(shù)，共軛值就是本身。因而他們的基本因子為：因而他們的基本因子為：21111)1(1)1)(

24、1()( zzrrzzzzzHiiiii用線性相位用線性相位FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) (N=3)Re(z)jIm(z)z平面平面10zizi-1ii0 0“”號表示零點(diǎn)在負(fù)半軸，號表示零點(diǎn)在負(fù)半軸，“”號表示零點(diǎn)在正半軸號表示零點(diǎn)在正半軸 零點(diǎn)零點(diǎn)zi在實(shí)軸上，但不在單位圓上在實(shí)軸上，但不在單位圓上如圖如圖 ri1，wi0或或wi2022-2-3jIm(z)z平面平面Re(z)10-1這時零點(diǎn)只能有兩種情況，這時零點(diǎn)只能有兩種情況，z=1 或或z= -1，因而他們的基本因子為：因而他們的基本因子為：)z1()z(H1i “”號表示零點(diǎn)在號表示零點(diǎn)在z=-1處，處，“”號表

25、示零點(diǎn)在號表示零點(diǎn)在z=1 用線性相位用線性相位FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) (N=2) 零點(diǎn)零點(diǎn)zi既在實(shí)軸上，又在單位圓上既在實(shí)軸上，又在單位圓上如圖如圖ri1，wi0或或wi2022-2-3線性相位線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)只能有以上四種情況濾波器的零點(diǎn)只能有以上四種情況 那么線性相位那么線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可能由以上這也可能由以上這四種因子組合而構(gòu)成。四種因子組合而構(gòu)成。 至此，了解了線性相位至此，了解了線性相位FIR濾波器的各種特性。在應(yīng)用時，濾波器的各種特性。在應(yīng)用時，可根據(jù)實(shí)際需要選用合適類型的可根據(jù)實(shí)際需要選用合適類型的FI

26、R濾波器，同時設(shè)計(jì)時濾波器，同時設(shè)計(jì)時要遵循有關(guān)的約束條件。要遵循有關(guān)的約束條件。 后續(xù)討論線性相位后續(xù)討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。濾波器的設(shè)計(jì)方法。2022-2-3一、設(shè)計(jì)思路一、設(shè)計(jì)思路 一個理想的低通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)如圖所示，它以一個理想的低通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)如圖所示，它以2p為周期，用傅氏反變換可求得此濾波器的沖激響應(yīng)。為周期，用傅氏反變換可求得此濾波器的沖激響應(yīng)。-2p|Hd(ej)|2p -p0cc-wc nndedeeHnhcjnjnjddcc)sin(21)(21)(2022-2-3此沖激響應(yīng)是無限長，但要求的是有限長沖激響應(yīng)濾波器，此沖激響應(yīng)是無限長，但要求的

27、是有限長沖激響應(yīng)濾波器，要由要由hd(n)得到得到FIR濾波器的沖激響應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)h(n)，最直接的方法就，最直接的方法就是將是將hd(n)截短，即令假設(shè)截短，即令假設(shè)N為奇數(shù)）為奇數(shù)） nnnnhcd- )sin()( else 021-N|n| (n)(dhnhn0hd(n)21-N21-N h(n)2022-2-3)()()(nwnhnhRd else 021-N|n| 1)(nwR這樣便得到了這樣便得到了FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)，但此濾波，但此濾波器的頻率響應(yīng)器的頻率響應(yīng)H(ej)肯定與理想濾波器的頻率響應(yīng)肯定與理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ej)有差異

28、。（因?yàn)橛胁町?。（因?yàn)閔(n)與與hd(n)的差異）的差異）二、理論分析二、理論分析 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(ej)是沖激響應(yīng)是沖激響應(yīng)h(n)的傅氏變換的傅氏變換)()()(nwnhnhRd 上式相當(dāng)于將上式相當(dāng)于將hd(n)與一矩形窗函數(shù)與一矩形窗函數(shù)wR(n)相乘，即相乘，即)()(21)( jRjdjeWeHeH2022-2-3 2121 )()(NNnjnnjnRjReenweW else 021-N|n| 1)(nwR級數(shù)求和后利用歐拉公式，得到級數(shù)求和后利用歐拉公式，得到2sin2sin)( NeWjR02p/N-2p/NWR(ej)2p WR(ej)在在2/N之之內(nèi)為一個主瓣，兩內(nèi)

29、為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣。（周期蕩的旁瓣。（周期函數(shù)）函數(shù)）矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù)wR(n)的傅氏變換為的傅氏變換為WR(ej)2022-2-3)()(21)( jRjdjeWeHeH圖中陰影所示面積，即為積分的值，當(dāng)圖中陰影所示面積，即為積分的值，當(dāng)w變化時，變化時，此曲線左右移動，此面積也就發(fā)生變化。此曲線左右移動，此面積也就發(fā)生變化。因而得到頻率響應(yīng)因而得到頻率響應(yīng)H(ej) ccdeWdeWeHjRjRjd21)(21)()(2022-2-3當(dāng)當(dāng)w逐漸增大，隨著圖中不同正負(fù)，不同大小的旁瓣逐漸增大，隨著圖中不同正負(fù)，不同大小的旁瓣移出和移入積分區(qū)間，使得移出

30、和移入積分區(qū)間，使得H(ejw)的大小產(chǎn)生波動。的大小產(chǎn)生波動。 ccccdeWdeWeHjRjRj)(21)(21)(0幾個特殊的頻率點(diǎn)幾個特殊的頻率點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)w=0時時2022-2-3 繼續(xù)增大，主瓣開始移出積分區(qū)間，因此繼續(xù)增大，主瓣開始移出積分區(qū)間，因此HejHej 迅速下降，迅速下降，進(jìn)入過渡帶。進(jìn)入過渡帶。整個主瓣仍在區(qū)間內(nèi)，而面積最大且為負(fù)值的旁瓣有一個已完整個主瓣仍在區(qū)間內(nèi)，而面積最大且為負(fù)值的旁瓣有一個已完全移出區(qū)間，故此時全移出區(qū)間，故此時H(ejw)取最大值約為取最大值約為1.0895 H(ej0) ，此處，此處稱為上臂峰或正肩峰。稱為上臂峰或正肩峰。 當(dāng)當(dāng)w=wc2p/N

31、 時時2022-2-3即主瓣的中心移到了即主瓣的中心移到了wc處，此時區(qū)間內(nèi)曲線下的面積近似處，此時區(qū)間內(nèi)曲線下的面積近似等于等于w=0時面積的一半，因此時面積的一半，因此H(ejwc) H(ej0)/2 當(dāng)當(dāng)w=wc時時2022-2-3 w繼續(xù)增大到繼續(xù)增大到p，H(ejw)隨著區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動而在阻帶內(nèi)隨著區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動而在阻帶內(nèi) 動搖動搖 整個主瓣完全移出了積分區(qū)間，而面積最大的一個負(fù)值旁整個主瓣完全移出了積分區(qū)間，而面積最大的一個負(fù)值旁瓣還全部在此積分區(qū)間內(nèi)，因此使得瓣還全部在此積分區(qū)間內(nèi)，因此使得H(ejw)取最小值，約取最小值，約為為-0.0895 H(ej0) ，此處稱為下臂峰

32、或負(fù)肩峰。，此處稱為下臂峰或負(fù)肩峰。 當(dāng)當(dāng)w=wc+2p/N時時2022-2-3由圖可知，加了矩形窗后所到的由圖可知，加了矩形窗后所到的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)與理想的頻響與理想的頻響Hd(ej)之間產(chǎn)生了差異，表現(xiàn)在之間產(chǎn)生了差異，表現(xiàn)在H(ej)出現(xiàn)了肩峰、過渡帶以及通帶和阻帶內(nèi)的波動，這就是所謂出現(xiàn)了肩峰、過渡帶以及通帶和阻帶內(nèi)的波動，這就是所謂的吉布斯現(xiàn)象。我們當(dāng)然希望肩峰和波動盡可能小，過渡帶的吉布斯現(xiàn)象。我們當(dāng)然希望肩峰和波動盡可能小，過渡帶盡可能窄，這樣才能更接近理想特件。盡可能窄，這樣才能更接近理想特件。下圖表示了下圖表示了H(ej)在在w 由由

33、-pp范圍內(nèi)變化的情況范圍內(nèi)變化的情況 -p 0的情況與的情況與0p對稱；對稱； H(ej)以以2p 為周期為周期2022-2-3出現(xiàn)的這些差異與哪些出素有關(guān)？出現(xiàn)的這些差異與哪些出素有關(guān)？過渡帶：正負(fù)肩峰之間為過渡帶，其寬度等于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬過渡帶：正負(fù)肩峰之間為過渡帶，其寬度等于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度此過渡帶與濾波器真正的過渡帶還有一些差別，濾波器真正的度此過渡帶與濾波器真正的過渡帶還有一些差別，濾波器真正的過渡帶要小一些對于矩形窗頻譜過渡帶要小一些對于矩形窗頻譜WR(ej)，此寬度為，此寬度為4/N。因此，。因此，過渡帶寬度與所選窗函數(shù)有關(guān)，而對于一定的窗函數(shù)，增大過渡帶寬度與所選窗函

34、數(shù)有關(guān)，而對于一定的窗函數(shù)，增大N可使可使過渡帶變陡。過渡帶變陡。肩峰及波動：這是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動就肩峰及波動：這是由窗函數(shù)頻譜的旁瓣引起的。旁瓣越多，波動就越快，旁瓣相對值越大，波動越厲害，肩峰也越強(qiáng)。不同窗函數(shù)的越快，旁瓣相對值越大，波動越厲害，肩峰也越強(qiáng)。不同窗函數(shù)的頻譜旁瓣情況不向，因此肩峰及波動與所選窗函數(shù)有關(guān)。頻譜旁瓣情況不向，因此肩峰及波動與所選窗函數(shù)有關(guān)。長度長度N的影響：長度的影響：長度N的改變只能改變的改變只能改變坐標(biāo)的比例以及窗函數(shù)頻譜坐標(biāo)的比例以及窗函數(shù)頻譜WR(ej) 的絕對大小，不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，因而也就的絕對大小，不能改變主瓣與

35、旁瓣的相對比例，因而也就不能改變肩峰和波動的相對大小，也就是說，增大不能改變肩峰和波動的相對大小，也就是說，增大N，只能使通、，只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快，振蕩幅度卻不減小。阻帶內(nèi)振蕩加快，振蕩幅度卻不減小。2022-2-3因此，窗口法設(shè)計(jì)因此，窗口法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器 h(n)長度長度N可以影響過渡帶的寬度，而所選窗函數(shù)不僅可以可以影響過渡帶的寬度，而所選窗函數(shù)不僅可以影響過渡帶寬度，還能影響肩峰和波動的大小，因此選擇窗影響過渡帶寬度，還能影響肩峰和波動的大小，因此選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜滿足：函數(shù)應(yīng)使其頻譜滿足： 主瓣寬度盡可能小，以使過渡帶盡可能陡；主瓣寬度盡可能小，以使過渡帶盡可能陡；

36、旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動減小。旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩峰和波動減小。 但對窗函數(shù)的這兩個要求總不能兼得，它們是相互制約的。但對窗函數(shù)的這兩個要求總不能兼得，它們是相互制約的。一般來說，若選擇的窗函數(shù)頻譜旁瓣較小，其主瓣就必定較一般來說，若選擇的窗函數(shù)頻譜旁瓣較小，其主瓣就必定較大，因此常常要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行折衷的選擇。大，因此常常要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行折衷的選擇。2022-2-3)()()( jjeWeW 21)(N因此，我們只需考察因此，我們只需考察w(n)和和W(w)的表示式即可。的表示式即可。由于偶對稱，所以相位函數(shù)都一樣由于偶對稱，所以相位函數(shù)都一樣三、幾種常用

37、窗函數(shù)三、幾種常用窗函數(shù) 這里介紹幾種常見窗函數(shù)，它們的長度均設(shè)為這里介紹幾種常見窗函數(shù)，它們的長度均設(shè)為N，N可以可以是奇數(shù)或偶數(shù)，但是奇數(shù)或偶數(shù)，但w(n)都是偶對稱的。都是偶對稱的。 w(n)的頻譜可以表示為：的頻譜可以表示為：2022-2-3 else 021-N|n| 1)(nwR2sin2sin)( NeWjR以上為對稱中心在以上為對稱中心在n0處的非因果矩形窗處的非因果矩形窗其頻譜為其頻譜為02p/N-2p/NWR(ej)1wR(n)n0-(N-1)/2(N-1)/2矩形窗矩形窗前面討論的矩形窗函數(shù)為前面討論的矩形窗函數(shù)為2022-2-31wR(n)n0N-1(N-1)/2 el

38、se 01n0 1)(NnwR)()( nwnwNRwR(n)對稱中心移到了對稱中心移到了(N-1)/2，這，這相當(dāng)于相當(dāng)于wN(n)有了有了t=(N-1)/2的延時的延時因此頻譜變?yōu)橐虼祟l譜變?yōu)?)()( jNjjReWeeW2sin2sin21 NeNj02p/N-2p/NWR()2sin2sin)( NWR 21)(N將矩形窗右移將矩形窗右移主瓣寬度為主瓣寬度為4/N2022-2-3 1n21)-(N21)-(Nn0 1)-(Nn22 1)-(Nn2)(Nnw1w(n)n0N-1(N-1)/2 2122sin41sin12)(NjjeNNeW頻譜為：頻譜為：當(dāng)當(dāng)N1時時 2122sin4

39、sin2)(NjjeNNeW主瓣寬度為主瓣寬度為8/N三角形窗三角形窗2022-2-3 else 01n0 12cos121)(NNnnw1w(n)n0N-1(N-1)/2 21)12(25. 0)12(25. 0)(5 . 0)(NjRRRjeNWNWWeW頻譜為：頻譜為：當(dāng)當(dāng)N 1時，幅度頻譜近似為：時，幅度頻譜近似為：)2(25. 0)2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 升余弦窗升余弦窗漢寧漢寧(Hanning)窗窗2022-2-3頻譜特性如圖，由于這三部分頻譜的相加，使總頻譜的旁頻譜特性如圖，由于這三部分頻譜的相加，使總頻譜的旁瓣大大抵銷，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，

40、但其代價瓣大大抵銷，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，但其代價是使主瓣與矩形窗主瓣相比加寬了一倍，為是使主瓣與矩形窗主瓣相比加寬了一倍，為8p/NW(w)04p/N4p/N02p/N-2p/N-4p/N4p/N0.5WR()2(25. 0)2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 0.25WR(-2p/N)0.25WR(+2p/N)W()2022-2-3 else 01n0 12cos46. 054. 0)(NNnnw)12(23. 0)12(23. 0)(54. 0)( NWNWWWRRR其幅度頻譜為：其幅度頻譜為：當(dāng)當(dāng)N1時時)2(23. 0)2(23. 0)(54. 0)(NWNW

41、WWRRR 可將可將99963%的能量集中在主瓣內(nèi)，而主瓣寬度仍與漢寧窗的能量集中在主瓣內(nèi)，而主瓣寬度仍與漢寧窗一樣一樣(8p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%改進(jìn)的升余弦窗改進(jìn)的升余弦窗哈明哈明(Hamming)窗窗 對升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，對升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗函數(shù)為：窗函數(shù)為：2022-2-3 else 01n0 12cos)1()(NNnnw漢寧窗漢寧窗a0.5；對于哈明窗；對于哈明窗a0.54。二階升余弦窗一布萊克曼二階升余弦窗一布萊克曼(Blackman)窗窗為了進(jìn)一步抑制旁瓣，可以

42、對升余弦窗再加一個二次諧波的為了進(jìn)一步抑制旁瓣，可以對升余弦窗再加一個二次諧波的余弦分量，這樣得到窗函數(shù)為：余弦分量，這樣得到窗函數(shù)為： else 01n0 14cos 08. 012cos5 . 042. 0)(NNnNnnw顯然，漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為顯然，漢寧窗和哈明窗可以統(tǒng)一表示為2022-2-3布萊克曼布萊克曼)14(04. 0)14(04. 0)12(25. 0)12(25. 0)(42. 0)( NWNWNWNWWWRRRRR可得到更低的旁瓣，但主瓣寬度加寬到矩形窗的三倍可得到更低的旁瓣，但主瓣寬度加寬到矩形窗的三倍(12p/N)各種窗函數(shù)的比較：各種窗函數(shù)的比較：1w(n

43、)n0N-1(N-1)/2矩形窗矩形窗三角形三角形哈明哈明漢寧漢寧其幅度頻譜為：其幅度頻譜為：2022-2-3矩形窗函數(shù)的傅氏變換矩形窗函數(shù)的傅氏變換（N=51） 旁瓣峰值衰減旁瓣峰值衰減 -13dB主瓣寬度主瓣寬度4p/N（書表達(dá)不準(zhǔn)）（書表達(dá)不準(zhǔn)）理想低通濾波器加窗后理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)，的幅度響應(yīng)， wc0.5p過渡帶過渡帶1.8p/N阻帶最小衰減阻帶最小衰減 -21dBa 矩形窗矩形窗參見書參見書P158表表7.12022-2-3三角形窗函數(shù)的傅氏變換三角形窗函數(shù)的傅氏變換（N=51）旁瓣峰值衰減旁瓣峰值衰減 -25dB主瓣寬度主瓣寬度8p/N理想低通濾波器加窗后理想低通濾波

44、器加窗后的幅度響應(yīng)，的幅度響應(yīng)，wc0.5p 過渡帶過渡帶4.2p/N阻帶最小衰減阻帶最小衰減 -25dBb 三角形三角形2022-2-3漢寧窗函數(shù)的傅氏變換漢寧窗函數(shù)的傅氏變換（N=51）旁瓣峰值衰減旁瓣峰值衰減 -31dB主瓣寬度主瓣寬度8p/N理想低通濾波器加窗后理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)，的幅度響應(yīng)，wc0.5p 過渡帶過渡帶6.2p/N阻帶最小衰減阻帶最小衰減 -44dBc 漢寧窗漢寧窗2022-2-3哈明窗函數(shù)的傅氏變換哈明窗函數(shù)的傅氏變換（N=51）旁瓣峰值衰減旁瓣峰值衰減 -41dB主瓣寬度主瓣寬度8p/N理想低通濾波器加窗后理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)，的幅度響應(yīng)，wc

45、0.5p 過渡帶過渡帶6.6p/N阻帶最小衰減阻帶最小衰減 -53dBd 哈明窗哈明窗2022-2-3布萊克曼窗函數(shù)的傅氏布萊克曼窗函數(shù)的傅氏變換變換(N=51)旁瓣峰值衰減旁瓣峰值衰減 -57dB主瓣寬度主瓣寬度12p/N理想低通濾波器加窗后理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)，的幅度響應(yīng)，wc0.5p 過渡帶過渡帶11p/N阻帶最小衰減阻帶最小衰減 -74dBe 布萊克曼窗布萊克曼窗2022-2-3以上幾種窗函數(shù)都是以一定的主瓣加寬為代價來換取某種以上幾種窗函數(shù)都是以一定的主瓣加寬為代價來換取某種程度的旁瓣抑制。程度的旁瓣抑制。凱塞窗凱塞窗(Kaiser)凱塞窗本身就可以全面地反映主瓣寬度與旁瓣

46、衰減之間的交凱塞窗本身就可以全面地反映主瓣寬度與旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，它可以通過某一參數(shù)的調(diào)整在二者之間自由地選換關(guān)系，它可以通過某一參數(shù)的調(diào)整在二者之間自由地選擇它們的比重略）擇它們的比重略）2022-2-3四、設(shè)計(jì)方法四、設(shè)計(jì)方法首先給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)首先給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)。其次求其反變換，得到無限長序列其次求其反變換，得到無限長序列hd(n) 。由過渡帶及阻帶最小衰減的要求，利用表由過渡帶及阻帶最小衰減的要求，利用表7.1或表或表7.2，選定窗，選定窗函數(shù)函數(shù)w(n)的形狀及的形狀及N的大小，一般的大小，一般N要通過幾次試探而確定。要通過幾次試探而確定。求得所設(shè)

47、計(jì)的求得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)。濾波器的單位抽樣響應(yīng)。h(n) = hd(n)w(n)求求H(ej)，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求。，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求。（如不滿足需重新設(shè)計(jì)）（如不滿足需重新設(shè)計(jì)）2022-2-3 nnnnhcd- )sin()(n0hd(n)根據(jù)根據(jù)h(n)=hd(n)w(n)，w(n)與與h(n)都為都為0N-1，且對稱中心，且對稱中心為為(N-1)/2，所以要求對，所以要求對hd(n)進(jìn)行移位，才能得到正確的進(jìn)行移位，才能得到正確的h(n)前面介紹窗函數(shù)的理論時的分析，雖然是針對矩形窗，但其前面介紹窗函數(shù)的理論時的分析，雖然是針對矩形窗，但其基本原則和所得結(jié)論對于

48、采用其他窗時也完全適合。只是所基本原則和所得結(jié)論對于采用其他窗時也完全適合。只是所涉及的序列都是以涉及的序列都是以n=0為對稱中心的，即都是非因果的，但為對稱中心的，即都是非因果的，但實(shí)際中，所要求的濾波器都應(yīng)當(dāng)是因果的，即要求實(shí)際中，所要求的濾波器都應(yīng)當(dāng)是因果的，即要求h(n)為因?yàn)橐蚬蛄泄蛄?0N-1)。2022-2-3 nnnnhcd- )()sin()( 阻帶阻帶通帶通帶 0 )(jjdeeHn0)21Nn(hd (N-1)/2N-1這樣將這樣將hd(n)加窗后，加窗后，w(n)是偶對稱因果序列，所以是偶對稱因果序列，所以h(n)也是也是偶對稱因果序列，對稱中心在偶對稱因果序列，對

49、稱中心在 t=(N-1)/2。H(ej)=H(w)ejq() ，H(w)與對稱中心在與對稱中心在n=0的的hd(n)的頻譜的頻譜一樣，但一樣，但 21)(N將將hd(n)對稱中心移至對稱中心移至t=(N-1)/2，相當(dāng)于，相當(dāng)于延時延時t （N為奇數(shù)）為奇數(shù)）2022-2-3例例7-2-1：設(shè)計(jì)一個線性相位：設(shè)計(jì)一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為低通濾波器，給定抽樣頻率為Ws=2p1.5104(rad/s)，通帶截止頻率為，通帶截止頻率為Wp=2p1.5103(rad/s)，阻帶截止頻率阻帶截止頻率Wst=2p3103(rad/s)，阻帶衰減，阻帶衰減d2不小于不小于-50dB。幅度

50、特性如圖：幅度特性如圖：01|H(j)|st0.50dB-50dBpc解：解：(1)求對應(yīng)的數(shù)字頻率求對應(yīng)的數(shù)字頻率 2 .0/2spppT 4 .0/2sstststT(2)設(shè)設(shè)Hd(ej)為理想線性相位濾波器為理想線性相位濾波器 lse 0| )(ceeeHjjd2022-2-3理想濾波器截止頻率理想濾波器截止頻率Wc為兩個肩峰值處頻率的中點(diǎn)，為兩個肩峰值處頻率的中點(diǎn)，所以可近似有所以可近似有 Wc (Wp + Wst)/2= 2p2.25103(rad/s) 3 .0/2scccT(3)求求hd(n) 直接反變換直接反變換 )(n )(n )()sin()(21)(21)(cncnccd

51、edeeHnhnjjnjdd(4)由阻帶衰減來確定窗形狀由阻帶衰減來確定窗形狀 ，由過渡帶求，由過渡帶求N d2不小于不小于50dB，查表，查表7.1可選哈明窗，其阻帶最小衰減可選哈明窗，其阻帶最小衰減53dB2022-2-3哈明窗過渡帶寬為哈明窗過渡帶寬為 Dw=wst -wp = 6.6p/N = 0.4p-0.2p = 0.2p，求得，求得N = 33t=(N-1)/2=16(5)由由w(n)確定確定h(n) else 01n0 12cos46. 054. 0)(NNnnw)()()(nwnhnhd )(12cos46. 054. 0nRNnN )(12cos46. 054. 0)()s

52、in(nRNnnnNc )(16cos46. 054. 0)16()16(3 . 0sin33nRnnn 2022-2-3(6)由由h(n)求求H(ej)，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要改變改變N或改變窗形狀重新計(jì)算?；蚋淖兇靶螤钪匦掠?jì)算。 H(ej)圖形如下，滿足要求。圖形如下，滿足要求。2022-2-3 lse 0| )(ceeeHjjd )()sin(nn是全通濾波器，因此一個高通濾波器相當(dāng)于一個是全通濾波器，因此一個高通濾波器相當(dāng)于一個全通濾波器減去一個低通濾波器。全通濾波器減去一個低通濾波器。留意：確定留意：確定N時只能取奇數(shù)。時只能取奇數(shù)

53、。H(p)=0 )(n )(n )()sin()sin()(ccdnnnnh幾種常見濾波器得頻率響應(yīng)幾種常見濾波器得頻率響應(yīng) 理想線性相位高通濾波器理想線性相位高通濾波器2022-2-3 lsee 0| 0 e)e (H21jjd )(n )(n )()sin()sin()(1212nnnnhd一個帶通濾波器相當(dāng)于兩個低通濾波器相減，其中一個截止一個帶通濾波器相當(dāng)于兩個低通濾波器相減，其中一個截止頻率為頻率為w2 ，令一個截止頻率為，令一個截止頻率為w1 。當(dāng)。當(dāng)w1 =0 、w2 = wc 時，時，即為理想低通，當(dāng)即為理想低通，當(dāng)w1 = wc 、w2 =p時，即為理想高通。時，即為理想高通

54、。理想線性相位帶通濾波器理想線性相位帶通濾波器2022-2-3 lse 0| ,| 0 )(21eeeHjjd )(n )(n )()sin()sin()sin()(2121nnnnnhd理想線性相位帶阻濾波器理想線性相位帶阻濾波器一個帶阻濾波器相當(dāng)于一個低通濾波器截止頻率為一個帶阻濾波器相當(dāng)于一個低通濾波器截止頻率為w1 ）加上一個高通濾波器截止頻率為加上一個高通濾波器截止頻率為w2 ） 留意：確定留意：確定N時只能取奇數(shù)。時只能取奇數(shù)。H(p)=02022-2-3 窗口法是以時域?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)來設(shè)計(jì)窗口法是以時域?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)來設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的。頻率數(shù)字濾波器的。頻率取樣法則是從頻域出發(fā)，以有限

55、個頻率響應(yīng)抽樣，去近似取樣法則是從頻域出發(fā)，以有限個頻率響應(yīng)抽樣，去近似理想的頻率響應(yīng)。理想的頻率響應(yīng)。 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可由可由H(k)通過一個內(nèi)插式精確通過一個內(nèi)插式精確的恢復(fù)的恢復(fù) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH)(| )(| )()(22kNjkNjWzeHeHzHkHkN 其中其中H(k)即為頻率取樣即為頻率取樣2022-2-31-N,0,1,k )(| )()(22 kNjdkNjddeHeHkH令令H(k)Hd(k)，即以，即以Hd(k)作為實(shí)際作為實(shí)際FIR濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)樣值樣值H(k)，然后通過內(nèi)插式所求得的，然后

56、通過內(nèi)插式所求得的H(z)和和H(ej) ，就可以，就可以逼近理想系統(tǒng)函數(shù)逼近理想系統(tǒng)函數(shù)Hd(z) 和和Hd(ej) 。我們對理想頻率響應(yīng)我們對理想頻率響應(yīng)Hd(ej)進(jìn)行取樣，即進(jìn)行取樣，即在各頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格的和理想在各頻率抽樣點(diǎn)上，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格的和理想頻率響應(yīng)數(shù)值對應(yīng)，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是由各頻率響應(yīng)數(shù)值對應(yīng)，但是在抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是由各抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加形成，因而有一定的逼近誤差。抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加形成，因而有一定的逼近誤差。誤差的大小取決于理想頻響的曲線形狀。誤差的大小取決于理想頻響的曲線形狀。2022-2-30 2

57、p/NHd(ej)H(ej)H(k)0H(ej)Hd(ej)取樣點(diǎn)之間理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理取樣點(diǎn)之間理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想，逼近誤差越小。反之理想頻率響應(yīng)特性變化越陡，則內(nèi)插想，逼近誤差越小。反之理想頻率響應(yīng)特性變化越陡，則內(nèi)插值與逼近誤差越大，因而在理想特性不連續(xù)點(diǎn)附近就會產(chǎn)生肩值與逼近誤差越大，因而在理想特性不連續(xù)點(diǎn)附近就會產(chǎn)生肩峰與波紋峰與波紋2022-2-3 如果我們所設(shè)計(jì)的如果我們所設(shè)計(jì)的FIR濾波器是線性相位的，還必須使取濾波器是線性相位的，還必須使取樣頻響的幅度和相位遵守樣頻響的幅度和相位遵守7.1節(jié)中所討論的約束條件。節(jié)中所討論的

58、約束條件。 對于第一類線性相位對于第一類線性相位FIR濾波器，即濾波器，即h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇為奇數(shù)數(shù) h(n)=h(N-1-n)()()( jjeHeH幅度函數(shù)幅度函數(shù)相位函數(shù)相位函數(shù) 210cos)()(NnnnaH 21)(NkNNjkNjeHeHkH 2212|)(| )()(令抽樣值也用幅值和相角表示令抽樣值也用幅值和相角表示 H(k)=Hkejk一、線性相位的約束一、線性相位的約束2022-2-37.3.1 )11(221)2(NkkNNkNHHkk 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镠(w)在在02p是是w的偶函數(shù)，且以的偶函數(shù)，且以2p為周期為周期 ，即有即有 H(w) = H(w) =

59、H(2pw) 那么樣值也為偶對稱那么樣值也為偶對稱 H(2pk/N) = H(2p 2pk/N)，即即 HkHNk 7.3.2就是說，當(dāng)所設(shè)計(jì)的就是說，當(dāng)所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位取樣響應(yīng)濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)為為偶對稱，且偶對稱，且N為奇數(shù)時，取樣頻響為奇數(shù)時，取樣頻響H(k)的相位和幅度的相位和幅度應(yīng)滿足式應(yīng)滿足式7.3.1和式和式7.3. 2。所以有所以有2022-2-3)11(Nkk 因?yàn)橐驗(yàn)镠(w)在在02p是是w的奇函數(shù)，且以的奇函數(shù)，且以2p為周期為周期 ， 即有即有 H(w) = H(2pw) 那么樣值也為奇對稱那么樣值也為奇對稱 H(2pk/N) = H(2p 2pk/

60、N)， 即即 HkHNk（第三類和第四類濾波器以此類推）（第三類和第四類濾波器以此類推）對于第二類線性相位對于第二類線性相位FIR濾波器，即濾波器，即h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)kk即同樣滿足即同樣滿足2022-2-3ImzRez01N=12-12p/NImzRez01N=11-12p/N二、頻率取樣的兩種方法二、頻率取樣的兩種方法 對對Hd(ej)進(jìn)行頻率抽樣，就是在進(jìn)行頻率抽樣，就是在z平面單位圓上的平面單位圓上的N個等間個等間隔點(diǎn)上抽取出頻率響應(yīng)值。在單位圓上可以有兩種抽樣方隔點(diǎn)上抽取出頻率響應(yīng)值。在單位圓上可以有兩種抽樣方式，第一種是第一個抽樣點(diǎn)在式，第一種是第一個抽樣點(diǎn)在w