粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析 - 清華大學(xué)_12908

1、粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析楊振偉楊振偉清華大學(xué)清華大學(xué)第第十十一講：解譜法（開(kāi)拆法）一講：解譜法（開(kāi)拆法）2本講要點(diǎn)本講要點(diǎn)n數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式, ,反應(yīng)函數(shù)反應(yīng)函數(shù)( (矩陣矩陣) )n求反應(yīng)矩陣的逆求反應(yīng)矩陣的逆n修正因子修正因子n正規(guī)化的解譜法正規(guī)化的解譜法n估計(jì)量的方差與偏置估計(jì)量的方差與偏置n正規(guī)化參數(shù)的選擇正規(guī)化參數(shù)的選擇n舉例舉例a) Tikhonov 規(guī)則規(guī)則b) MaxEnt 規(guī)則規(guī)則3圖像還原問(wèn)題圖像還原問(wèn)題一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題：由于實(shí)驗(yàn)儀器的原因而出現(xiàn)由于實(shí)驗(yàn)儀器的原因而出現(xiàn)圖像變形圖像變形，例如，例如如果如果已知探測(cè)器響應(yīng)（可

2、通過(guò)探測(cè)器模擬已知探測(cè)器響應(yīng)（可通過(guò)探測(cè)器模擬得到探測(cè)器響應(yīng)的形式），得到探測(cè)器響應(yīng)的形式），探測(cè)器響應(yīng)探測(cè)器響應(yīng)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)分布實(shí)驗(yàn)觀測(cè)分布能否還原出不受實(shí)驗(yàn)儀能否還原出不受實(shí)驗(yàn)儀器影響的器影響的真實(shí)分布真實(shí)分布？Unfolding(解譜法解譜法)真實(shí)分布真實(shí)分布4解譜問(wèn)題的表述解譜問(wèn)題的表述(1)考慮隨機(jī)變量考慮隨機(jī)變量y，目標(biāo)：尋找概率密度函數(shù)目標(biāo)：尋找概率密度函數(shù)f(y)bin ( )1,.,jjjtotjpf y dyjMp “真實(shí)的直方真實(shí)的直方圖圖” 1)如果已知參數(shù)化形式如果已知參數(shù)化形式 ，);(yf最大似然法最大似然法);(yf2)不知概率密度函數(shù)的形式，可以構(gòu)造直方圖不知概率

3、密度函數(shù)的形式，可以構(gòu)造直方圖可以構(gòu)造直方圖可以構(gòu)造直方圖(M個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間)，概率密度函數(shù)離散化，概率密度函數(shù)離散化第第j個(gè)區(qū)間的概率為個(gè)區(qū)間的概率為為為 j( (或或pj) )構(gòu)造估計(jì)量構(gòu)造估計(jì)量( (參數(shù)的數(shù)目參數(shù)的數(shù)目= =區(qū)間的數(shù)目區(qū)間的數(shù)目M)離散化的離散化的p.d.f.p.d.f.5解譜問(wèn)題的表述解譜問(wèn)題的表述(2)問(wèn)題問(wèn)題：y 的測(cè)量不可能沒(méi)有誤差的測(cè)量不可能沒(méi)有誤差1）第）第i個(gè)區(qū)間的個(gè)區(qū)間的y在第在第j個(gè)區(qū)間測(cè)量到個(gè)區(qū)間測(cè)量到 （測(cè)量分辨率）（測(cè)量分辨率）2）第）第i個(gè)區(qū)間的某些事例沒(méi)有測(cè)量到個(gè)區(qū)間的某些事例沒(méi)有測(cè)量到 （測(cè)量效率）（測(cè)量效率）3）某些區(qū)間的事例完全測(cè)量不到）

4、某些區(qū)間的事例完全測(cè)量不到 （接收度）（接收度）后果后果：f(y) 模糊化，峰展寬，模糊化，峰展寬， 甚至分布形狀完全變形。甚至分布形狀完全變形。測(cè)量測(cè)量后果嚴(yán)重時(shí)需要考慮解譜法還原真實(shí)分布后果嚴(yán)重時(shí)需要考慮解譜法還原真實(shí)分布6響應(yīng)矩陣響應(yīng)矩陣測(cè)量誤差的影響可用積分方程表示測(cè)量誤差的影響可用積分方程表示: :y真值真值；觀測(cè)值觀測(cè)值:x( )(|)( )meastruefxR x y fy dy 離散化離散化1,1,.,MiijjjRiN 觀測(cè)直方圖觀測(cè)直方圖( (期待值期待值) )真實(shí)直方圖真實(shí)直方圖響應(yīng)矩陣響應(yīng)矩陣 Rij=P(觀測(cè)值在第觀測(cè)值在第 i 區(qū)區(qū)|真實(shí)值在第真實(shí)值在第 j 區(qū)區(qū)

5、)( | )R x y：響應(yīng)函數(shù)，表示真值為：響應(yīng)函數(shù)，表示真值為y觀測(cè)值為觀測(cè)值為x的概率的概率對(duì)對(duì)y求積分即可得到測(cè)量值為求積分即可得到測(cè)量值為x的概率的概率7響應(yīng)矩陣響應(yīng)矩陣數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)：1(,.,)NiinnnE n 這里這里Rij=P(觀測(cè)值在第觀測(cè)值在第 i 區(qū)區(qū)|真實(shí)值在第真實(shí)值在第 j 區(qū)區(qū))注意：注意： 是常數(shù)，是常數(shù)， 會(huì)受會(huì)受到統(tǒng)計(jì)漲落的影響。到統(tǒng)計(jì)漲落的影響。,n真實(shí)直方圖真實(shí)直方圖離散化的離散化的p.d.f.p.d.f. 觀測(cè)數(shù)據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的期待值和數(shù)據(jù)的期待值8效率、本底效率、本底 有時(shí)，事例可能會(huì)不被探測(cè)到有時(shí)，事例可能會(huì)不被探測(cè)到: : 效率效率 11( |

6、)(|()NNijiijRPijPj 觀觀測(cè)測(cè)值值在在第第區(qū)區(qū) 真真實(shí)實(shí)值值在在第第區(qū)區(qū)觀觀測(cè)測(cè)值值在在全全范范圍圍 真真實(shí)實(shí)值值在在第第區(qū)區(qū)) )效效率率 i 是在觀測(cè)直方圖上預(yù)期的本底數(shù)目。是在觀測(cè)直方圖上預(yù)期的本底數(shù)目。 有時(shí)，無(wú)真實(shí)事例發(fā)生，也有事例被觀測(cè)到：有時(shí)，無(wú)真實(shí)事例發(fā)生，也有事例被觀測(cè)到：本底本底 1MiijjijR 真實(shí)直方圖真實(shí)直方圖第第 j 區(qū)探測(cè)效率區(qū)探測(cè)效率真值真值效率效率測(cè)量值測(cè)量值9各關(guān)鍵量匯總各關(guān)鍵量匯總“真實(shí)真實(shí)”直方圖直方圖: :概率概率: :觀測(cè)直方圖的期待值觀測(cè)直方圖的期待值: : 觀測(cè)直方圖觀測(cè)直方圖: :響應(yīng)矩陣響應(yīng)矩陣: :效率效率: :11(,

7、.,),MMtotjj 1(,.,)/Mtotppp 1(,.,)N 1(,.,)Nnnn ( | )ijRPij 觀觀測(cè)測(cè)值值在在第第區(qū)區(qū) 真真實(shí)實(shí)值值在在第第區(qū)區(qū)1NjijiR 預(yù)期的本底預(yù)期的本底: :1(,.,)N E nR 或關(guān)聯(lián)矩陣或關(guān)聯(lián)矩陣(各區(qū)間不獨(dú)立各區(qū)間不獨(dú)立)Vij=covni,nj一般通過(guò)一般通過(guò)構(gòu)造構(gòu)造 logL 或或 2尋求尋求 的估計(jì)量，這需要相關(guān)的的估計(jì)量，這需要相關(guān)的概率理論，例如概率理論，例如: :泊松分布泊松分布(各區(qū)間獨(dú)立各區(qū)間獨(dú)立)(;)!iiniiiiP nen M 個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間N 個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間10為什么要用解譜法？為什么要用解譜法？ 但是，不將實(shí)驗(yàn)

8、數(shù)據(jù)進(jìn)行解譜處理，結(jié)果發(fā)表后，有但是，不將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解譜處理，結(jié)果發(fā)表后，有關(guān)反應(yīng)矩陣的知識(shí)將不在保留。而且，解譜后的分布可以直關(guān)反應(yīng)矩陣的知識(shí)將不在保留。而且，解譜后的分布可以直接與各種理論的預(yù)言相比較，也可以與別的實(shí)驗(yàn)經(jīng)過(guò)解譜以接與各種理論的預(yù)言相比較，也可以與別的實(shí)驗(yàn)經(jīng)過(guò)解譜以后的分布相比較。后的分布相比較。 一般而言，我們并不需要解譜法，例如當(dāng)比較現(xiàn)有理論一般而言，我們并不需要解譜法，例如當(dāng)比較現(xiàn)有理論的預(yù)期值時(shí)，最好是將探測(cè)器相應(yīng)疊加到理論中去。即在預(yù)的預(yù)期值時(shí)，最好是將探測(cè)器相應(yīng)疊加到理論中去。即在預(yù)期值中包含探測(cè)器效應(yīng)并與未修正的原始數(shù)據(jù)期值中包含探測(cè)器效應(yīng)并與未修正的原始數(shù)據(jù)

9、 相比較。相比較。n 通常解譜后的結(jié)果更為有用，否則當(dāng)反應(yīng)矩陣不可恢復(fù)通常解譜后的結(jié)果更為有用，否則當(dāng)反應(yīng)矩陣不可恢復(fù)時(shí)，即使對(duì)結(jié)果又有新的理論解釋，也很難進(jìn)行理論檢驗(yàn)。時(shí)，即使對(duì)結(jié)果又有新的理論解釋，也很難進(jìn)行理論檢驗(yàn)。在粒子物理研究中，解譜法常用的領(lǐng)域?yàn)椋涸诹Ｗ游锢硌芯恐?，解譜法常用的領(lǐng)域?yàn)椋?強(qiáng)子強(qiáng)子結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù) 的譜函數(shù)的譜函數(shù)( (也就是強(qiáng)子不變質(zhì)量譜也就是強(qiáng)子不變質(zhì)量譜) ) 強(qiáng)子事例形狀分布強(qiáng)子事例形狀分布 粒子多重?cái)?shù)分布粒子多重?cái)?shù)分布11為什么用解譜法(舉例)中微子與鐵原子核相互作用，產(chǎn)生電子，測(cè)量電子的能譜。實(shí)驗(yàn)上只可能測(cè)量電子在鐵中的射程。能量與平均射程的關(guān)系因子修正法

10、：能譜(圓圈)與真值(直方圖)解譜法12響應(yīng)矩陣的逆響應(yīng)矩陣的逆若數(shù)據(jù)是泊松分布若數(shù)據(jù)是泊松分布最大似然法的估計(jì)量為最大似然法的估計(jì)量為假設(shè)假設(shè) 的逆存在的逆存在: :R 1()R (;)!iiniiiiP nen 1log ( )(log)NiiiiLn 1()nRn 則有則有若若的非對(duì)角元太大，的非對(duì)角元太大，即區(qū)間寬度比分辨率要即區(qū)間寬度比分辨率要小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致上式有很小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致上式有很大的方差，以及在相鄰大的方差，以及在相鄰區(qū)間產(chǎn)生很強(qiáng)的負(fù)關(guān)聯(lián)。區(qū)間產(chǎn)生很強(qiáng)的負(fù)關(guān)聯(lián)。n？13錯(cuò)誤的原因錯(cuò)誤的原因(I)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的例子分辨率很差完美探測(cè)器，其中:0:110,111121,2121Abb

11、bxxxbxA意義。的，但結(jié)果并沒(méi)有物理是嚴(yán)格的，是無(wú)偏有效的方法，盡管理論上接求反應(yīng)矩陣獲得真值所以，通常情況下，直湮沒(méi)。信息完全被非物理振蕩放大后，結(jié)果中有用的這個(gè)隨機(jī)數(shù)被實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)數(shù)。時(shí)，考慮到統(tǒng)計(jì)漲落，尤其當(dāng)xbbbb/12121項(xiàng)起決定作用很小時(shí)，第2112112111121111121111121212111bbbbbAxA解決辦法是進(jìn)行平滑處理，消除無(wú)意義的統(tǒng)計(jì)漲落。但平滑會(huì)帶來(lái)偏向性，需要在漲落與偏向性之間找到平衡。14錯(cuò)誤的原因錯(cuò)誤的原因(II)考慮周期分布函數(shù)20),sincos(2)(10 xxbxaaxf2220122221()( )exp( )()22cossi

12、n(cossin)2exp,exp22yxg yf x dxg(y)xxg(y)xxab 如果每一點(diǎn)的測(cè)量都按照偏差為 的高斯分布彌散，那么測(cè)量到的分布為卷積將展開(kāi)為和的函數(shù)：其中將完全占據(jù)統(tǒng)治地位。大后中的統(tǒng)計(jì)誤差被指數(shù)放和時(shí)尤其是對(duì)于一般函數(shù)，放大。這個(gè)統(tǒng)計(jì)誤差被都有一定的統(tǒng)計(jì)誤差，和但，和的系數(shù)布，則可嚴(yán)格求出真實(shí)分和的系數(shù)如果可以準(zhǔn)確知道, 0,)2/(exp)(22babaxfg(y)實(shí)際上，非物理的劇烈漲落主要是有高頻部分造成的。平滑處理，主要是消除或壓低高頻部分無(wú)意義的漲落。15錯(cuò)誤的原因錯(cuò)誤的原因(III)假設(shè)假設(shè) 真的有精細(xì)結(jié)構(gòu)真的有精細(xì)結(jié)構(gòu)R作用后作用后( (理論上理論上)

13、 )得到得到R大部分精細(xì)結(jié)構(gòu)被抹平，大部分精細(xì)結(jié)構(gòu)被抹平，但會(huì)隱藏精細(xì)結(jié)構(gòu)的信息。但會(huì)隱藏精細(xì)結(jié)構(gòu)的信息。 但我們沒(méi)有但我們沒(méi)有 只有只有 （存在漲落）（存在漲落） n R-1“認(rèn)為認(rèn)為”這是隱藏的精細(xì)結(jié)構(gòu)信息，不遺余力地恢復(fù)這是隱藏的精細(xì)結(jié)構(gòu)信息，不遺余力地恢復(fù)這種精細(xì)結(jié)構(gòu)，從而造成劇烈的振蕩效應(yīng)這種精細(xì)結(jié)構(gòu)，從而造成劇烈的振蕩效應(yīng)。R-1 作用回作用回 應(yīng)完全恢復(fù)精細(xì)結(jié)構(gòu)：應(yīng)完全恢復(fù)精細(xì)結(jié)構(gòu)： 1R16重新研究最大似然法的解重新研究最大似然法的解(1)無(wú)偏無(wú)偏! !計(jì)算估計(jì)量的方差計(jì)算估計(jì)量的方差1( )ERE n 11,1111cov,() () cov,() ()Nijijikjlkl

14、k lNikjkkkURRnnRR ,iklklknnn coco假假設(shè)設(shè) 是是獨(dú)獨(dú)立立的的泊泊松松v v變變量量時(shí)時(shí)， 估計(jì)量的平均值估計(jì)量的平均值17重新研究最大似然法的解重新研究最大似然法的解(2)利用利用 RCF 邊界做無(wú)偏估計(jì)量邊界做無(wú)偏估計(jì)量211log()NikilklikliR RLUE 倒數(shù)后得到倒數(shù)后得到111() ()NijikjkkiURR 為了減小方差，必須引入一些偏置量為了減小方差，必須引入一些偏置量策略：接受小的偏置量策略：接受小的偏置量( (系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差) )以換取大幅以換取大幅 減小方差減小方差( (統(tǒng)計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)誤差) )。1()R 1log ( )(lo

15、g)NiiiiLn 與剛才得到的結(jié)果一致。與剛才得到的結(jié)果一致。ML估計(jì)量在所有無(wú)偏估計(jì)中給出的方差最小。估計(jì)量在所有無(wú)偏估計(jì)中給出的方差最小。但這個(gè)方差太大了！但這個(gè)方差太大了！18簡(jiǎn)單方法：修正因子法簡(jiǎn)單方法：修正因子法對(duì)對(duì) 做相同的分區(qū)，并取做相同的分區(qū)，并取, ()iiiiC n ()MCiiMCiC 修修正正因因子子 與與 用蒙特卡羅模擬得到（無(wú)本底）。用蒙特卡羅模擬得到（無(wú)本底）。MCi MCi 2cov,cov,ijijiijUCn n 通常通常 ，因此方差不會(huì)被放大。，因此方差不會(huì)被放大。(1)iCO ( (相當(dāng)于相當(dāng)于R-1-1取為對(duì)角矩陣取為對(duì)角矩陣) ) ( (R-1)

16、)ii= =Ci19修正因子法中的偏置問(wèn)題修正因子法中的偏置問(wèn)題iiibE,MCsigsigiiiiiiiiiMCsigiib = =其其中中。注意：注意：該偏置量存在把該偏置量存在把 拉向拉向 的傾向，造的傾向，造 成模型檢驗(yàn)的困難。成模型檢驗(yàn)的困難。 MC 1 1）如果分區(qū)寬度如果分區(qū)寬度 幾倍的分辨率，結(jié)果不會(huì)太壞。幾倍的分辨率，結(jié)果不會(huì)太壞。 2 2）實(shí)際應(yīng)用中，中。該方法常用于事例形狀變量的分布研究）實(shí)際應(yīng)用中，中。該方法常用于事例形狀變量的分布研究除非模擬采用的模型無(wú)誤，使得除非模擬采用的模型無(wú)誤，使得 ，否則，否則上式不為零，需要考慮對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差。上式不為零，需要考慮對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)

17、誤差。修正因子法的偏置修正因子法的偏置MCii 20例子例子：脈沖形狀的還原：脈沖形狀的還原將理論將理論( (真實(shí)真實(shí)) )的直方圖除以受實(shí)驗(yàn)儀器影響的直方圖除以受實(shí)驗(yàn)儀器影響 的直方圖得到修正因子的直方圖得到修正因子將觀測(cè)直方圖乘以修正因子直方圖得到理論將觀測(cè)直方圖乘以修正因子直方圖得到理論 ( (真實(shí)真實(shí)) )的直方圖的直方圖21正規(guī)化的解譜法正規(guī)化的解譜法考慮考慮“合理的合理的”估計(jì)量，對(duì)選定的估計(jì)量，對(duì)選定的 滿足滿足Llogmaxlog ( )loglogLLL ( )log ( )( )LS( )S 正則化函數(shù)正則化函數(shù)( (光滑性的量度光滑性的量度) ) 正則化參量正則化參量(

18、(其選擇與給定的其選擇與給定的 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)) )Lloglog Ln 描描述述了了數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)與與期期待待值值之之間間的的 “距距離離”。 估計(jì)量滿足該不等式并且最光滑，等價(jià)于估計(jì)量滿足該不等式并且最光滑，等價(jià)于將下式求最大值將下式求最大值 22正規(guī)化的解譜法（續(xù)一）正規(guī)化的解譜法（續(xù)一）另外，要求解譜后對(duì)總事例數(shù)的估計(jì)為無(wú)偏的另外，要求解譜后對(duì)總事例數(shù)的估計(jì)為無(wú)偏的tot1,NNiijjii jRn 1( , )log ( )( )NtotiiLSn : :拉格朗日乘子拉格朗日乘子在約束情況下將下式求最大值在約束情況下將下式求最大值, R 因因所所以以是是的的函函數(shù)數(shù)1/0Nitotin 顯然，顯

19、然，23正規(guī)化的解譜法正規(guī)化的解譜法（續(xù)二）（續(xù)二）0 給出最光滑的解給出最光滑的解( (與數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)與數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)) )給出最大似然解給出最大似然解( (方差太大方差太大) )( )S 需要需要正規(guī)化函數(shù)正規(guī)化函數(shù) 以及選取以及選取 值的方案值的方案。所得到的估計(jì)量的好壞由它們的偏置和方差所得到的估計(jì)量的好壞由它們的偏置和方差來(lái)判斷。來(lái)判斷。a) Tikhonov 規(guī)則規(guī)則b) MaxEnt 規(guī)則規(guī)則1( , )log ( )( )NtotiiLSn 24Tikhonov 規(guī)則規(guī)則取光滑度等于第取光滑度等于第 k 階導(dǎo)數(shù)平方的均值階導(dǎo)數(shù)平方的均值，有，有2( )( ),1,2.ktruetruek

20、d fyS fydykdy 其其中中通常取通常取 k=2，使得使得 S 約等于曲率平方的平均約等于曲率平方的平均值。對(duì)直方圖而言，也就是值。對(duì)直方圖而言，也就是22121( )(2)MiiiiS 注意注意：2 階階導(dǎo)數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)對(duì)直方圖的直方圖的第一和最后的區(qū)第一和最后的區(qū) 間沒(méi)有很好的定義間沒(méi)有很好的定義。Sov. Math.5(1963)103525Tikhonov 規(guī)則（續(xù)）規(guī)則（續(xù)）如果在如果在 下，下，采用采用Tikhonov(k=2)規(guī)則規(guī)則21log2L 2( , )log ( )( )( )( )2LSS 是是 i 的二次項(xiàng)。的二次項(xiàng)。對(duì)對(duì) 求偏微分求偏微分，給出線性方，給出線性方

21、程，得到程，得到 估計(jì)值與方差。估計(jì)值與方差。在高能物理界現(xiàn)有好幾個(gè)現(xiàn)成的程序在高能物理界現(xiàn)有好幾個(gè)現(xiàn)成的程序：RUN，Blobel, SVD, Hcker,26最大熵最大熵(MaxEnt)規(guī)則規(guī)則另一種表征光滑度的方法基于熵。對(duì)于一組概另一種表征光滑度的方法基于熵。對(duì)于一組概率而言，熵定義為率而言，熵定義為1logMiiiHpp 所有所有 相等意味著熵最大相等意味著熵最大( (最光滑最光滑) )ip有一個(gè)有一個(gè) ，其它為零，則意味著熵最小。，其它為零，則意味著熵最小。1ip Ann. Rev. Astron. Astrophys.24 (1986)127totiip27最大熵最大熵(MaxE

22、nt)規(guī)則（續(xù)）規(guī)則（續(xù)）用熵作為正規(guī)化函數(shù)，用熵作為正規(guī)化函數(shù)，1()()logl(ogMMiiitottottotSH 填填入入個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間中中各各種種可可能能的的總總數(shù)數(shù)) )有時(shí)侯，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)有時(shí)侯，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)這里，我們?nèi)匀徊捎媒?jīng)典近似這里，我們?nèi)匀徊捎媒?jīng)典近似: : 估計(jì)量的好壞估計(jì)量的好壞由偏置，方差來(lái)判斷。由偏置，方差來(lái)判斷。注意注意：熵并不取決于區(qū)間的順序。：熵并不取決于區(qū)間的順序。( )S的先驗(yàn)概率密度函數(shù)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)(?)(?)28 的方差與偏置的方差與偏置一般來(lái)說(shuō)，決定一般來(lái)說(shuō)，決定 的方程是非線性的。當(dāng)?shù)玫姆匠淌欠蔷€性的。當(dāng)?shù)玫秸?guī)函數(shù)后，將到正規(guī)函數(shù)后，

23、將 在在 附近展開(kāi)附近展開(kāi))(nobsn)(n1222222( )(), ,1,.,1 1,.,1,0, 1,1, , 1,.,1,.,1, 1,1,.,.obsobsijijiijijjnA B nni jMAiM jMiMjMiM jNnBiMjNn ，G. Cowan, StatisticalData Analysis, OxfordUniversity Press(1998) 為為非非正正規(guī)規(guī)的的似似然然函函數(shù)數(shù)29 的方差與偏置的方差與偏置( (續(xù)續(xù)) )利用誤差傳遞得到協(xié)方差利用誤差傳遞得到協(xié)方差cov,ijijU 1,TUCVCCA B 其其中中以及對(duì)偏置的估計(jì)量，以及對(duì)偏置的估

24、計(jì)量，,iiibE11()(),NNiiijjjjjjjjbCnnn 此處此處 而且通常情況下而且通常情況下. Rncov,ijijVn n 30正規(guī)化參數(shù)正規(guī)化參數(shù) 的選取的選取 決定了決定了置于數(shù)據(jù)的權(quán)重大小以便能與光滑度置于數(shù)據(jù)的權(quán)重大小以便能與光滑度相比較，相比較， = 0 給出最大的光滑估計(jì)值，并與數(shù)據(jù)無(wú)給出最大的光滑估計(jì)值，并與數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)。因此雖然方差為零，但有明顯的偏置。而取大關(guān)。因此雖然方差為零，但有明顯的偏置。而取大的的 ，則回到高度振蕩無(wú)偏的最大似然解。，則回到高度振蕩無(wú)偏的最大似然解。 為了在偏置與方差之間達(dá)到最大平衡為了在偏置與方差之間達(dá)到最大平衡: :選擇選擇 使均值誤

25、差的平方（使均值誤差的平方（MSE）最小最小 2211, 11MMiiiiiiiiiUbMSEUbMSEMM 或或帶帶權(quán)權(quán)重重的的或要求偏置不大于它自身的估計(jì)方差或要求偏置不大于它自身的估計(jì)方差 ?？梢哉铱梢哉业降?的值使得的值使得221cov ,.MibijijiiibMWb bW 這這里里iiW31正規(guī)化參數(shù)選擇的重要性與數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)，光滑，完全MC:0無(wú)物理意義劇烈振蕩，完全數(shù)據(jù)，:32迭代法解譜(Bayes方法)NjjkkjkijiiNjjkkiiNjjiiijnpRpRnpkjPpijPnjiPjiPR1111)|()|(1)|(1Bayes)|(區(qū)間真值在區(qū)間測(cè)量值在區(qū)間真值在區(qū)間測(cè)量

26、值在區(qū)間測(cè)量值在區(qū)間真值在定理，可以得到估計(jì)量利用區(qū)間真值在區(qū)間測(cè)量值在果趨于劇烈振蕩。當(dāng)?shù)螖?shù)很大時(shí)，結(jié)。數(shù)，之后用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用測(cè)試數(shù)據(jù)確定迭代次迭代。，之后用選取初始totiii/p,N),(ip1 應(yīng)用貝葉斯定理33RooUnfold: SVD方法解譜MC:( 22bin)2 2()Rx MCbxbhxbA可以通過(guò)獲得：真值模擬測(cè)量結(jié)果作散點(diǎn)分布設(shè) 和 都分 個(gè)實(shí)際上獲得了一個(gè)的數(shù)組 或矩陣1( , ) ,( , )TijiRAj iRAAj i即1111122121122222(1,1) :,(1,2) :,(2,1) :,(2,2):,AxbRAxbRAxbRAxbR真值為測(cè)量值為

27、 的事例數(shù)真值為測(cè)量值為 的事例數(shù)真值為測(cè)量值為 的事例數(shù)真值為測(cè)量值為 的事例數(shù)解譜需要先得到響應(yīng)矩陣解譜需要先得到響應(yīng)矩陣R，并進(jìn)行求逆。，并進(jìn)行求逆。對(duì)于性質(zhì)不太好的矩陣，對(duì)于性質(zhì)不太好的矩陣，SVDSVD方法更可靠一些。方法更可靠一些。34Singular Value Decomposition(SVD)TjjiiTTTTTTUVSAjiSSIVVI,UUVUmnAAeigdiagSmmAAVnnAAUUSVAAmn11,)(。顯然如果滿足對(duì)角矩陣矩陣的本征矢構(gòu)成的矩陣的本征矢構(gòu)成的其中可以分解成矩陣任意的列。和，基分別是矩陣和其系數(shù)分別構(gòu)成向量的線性組合，都分解成正交歸一向量和的結(jié)果

28、是把，定義VUzdxbbAbUVSdVSVzxdSzdSzbUdxVzbUxSVbxUSVbAxTTTTTTSVD1111斷。的元素分布可以找到截需要截?cái)啵瑥奈锢淼?，高頻部分等價(jià)地說(shuō)，低頻部分是準(zhǔn)正態(tài)分布。中相應(yīng)的元素的服從標(biāo)向量頻部分，相應(yīng)的，對(duì)應(yīng)于傅立葉分解中高的情況維例子中參見(jiàn)振蕩的根源部分是結(jié)果劇烈實(shí)際上，奇異值很小的的奇異值。矩陣對(duì)角元素為聯(lián)系起來(lái)它們通過(guò)對(duì)角矩陣，變?yōu)椋粗孔優(yōu)橹?，已知量ddASzxdb),02(,SVD35RooUnfold的下載、編譯和使用nRooUnfold中提供了SVD以及Bayes的解譜法。下載和編譯使用方法見(jiàn)網(wǎng)頁(yè)：http:/hepunx.rl.ac.uk/adye/software/unfold/RooUnfold.html在training服務(wù)器上，已經(jīng)編譯好放到ROOT的庫(kù)文件目錄中，不需要另行下載編譯。使用時(shí)只要在ROOT腳本文件中加上 gSystem-Load(“l(fā)ibRooUnfold”);36RooUnfoldSvd正規(guī)化參數(shù)的選擇nRooUnfoldSvd中正規(guī)化函數(shù)的選擇實(shí)際上是Tikhonov(k=2)規(guī)則。n使用RooUnfoldSvd后自動(dòng)生成UnfoHist.root文件，其中包含d的直方圖，從d的直方圖可以讀出正規(guī)化參數(shù)，即kterm=k,其中k之后各個(gè)bin的值滿足均值為0方差為1的高斯