線面角、面面角強化訓(xùn)練(含答案)

1、線面角、面面角強化訓(xùn)練一解答題（共24小題）1（2012浙江）如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中點，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點（1）證明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值2（2010湖南）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點（）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論3（2009湖南）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A

2、B=4，AA1=，點D是BC的中點，點E在AC上，且DEA1E（1）證明：平面A1DE平面ACC1A1；（2）求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值4（2008上海）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點求直線DE與平面ABCD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）5（2005黑龍江）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點（1）求證：EF面PAB；（2）若，求AC與面AEF所成的角6如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面

3、SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小7（2011北京）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60°（）求證：BD平面PAC；（）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；（）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長8（2008安徽）如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC=，OA底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點（）證明：直線MN平面OCD；（）求異面直線AB與MD所成角的大小；（）求點B到平面OCD的距離9（2005北京）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB

4、=5，AA1=4，點D為AB的中點（）求證ACBC1；（）求證AC1平面CDB1；（）求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值10（2009江西）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N（1）求證：平面ABM平面PCD；（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大?。唬?）求點N到平面ACM的距離11（2008海南）如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA=60°（）求DP與CC所成角的大?。唬ǎ┣驞P與平面AADD所成角的大小12如圖，四棱錐PABCD中，底面A

5、BCD為菱形，PA底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC（）證明：PC平面BED；（）設(shè)二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小13（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求異面直線CC1和AB的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值14（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求點C到平面A1ABB1的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值15（2012浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，底面是

6、邊長為的菱形，BAD=120°，且PA平面ABCD，PA=，M，N分別為PB，PD的中點（1）證明：MN平面ABCD；（2）過點A作AQPC，垂足為點Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值16（2012四川）如圖，在三棱錐PABC中，APB=90°，PAB=60°，AB=BC=CA，點P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上（）求直線PC與平面ABC所成的角的大?。唬ǎ┣蠖娼荁APC的大小17（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求證：BD平面AED；（）求二面角

7、FBDC的余弦值18（2011遼寧）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角QBPC的余弦值19如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD（）證明：PABD；（）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值20如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的，底面邊長是側(cè)棱長2倍，D、E分別是AC、A1C1的中點；（）求證：直線AE平面BDC1；（）求證：直線A1D平面BDC1；（）求直線A1C1與平面BDC1所成的角21已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=

8、90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1AC1（）求證：AC1平面A1BC；（）求C1到平面A1AB的距離；（）求二面角AA1BC的余弦值22已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點（）求證：AF平面PEC；（）求PC與平面ABCD所成角的大?。唬ǎ┣蠖娼荘一EC一D的大小23如圖，ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF（1）求證：A1FC1E；（2）當(dāng)A1、E、F、C1共面時，求：D1到直線C1E的距離；面A1DE與

9、面C1DF所成二面角的余弦值24如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=CC1=2，ACBC，點D是AB的中點（）求證：AC1平面CDB1；（）求點B到平面CDB1的距離；（）求二面角BB1CD的大小線面角、面面角強化訓(xùn)練參考答案與試題解析一解答題（共24小題）1（2012浙江）如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中點，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點（1）證明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值考點：直線與平面所成的角；直線

10、與平面垂直的判定716536 專題：綜合題分析：（1）（i）先由C1B1A1D1證明C1B1平面ADD1A1，再由線面平行的性質(zhì)定理得出C1B1EF，證出EFA1D1（ii）易通過證明B1C1平面ABB1A1得出B1C1BA1，再由tanA1B1F=tanAA1B=，即A1B1F=AA1B，得出BA1B1F所以BA1平面B1C1EF；（2）設(shè)BA1與B1F交點為H，連接C1H，由（1）知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角在RTBHC1中求解即可解答：（1）證明（i）C1B1A1D1，C1B1平面ADD1A1，C1B1平面ADD1A1，又C1B1平面B1C1E

11、F，平面B1C1EF平面平面ADD1A1=EF，C1B1EF，EFA1D1；（ii）BB1平面A1B1C1D1，BB1B1C1，又B1C1B1A1，B1C1平面ABB1A1，B1C1BA1，在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點，tanA1B1F=tanAA1B=，即A1B1F=AA1B，故BA1B1F所以BA1平面B1C1EF；（2）解：設(shè)BA1與B1F交點為H，連接C1H，由（1）知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RTBHC1中，BC1=2，sinBC1H=，所以BC1與平面B1C1EF所成的角的正

12、弦值是點評：本題考查空間直線、平面位置故選的判定，線面角求解考查空間想象能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化、計算能力2（2010湖南）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點（）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論考點：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角716536 專題：計算題；證明題分析：（I）先取AA1的中點M，連接EM，BM，根據(jù)中位線定理可知EMAD，而AD平面ABB1A1，則EM面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，則EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角，設(shè)

13、正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在RTBEM中，求出此角的正弦值即可（II）在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因A1D1，B1C1，BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，根據(jù)中位線定理可知EGA1B，從而說明A1，B，G，E共面，則BG面A1BE，根據(jù)FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形，則B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根據(jù)線面平行的判定定理可知B1F平面A1BE解答：解：（I）如圖（a），取AA1的中點M，連接EM

14、，BM，因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD又在正方體ABCDA1B1C1D1中AD平面ABB1A1，所以EM面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=，于是在RTBEM中，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為（II）在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE，事實上，如圖（b）所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因A1D1，B1C1，BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此因此D1CA1B，又E

15、，G分別為D1D，CD的中點，所以EGD1C，從而EGA1B，這說明A1，B，G，E共面，所以BGA1BE因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE點評：本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考查考生探究能力、空間想象能力3（2009湖南）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AA1=，點D是BC的中點，點E在AC上，且DEA1E（1）證明：平面A1DE平面ACC1A1；（2）求直線AD

16、和平面A1DE所成角的正弦值考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角716536 專題：計算題；證明題分析：（1）先由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面ABC，DEAA1再由DEA1EDE平面ACC1A1即可得出結(jié)論；（2）設(shè)O是AC的中點先建立一個以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)各點的坐標(biāo)再利用線面角的求法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)找到直線AD和平面A1DE所成角的正弦值即可解答：解：（1）證明：如圖所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面ABC又DE平面ABC，所以DEAA1而DEA1EAA1A1E=A1，所以DE平面ACC1A1又DE平面A1DE，故平面A1DE

17、平面ACC1A1（2）如圖所求，設(shè)O是AC的中點，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A（2，0，0），A1（2，0，），D（1，0），E（1，0，0）易知=（3，），D=（0，0），A=（3，0）設(shè)n=（x，y，z）是平面A1DE的一個法向量，解得x=z，y=0故可取n=（，0，3）于是cosn，A=由此即知，直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直4（2008上海）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點求直線DE與平面A

18、BCD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）考點：直線與平面所成的角716536 專題：計算題分析：過E作EFBC，交BC于F，連接DF，得到EDF是直線DE與平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可解答：解：過E作EFBC，交BC于F，連接DFEFBC，CC1BCEFCC1，而CC1平面ABCDEF平面ABCD，EDF是直線DE與平面ABCD所成的角（4分）由題意，得EF=（8分）EFDF，（10分）故直線DE與平面ABCD所成角的大小是（12分）點評：本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題5（2005黑龍江）如圖，四棱錐PA

19、BCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點（1）求證：EF面PAB；（2）若，求AC與面AEF所成的角考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角716536 分析：方法一：（1）取PA中點G，連接FG，DG，證明DG平面PABDE，根據(jù)FEDG，得出EF面PAB；（2）由圖形知線面角不易做出，但斜線AC的長度易求出，且可用等體積法算出C到而AEF的距離，如此則可以算出線面角的正弦值此法省卻了作圖的麻煩方法二：由題設(shè)建立空間坐標(biāo)系比較方便，故可用空間向量法解決，（1）求出直線的方向向量與面的法向量，證明其內(nèi)積為0即可（2）求出面的法向量與線的方向

20、向量，按規(guī)則求出線面角即可解答：解：方法一：（1）取PA中點G，連接FG，DG四邊形DEFG為平行四邊形EFDG平面PAB平面PAD又PD=AD，PG=GADGPADG平面PABDE，又FEDGEF平面PAB（6分）（2）設(shè)AC，BD交于O，連接FO由PF=BF，BO=OD得FOPD，又PD平面ABCDFO平面ABCD設(shè)BC=a，則AB=a，PA=a，DG=a=EF，PB=2a，AF=a設(shè)C到平面AEF的距離為hVCAEF=VFACE，即AC與平面AEF所成角的正弦值為即AC與平面AEF所成角為（12分）方法二：以D為坐標(biāo)原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）證明：設(shè)E（a，0

21、，0），其中a0，則，又PB平面PAB，AB平面PAB，PBAB=B，EF平面PAB（6分）（2）解：由，得，可得，則異面直線AC，PB所成的角為，又PBEF，AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線，PB平面AEF，AC與平面AEF所成的角為，即AC與平面AEF所成的角為（12分）點評：考查用幾何法與向量法證明空間幾何體中的線面垂直問題及求線面夾角的問題6如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角716536 專題：計算題；證明題分析：（

22、1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可（）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當(dāng)為銳角時，所求的角即為它的余角；當(dāng)為鈍角時，所求的角為解答：（）證明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2SA=2SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系則A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐SABCD中

23、，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設(shè)平面SBC的一個法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個法向量為=（0，1）又=（0，2，0）sin，=，=arcsin即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題7（2011北京）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60°（）求證：BD平面PAC；（）若PA=AB，求PB與AC所成角

24、的余弦值；（）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長考點：直線與平面垂直的判定；點、線、面間的距離計算；用空間向量求直線間的夾角、距離716536 專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想分析：（I）由已知條件可得ACBD，PABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證（II）結(jié)合已知條件，設(shè)AC與BD的交點為O，則OBOC，故考慮分別以O(shè)B，OC，為x軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PB與AC所成的角為，則，代入公式可求（III）分別求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC平面PDC可得從而可求t即PA解答：解：（I）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD，

25、又因為PA平面ABCD，所以PABD，PAAC=A所以BD平面PAC（II）設(shè)ACBD=O，因為BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，為x軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）所以，設(shè)PB與AC所成的角為，則cos=|（III）由（II）知，設(shè)，則設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z）則=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因為平面PBC平面PDC，所以=0，即6+=0，解得t=，所以PA=點評：本小題主要考查空間

26、線面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的夾角、距離等問題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力8（2008安徽）如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC=，OA底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點（）證明：直線MN平面OCD；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬ǎ┣簏cB到平面OCD的距離考點：用空間向量求直線間的夾角、距離；用向量證明平行716536 分析：方法一：（1）取OB中點E，連接ME，NE，證明平面MNE平面OCD，方法是兩個平面內(nèi)相交直線互相平行得到，從而的到

27、MN平面OCD；（2）CDAB，MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）作APCD于P，連接MPOA平面ABCD，CDMP菱形的對角相等得到ABC=ADC=，利用菱形邊長等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函數(shù)定義求出即可（3）AB平面OCD，點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQOP于點Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD，又AQOP，AQ平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，求出距離可得方法二：（1）分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，分別表示出A，B，O，M，N的坐標(biāo)，求出，的坐標(biāo)表示

28、設(shè)平面OCD的法向量為=（x，y，z），則，解得，MN平面OCD（2）設(shè)AB與MD所成的角為，表示出和，利用ab=|a|b|cos求出叫即可（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對值，由，得所以點B到平面OCD的距離為解答：解：方法一（綜合法）（1）取OB中點E，連接ME，NEMEAB，ABCD，MECD又NEOC，平面MNE平面OCDMN平面OCD（2）CDAB，MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）作APCD于P，連接MPOA平面ABCD，CDMP，所以AB與MD所成角的大小為（3）AB平面OCD，點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQOP于

29、點Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD又AQOP，AQ平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，所以點B到平面OCD的距離為方法二（向量法）作APCD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系：A（0，0，0），B（1，0，0），O（0，0，2），M（0，0，1），（1），設(shè)平面OCD的法向量為n=（x，y，z），則=0，=0即取，解得=（，1）（0，4，）=0，MN平面OCD（2）設(shè)AB與MD所成的角為，AB與MD所成角的大小為（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量=（0，4，）上的投影的絕對值，由，得d=所以點B到平面OCD的距離為

30、點評：培養(yǎng)學(xué)生利用多種方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查學(xué)生利用空間向量求直線間的夾角和距離的能力9（2005北京）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D為AB的中點（）求證ACBC1；（）求證AC1平面CDB1；（）求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值考點：用空間向量求直線間的夾角、距離；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定716536 專題：計算題；證明題分析：解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判斷出ACBC，同時因為三棱柱為直三棱柱，從而證出（2）：因為D為AB的中點，連接C1B和CB1交點為E，連接DE，

31、D是AB的中點，E是BC1的中點，根據(jù)三角形中位線定理得DEAC1，得到AC1平面CDB1；第三問：因為AC1DE，所以CED為AC1與B1C所成的角，求出此角即可解法二：利用空間向量法如圖建立坐標(biāo)系，（1）：證得向量點積為零即得垂直（2）：=，與兩個向量或者共線或者平行可得第三問：解答：證明：（）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，ACBC1；（）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連接DE，D是AB的中點，E是BC1的中點，DEAC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1；（）DEAC1，CED為AC

32、1與B1C所成的角，在CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，cosCED=，異面直線AC1與B1C所成角的余弦值解法二：直三棱錐ABCA1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（）=（3，0，0），=（0，4，4），=0，（）設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E（0，2，2）=（，0，2），=（3，0，4），=，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（）=（3，0，0），=（0，4，4），cos，=，

33、異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為點評：本題考查向量的幾何意義ab=|a|b|cos；向量垂直ab=0；直線與平面的證明方法10（2009江西）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N（1）求證：平面ABM平面PCD；（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大??；（3）求點N到平面ACM的距離考點：用空間向量求直線與平面的夾角；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角716536 專題：空間向量及應(yīng)用分析：法一：（1）要證平面ABM平面PCD，只需證明平面PCD內(nèi)的直線PD，垂直平面P

34、AD內(nèi)的兩條相交直線BM、AB即可；（ 2）先根據(jù)體積相等求出D到平面ACM的距離為h，即可求直線PC與平面ABM所成的角；（3）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點P到平面ACM距離的，設(shè)點P到平面ACM距離為h，再利用第二問的結(jié)論即可得到答案法二：建立空間直角坐標(biāo)系，（ 2）求出平面ACM的一個法向量，結(jié)合然后求出 即可（3）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點P到平面ACM距離的，再利用向量的射影公式直接求點P到平面ACM距離h即可得到結(jié)論解答：解：方法一：（1）圖1依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AMMC又因為P A平面ABCD，則PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，則CDAM，所以A M

35、平面PCD，所以平面ABM平面PCD（2）由（1）知，AMPD，又PA=AD，則M是PD的中點可得，則設(shè)D到平面ACM的距離為h，由VDACM=VMACD即，可求得，設(shè)所求角為，則，（3）可求得PC=6因為ANNC，由（7），得PN=（8）所以NC：PC=5：9（9）故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為方法二：（1）同方法一；（2）如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；設(shè)平面ACM的一個法向量，由可得：

36、，令z=1，則設(shè)所求角為，則，所以所求角的大小為（3）由條件可得，ANNC在RtPAC中，PA2=PNPC，所以，則，所以所求距離等于點P到平面ACM距離的，設(shè)點P到平面ACM距離為h則，所以所求距離為點評：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，三垂線定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題再用空間向量求線面角時，關(guān)鍵是求出平面的法向量以及直線的方向向量11（2008海南）如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA=60°（）求DP與CC所成角的大?。唬ǎ┣驞P與平面AADD所成角的大小考點：用空間向量求直線與平面的夾角；用空間向量求直線

37、間的夾角、距離716536 專題：證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想分析：方法一：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz連接BD，B'D'在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H求出（）利用，求出即可（）平面AA'D'D的一個法向量是通過，得到即可方法二：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz求出解題過程同方法一解答：解：方法一：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz則，連接BD，B'D'在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H設(shè)，

38、由已知，由可得解得，所以（4分）（）因為，所以即DP與CC'所成的角為45°（8分）（）平面AA'D'D的一個法向量是因為，所以可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°（12分）方法二：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz則，設(shè)P（x，y，z）則，（x1，y1，z）=（，），則，由已知，24+2=0，解得，（4分）（）因為，所以即DP與CC'所成的角為45°（8分）（）平面AA'D'D的一個法向量是因為，所以可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°（1

39、2分）點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力12如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC（）證明：PC平面BED；（）設(shè)二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系716536 專題：計算題分析：（I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（，b，0），從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PCBE，PCDE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可

40、；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角解答：解：（I）以A為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)D（，b，0），則C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，b，0）=（2，0，2），=（，b，），=（，b，）=0，=0PCBE，PCDE，BEDE=EPC平面BED（II）=（0，0，2），=（，b，0）設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則取=（b，0）設(shè)平面PBC的法向量為=（p，q，r），則取=（1，）平面PAB平面PBC，=b=0故b=（1，1

41、，），=（，2）cos，=設(shè)PD與平面PBC所成角為，則sin=30°PD與平面PBC所成角的大小為30°點評：本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運算量，屬中檔題13（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求異面直線CC1和AB的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值考點：用空間向量求平面間的夾角；點、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法716536 專題：計算題；證明題分析：（）先根據(jù)條件得到CDAB以及C

42、C1CD，進(jìn)而求出C的長即可；（）解法一；先根據(jù)條件得到A1DB1為所求的二面角A1CDB1的平面角，再根據(jù)三角形相似求出棱柱的高，進(jìn)而在三角形A1DB1中求出結(jié)論即可；解法二：過D作DD1AA1交A1B1于D1，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量的坐標(biāo)，最后代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論解答：解：（）解：因為AC=BC，D為AB的中點，故CDAB，又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以異面直線CC1和AB的距離為：CD=（）解法一；由CDAB，CDBB1，故CD平面A1ABB1，從而CDDA1，CDDB1，故A1DB1為所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面

43、A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1A1D，從而A1AB1，A1DA都與B1AB互余，因此A1AB1=A1DA，所以RTA1ADRTB1A1A，因此=，得=ADA1B1=8，從而A1D=2，B1D=A1D=2所以在三角形A1DB1中，cosA1DB1=解法二：過D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一問知：DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系DXYZ設(shè)直三棱柱的高為h，則A（2，0，0），A1（2，0，h）B1（2，0，h）C（0，0）從而=（4，0，h），=（2，h）由AB1A1

44、C得=0，即8h2=0，因此h=2，故=（1，0，2），=（2，0，2），=（0，0）設(shè)平面A1CD的法向量為=（x，y，z），則，即取z=1，得=（，0，1），設(shè)平面B1CD的法向量為=（a，b，c），則，即取c=1得=（，0，1），所以cos，=所以二面角的平面角的余弦值為點評：本題主要考察異面直線間的距離計算以及二面角的平面角及求法在求異面直線間的距離時，關(guān)鍵是求出異面直線的公垂線14（2012重慶）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點（）求點C到平面A1ABB1的距離；（）若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值考點：用空間向量求平

45、面間的夾角；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算716536 專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想分析：（I）由題意，由于可證得CD平面A1ABB1故點C到平面的距離即為CD的長度，易求；（II）解法一：由題意結(jié)合圖象，可通過作輔助線先作出二面角的平面角A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根據(jù)幾何體的形狀，可過D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1兩兩垂直，則以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz給出各點的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角解答：解：（

46、I）由AC=BC，D為AB的中點，得CDAB又CDAA1故CD平面A1ABB1所以點C到平面A1ABB1的距離為CD=（II）解法一：如圖1，取D1為A1B1的中點，連接DD1，則DD1AA1CC1又由（I）知CD平面A1ABB1故CDA1D，CDD1D，所以A1DD1為所求的二面角A1CDC1的平面角因A1D為A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1A1C由三垂線定理的逆定理得AB1A1D從而A1AB1、A1DA都與B1AB互余因此A1AB1=A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=ADA1B1=8，得AA1=2，從而A1D=2所以RtA1

47、D1D中，cosA1DD1=解法二：如圖2，過D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz設(shè)直三棱柱的高為h，則A（2，0，0），A1（2，0，h），B1（2，0，h），C（0，0），C1（0，h），從而=（4，0，h），=（2，h）由AB1A1C，可得8h2=0，h=2，故=（2，0，2），=（0，0，2），=（0，0）設(shè)平面A1CD的法向量為=（x1，y1，z1），則有，=0且=0，即，取z1=1，則=（，0，1）設(shè)平面C1CD的法向量為=（x2，y2，z2），則，即

48、且=0，取x2=1，得=（1，0，0），所以cos，=，所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值點評：本題考查二面角的求法及點到面距離的求法，點到面的求法一般是作垂線，垂線段的長度即所求，二面角的余弦值的求法有兩種，一種是幾何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二種方法是現(xiàn)在比較常用的方法向量法，其特征是思維量小，計算量大，作題時對這兩種方法要根據(jù)題設(shè)靈活選用15（2012浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為的菱形，BAD=120°，且PA平面ABCD，PA=，M，N分別為PB，PD的中點（1）證明：MN平面ABCD；（2）過點A作AQPC，垂足為點Q

49、，求二面角AMNQ的平面角的余弦值考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法716536 專題：綜合題分析：（1）連接BD，利用三角形的中位線的性質(zhì)，證明MNBD，再利用線面平行的判定定理，可知MN平面ABCD；（2）方法一：連接AC交BD于O，以O(shè)為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMN的法向量，利用效率的夾角公式，即可求得二面角AMNQ的平面角的余弦值；方法二：證明AEQ為二面角AMNQ的平面角，在AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角AMNQ的平面角的余弦值解答：（1）證明：連接BDM，N分別

50、為PB，PD的中點，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，BD平面ABCDMN平面ABCD；（2）方法一：連接AC交BD于O，以O(shè)為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形ABCD中，BAD=120°，得AC=AB=，BD=PA平面ABCD，PAAC在直角PAC中，AQPC得QC=2，PQ=4，由此知各點坐標(biāo)如下A（，0，0），B（0，3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）Q（）設(shè)=（x，y，z）為平面AMN的法向量，則，取z=1，同理平面QMN的法向量為=所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為方法二：在菱形ABCD中，BAD=120

51、°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=PA平面ABCD，PAAC，PAAC，PAAD，PB=PC=PD，PBCPDC而M，N分別是PB，PD的中點，MQ=NQ，且AM=PB=AN取MN的中點E，連接AE，EQ，則AEMN，QEMN，所以AEQ為二面角AMNQ的平面角由，AM=AN=3，MN=3可得AE=在直角PAC中，AQPC得QC=2，PQ=4，AQ=2在PBC中，cosBPC=，MQ=在等腰MQN中，MQ=NQ=MN=3，QE=在AED中，AE=，QE=，AQ=2，cosAEQ=所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定定理，掌握面面角的兩種求解方法，屬于中檔題16（2012四川）如圖，在三棱錐PABC中，APB=90°，PAB=60°，AB=B